處于靜態中帶電導體電荷分布概率的計算

徐衛星

摘 要

為了能夠了解導體內電荷的分布概況，利用麥克斯韋方程組中電場積分式，令其電場強度與閉環回路（或封閉空間）的積分和為零的理念，建立坐標模型和數學模型進行運算求得分布概率結果所采用的一種方法。

【關鍵詞】麥克斯韋方程積分式 導體內電場強度處處為零 電荷分布概率

導體中電荷的分布與改變和外布電場的強弱與變化是一對統一的理論體系。電荷的分布是產生電場分布的根源，而電場反過來左右電荷的分布，是一對立的統一體。因此對電荷分布的研究與對電場的分析具有相同的重要意義。

當導體中存儲電荷處于穩定時，導體內部處處電場力的和應為零。否則有任何電場的存在都會引起電荷的移動（重新分布）。我們利用麥克斯韋方程組中電場積分式令其等于零，即

來建立數學模型或公式計算出電荷的分布概率。

1 為了更好地理解這種方法先闡述幾個基本概念

1.1 測試電荷點

測試電荷點q是指在帶電導體內靜態下，測量某點處電場大小、方向的電荷。其電量小到不影響此處的電場狀態。其方向是q為正時順勢而下（電場箭頭的方向）；q為負時逆勢而上（電場箭頭的反方向）。

1.2 庫侖定律

。其中Q1、Q2為兩個電荷體的電荷量；l為Q1Q2之間距離；k為庫侖常數。

1.3 麥克斯韋方程積分式

或原式是說明在任何平面環路和電場積分與本環內磁場變化率的關系或任何封閉的空間電場通量與所含電荷量的關系。我們利用電場的積分式并令其在導體中某點等于零（導體是有限的封閉空間），根據庫侖定律

；f（ρ）為分布體密度函數、

；f（σ）為分布面密度函數、

；f（x）為分布線密度函數。并且導體內處處應為零，計算出電荷的分布概率。

1.4 容余電荷

導體本身是存有正負電荷元素，而容余電荷是在正負電荷失去平衡或電勢不為零時產生出電場的多余電荷。所以容余電荷或者是正電荷或者是負電荷。

2 為了驗證一下應用效果下面舉幾個簡單的例子

2.1 例1：一根極細而有限長帶電導線軸向的電荷分布概率

如圖1，在一根長度為b容余電荷量為Qs的細導線上，在無任何電磁干擾的理想環境下，忽略其徑向因素，只考慮軸向電荷分布概率。為了運算方便和結果比較，將b分別分為3段、4段、5段、6段、7段、19段。每段平均分為2個△長，每2個△之間分別設定電荷點Q1、Q2、Q3等，其電量分別是其所處2個△所儲電量和Qi=2△σi（i=1、2、3…n），

（σi線密度；n為分段數）。每兩個電荷點之間設定測量點q1、q2等，根據庫侖定律和麥克斯韋方程組中電場積分式，可以看出實際上每處測試點左邊電場強度與右邊的和為零時，任何軸向閉環積分和必定為零。因此建立各測試點電場強度為零的數學模型即方程組與Qs函數關系式。

2.1.1 當b分為3段時數學模型如下：

因在同一介質中庫侖比例系數K為同一值，約去k、q、△求得方程組的解

2.1.2 如圖2，當b分為4段時數學模型如下：

約去k、q、△求得方程組的解

2.1.3 如圖3，當b分為5段時數學模型如下：

約去k、q、△求得方程組的解

2.1.4 如圖4，當b分為6段時數學模型如下：

約去k、q、△求得方程組的解

2.1.5 如圖5，當b分為7段時數學模型如下：

約去k、q、△求得方程組的解

圖6、圖7為正、負電荷7段的分布概率。

2.1.6 如圖8，當b分為19段時求得方程組的解如下：

2.2 例2：一根極細一端有端頭一端無限長的帶電導線在端頭處的電荷分布概率

如圖9，在無任何電磁干擾的理想環境下，導線上儲存有電荷Qs。忽略其徑向分布情況，只考慮軸向分布概率。

設端點為A，從點A向另一端劃分出若干個極小間距△，在每兩個△中間設定點電荷 Q1Q2Q3等每個Q代表這兩個△的電量和Qi=2△σi（i=1、2、3…）。在每兩個Q中間設定點測試點q1q2q3等，在只考慮軸向時，每個測試點左右側的電場強度和應為零。即軸向環路必為零。

根據庫侖定律在q1點處建立數學模型：

（i=1、2、3…） （ 約去k、q、△）得

而且Qs越大

越大Q1與Q2差值也越大。從例1的運算結果得知兩個端頭的電荷密度向中心是逐漸遞減的。類似于本例題A端向另一端的電荷密度同樣也是遞減的。只不過將例1中b的長度無限延長了一端。

2.3 例3：一個無根大的理想帶電平面中心范圍的電荷分布概率

如圖10，在無任何電磁干擾的理想環境下，在一個無根大的理想平面上分布有密度為σi的容余電荷，處于靜態時在中心范圍內確定任意兩個點A、B，沿AB兩點畫一條向兩邊無限延長的直線。根據麥克斯韋積分式沿此直線軸向閉環與電場強度積分應為零。設分別以AB為圓心

為半徑畫兩個圓，由于非常小可以把兩個圓看成兩個點電荷。根據庫侖定律，則AB中間點的電場強度應為：

其中：q為測試電荷點；σi為單位面積電荷密度；r為直線及其延長線的距離；σAi為A邊直線上電荷密度；σBi為B邊直線上電荷密度；A-B為A到B的距離；k為庫侖常數。

運算（1）式得：

由于無限大平面中的電荷是連續分布的、無間斷點。由例1得知σAi=σBi，因此σA=σB。

充分性：由于AB點可任意確定中心范圍的每個點和各個方向。因此，中心范圍的電荷密度值是一樣的。

必要性：在平面上AB中間點處的電場強度會不會受到除此直線以外任何其它電荷的影響呢？肯定是不會的。因任何一處除直線以外電荷的作用，都可以找到以AB中間點為圓點的對稱點處電荷的作用，大小相同、方向與前一處電荷作用向反。在AB中間點處影響力為零。

3 結論

經過幾個簡單例子運算結果和分析得知：

（1）對一根長度有限的帶電細導線電荷密度計算通過表1看出：

a.有限長線段電荷分布概率是兩邊密度大于中心。

b.有限長線段電荷分布概率是兩邊對稱的。

c.與儲存電荷Qs有關系；與b的長度有關系。

d.△越小分段越多越精準化兩端電荷密度值越高，中間越平緩。

此外，在電荷進行交流時變時，兩頭的電荷量和電場變化最大，其磁場變化也最大，非常適合電磁信號的發射。如過去軍用便攜式步話機的天線就采用叉開線段狀導體。并且接收信號天線的采集信號點都處于端頭。

（2）對一根一端有端頭一端無限長的帶電細導線計算得知，在端頭處的電荷密度最高。而且帶電量Qs越大會更高。而避雷針接入大地的原理，就是利用地球巨大的Qs使針頭的電荷密度及其電場強度遠遠大于其它地方，從而起到引雷電入地的作用。

（3）無限大理想平面帶電導體中，在無任何電磁干擾下，中心范圍電荷密度值處處相同。這與帶電平板電容中心區域電場強度值處處一樣是一致的。

從上述的運算結果和現實生活中應用的吻合程度，說明此方法是能夠表述導體中靜態電荷的分布概率。

有不對之處請多提建議。

參考文獻

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[2]汪泉弟，張淮清.電磁場[M].北京：科學出版社，2013.

[3]張洪欣，沈遠茂，韓宇南.電磁場與電磁波[M].北京：清華大學出版社，2013.

作者單位

北京北方長城光電儀器有限公司 北京市 100053