笛卡爾普遍數學的邏輯哲思

【摘要】笛卡爾認為哲學思維是普遍的，能夠將所有學科統一于哲學，而實現知識大一統的關鍵在于數學。既然哲學能夠統一所有子學科的關鍵在于普遍數學，那么就需要進一步辨析數學普遍性的基石，也即數學的基礎。但是所謂的普遍數學并不一定如其所言完完全全具備必然有效性。既然普遍數學的方法并不可信，那么笛卡爾借由普遍數學方法構建整個知識大廈也不可能實現，因為這個統一所有學科知識的大一統體系同樣無法回答有限如何達到無限的詰難。

【關鍵詞】笛卡爾；普遍數學；數理邏輯；有限無限

一、引言

笛卡爾不僅僅是個偉大的哲學家，也是個偉大的數學家，他的哲學思想帶有濃厚的數學思維印記。在笛卡爾的哲學體系里，數學思維舉足輕重，甚至可以認為，他將哲學思維數學化，同時也將數學思想納入了他的哲學大一統體系。笛卡爾認為哲學思維是普遍的，能夠將所有學科統一于哲學，而實現知識大一統的關鍵在于數學，在于數學也像哲學一樣具有普遍性。

在笛卡爾的哲學系統里，數學的普遍性在于數學方法的普遍適用，數學能夠運用于所有學科，并且能夠產生必然有效的真知識。既然哲學能夠統一所有子學科的關鍵在于普遍數學，那么就需要進一步辨析數學普遍性的基石，也即數學的基礎，對數學進行邏輯思考。研究數學基礎的途徑是數理邏輯，數理邏輯研究的是數學的邏輯基石。

二、本體論到認識論的轉換

笛卡爾是近代哲學之父。在笛卡爾之前，哲學的發展停留在本體論階段，本體論思維階段的哲學著重探討的是宇宙人生的本質。本體論哲學嚴格區分了兩個世界——本體世界與現象世界，本體世界是現象世界的依據，現象世界變化依據本體世界的規律。本體世界是規律的領域，規律的領域就是邏各斯的領域，邏各斯是古代本體論思維哲學家追求的超驗本體。邏各斯表現在兩個方面，一方面是世界本身具備規律性，即是萬事萬物都具有規律性，一切事物的變化運動都有原因都依據必然的規律，另一方面是人的思維也具有理性，人具備邏各斯的精神，人的理性能夠認識藏身經驗世界背后的規律。

對邏各斯的求索是哲學的終極目的。哲學能夠統一所有分支學科的依據是哲學對邏各斯的緊緊把握。古代本體論哲學家雖然有志于認識邏各斯，卻不知道認識邏各斯的途徑，于是哲學發展到近代，開啟了認識論哲學時代。笛卡爾是近代哲學之父，他是第一個讓哲學本體論思維方式接受哲學認識論思維模式批判的哲學家，他以主客二元對立的思維方法考察邏各斯的存在。笛卡爾認識論哲學脫胎于古代本體論哲學，認識論哲學與本體論哲學一樣也是求索邏各斯，求索普遍規律，構建涵蓋所有知識分支的學術大一統體系，進而掌控世間一切。

三、哲學大一統體系

大哲學家往往都有將所有知識統一于哲學的傾向，笛卡爾自然也不例外，他也想將哲學打造成終極學問，其他學問統統是大哲學的分支。在笛卡爾的哲學大一統體系里，哲學好似一棵枝繁葉茂的參天大樹，一棵樹大根深的知識大樹，樹根是形而上學，形而上學作為知識樹的樹根為其他知識提供根基，知識樹的樹干是物理學，也即是自然哲學，知識樹的枝葉是應用學科。哲學為什么能夠統一所有千差萬別的學科。哲學大一統的關鍵不在于研究對象的統一，而在于研究方法的統一。哲學的研究方法是統一的，即是所有學科的研究方法是統一的，而這統一的研究方法正是數學。笛卡爾是一個哲學家，思考的是哲學問題，但他更是個數學奇才，他對哲學命題的求索帶有濃厚的數學氣息。

在笛卡爾看來，數學能夠作為所有學科的研究方法，不僅僅局限于自然科學，也能涵蓋人文學科。因此，數學方法是普遍的，對所有學科，對所有知識有效。而這普遍數學便成了笛卡爾哲學體系的核心。笛卡爾試圖以數學方法為途徑，慢慢構建起整個知識大廈，將所有知識統一于哲學。因而，笛卡爾能夠建立大一統的關鍵在于數學是不是普遍有效的，這當然要求數學本身邏輯的嚴密性。數學本身是嚴密的，也即數學本身是無矛盾的，數學的基石是牢固的，數學的基礎是扎實的，整個數學能夠自身統一于一個完備的體系。

四、數學基礎的探究

對數學基礎的研究一直貫穿于數學的發展過程中。縱觀整個數學發展的歷程，數學史大致可以劃分為三個階段，第一個是以歐幾里得為基石的初等數學階段，第二個是以皮亞諾算術為基石的古典數學階段，第三個是以ZFC集合論為基石的現代數學階段。數學家對于數學基石的求索從未停下腳步。數學史三個階段對比，后一個階段總比前一個階段更為內涵深厚，第三個階段ZFC集合論仍舊處于變動發展之中，尚未完完全全成型。對數學歷史發展第三階段的探討形成了現代數學的發展脈絡。集合論是現代數學研究的核心問題。集合論認為集合是數學的基石，數學的大廈奠基于集合論，數學的邏輯基礎在于集合。

樸素集合論的創始人康托爾試圖用集合思想構建整個數學體系。邏輯學家羅素在運用康托爾集合論解決自然數數列問題時發現了一個悖論。他將這個悖論告知另一個邏輯學家弗雷格。弗雷格得知后大為吃驚，原來康托爾的樸素集合論并不是完備的，還不能為數學奠定堅實的基石，其自身內部尚且存在悖論自相矛盾。皮亞諾算術是古典數學的基石，集合論既然是比皮亞諾算術更高階段的理論，自然應當能夠涵蓋皮亞諾算術，即皮亞諾算術能夠由集合論表示。皮亞諾算術是自然數的邏輯。弗雷格研究自然數時，他將自然數表示為集合的形式，他先將集合劃分為兩個類別，一類是與自己相等的集合，另一類則是與自己不相等的集合。按照此種劃分方法，弗雷格將數0定義為所有與自己不相等的集合所構成的集合，數1定義為所有與0相等同的集合，數2定義為所有與0相等同的集合和所有與1相等同的集合所組成的集合，依此類推，依照這個方式就可以定義一切自然數。

弗雷格對于自然數的這個定義方案存在一個悖論，羅素發現了這個悖論，爆發了關于集合論研究的風暴。弗雷格方案的悖論在于是否存在與自己不相等的集合。如果這個集合真實存在，那它究竟與自己相等還是不相等，此處便會生成悖論。如果這個集合與自己相等，那么它就是與自己不相等的集合，因為按照這個集合的定義它就是與自己不相等的集合；如果這個集合與自己不相等，那么它就成了與自己相等的集合，因為與自己不相等正好符合這個集合的定義。這個悖論的實質是假如X等于X，那么X不等于X，假如X不等于X，那么X等于X。

以羅素悖論為代表的一系列集合悖論的出現，使得康托爾樸素集合論搖搖欲墜，因為掀起了對于數學基礎研究的熱潮。在此期間產生了數學三大派系，一是以弗雷格，羅素為代表的邏輯主義，他們認為數學的基礎是邏輯，數學是邏輯學的一個分支。數學的所有原始概念都可以用邏輯概念定義，可以用邏輯規則構建起整個數學大廈，邏輯完全能夠為數學的可靠性奠基。一是以布勞威爾為代表的直覺主義，直覺主義者對數學基礎的看法與邏輯主義恰好相反。直覺主義認為數學的基石是心靈的直覺而不是邏輯，數學并不依賴邏輯，相反邏輯倒要依賴數學。至于無限的問題，直覺主義堅持無限的潛在性，反對實無限。直覺主義的口號是“存在在于構造”，數學命題的真理性在于其可以被構造。一是以希爾伯特為代表的形式主義，希爾伯特解決數學基礎問題的方案是與邏輯主義、直覺主義不同的，但又以它們二者為基礎，在他們兩派的基礎上形成自己的思想體系。希爾伯特形式主義的核心思想是試圖用有限的方法解決包含無限概念的古典數學的可靠性問題。

希爾伯特的形式主義方案并沒有實現，哥德爾不完備性定理的出現終結了形式主義構建完備數學基礎的理想。哥德爾不完備性定理認為形式算術的任一遞歸擴張假如是無矛盾的，那么這個形式系統是不完備的。形式系統的無矛盾性是指系統內部的任何推導都不能出錯，不能出現自相矛盾的命題，不能出現二律背反。完備性是指形式系統內的所有命題都能夠被證明，在系統內部能夠被判定真偽。

五、有限與無限的悖論

哥德爾不完備性定理的出現終結了數學三大派別的爭論。這個定理闡明形式系統的無矛盾性與完備性不可兼得。哥德爾不完備定理使得對數學基礎的探究更深一步。數學基礎或許注定不能做到完備，總會出現數學本身不能解決的悖論，而造成此種困境的根源應該是有限與無限的悖論。有限的經驗歸納如何能夠達到無限的真理。真理具有無限性，無限性體現在其普遍必然的有效性。但人們對于真理的認識依賴于對經驗的歸納提煉，但經驗畢竟是有限的，經驗之外的世界我們一無所知。

經驗論者休謨對于知識的懷疑不無道理。知識的得出源自經驗的提煉，當人們看到自己所見的烏鴉都是黑色后得出了“烏鴉是黑色的”這個知識，但所有烏鴉都是黑色的嗎？萬一見到一只白色烏鴉呢。因此，經驗總是個別的累積，不可能得到全面的真理，由部分推導出整體顯然不合理。休謨進一步認為，所謂的客觀規律其實并不必然，它們僅僅是人們一廂情愿的心理聯系。在人們歷經的經驗世界里，在一個經驗事物出現后總會出現另一個經驗事物，如此反復，人們自然而然形成慣性思維，這兩個經驗事物存在著聯系，而且是因果聯系，先出現的事物是原因，后出現的事物是結果。因而所謂規律無非是人的主觀聯想而已。

六、結論

休謨關于真理的解釋切斷了有限經驗通往無限的超驗真理的道路，有限與無限的悖論不可解決，二者矛盾不可調和。有限與無限的悖論是數學基礎研究中最為根本的矛盾，它的存在使得數學無法找到自己牢不可破的根基，數學的根基不牢那么數學方法的普遍性就值得懷疑，所謂的普遍數學并不一定如其所言完完全全具備必然有效性。既然普遍數學的方法并不可信，那么笛卡爾借由普遍數學方法構建整個知識大廈實現哲學體系大一統的理想也并不可能實現，因為這個統一所有學科知識的大一統體系同樣無法回答有限如何達到無限的詰難。

【參考文獻】

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【作者簡介】

章宦波（1990—），男，浙江溫州人，遼寧大學哲學與公共管理學院碩士研究生在讀，主要研究方向：科學技術哲學。