雙定子杯形轉子感應電機磁路計算

姚江帆，歐陽斌，翟小飛

（海軍工程大學艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室，武漢 430033）

雙定子杯形轉子感應電機磁路計算

姚江帆，歐陽斌，翟小飛

（海軍工程大學艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室，武漢 430033）

為分析雙定子杯形轉子電機性能，分別采用傳統磁路計算法和分布磁路法對其進行磁路計算，研究內定子和外定子各部分的磁通密度和磁壓降。迭代計算給定相電壓或勵磁電流下的空載特性和激磁電感并與實驗進行對比，結果與實測值相吻合，證明了分布磁路法的準確性和普適性。

雙定子 感應電機 磁路計算 分布磁路法 空載特性

0 引言

雙定子杯形轉子感應電機是一種特殊結構的多相電機，其結構如圖1所示，其內外兩套獨立定子繞組以及空心杯形薄壁轉子的結構使其具有轉動慣量低、響應速度快、轉矩密度大、轉矩波動小等優點[1]。小型雙定子杯形轉子電機在多個領域都有應用，文獻[2]介紹了一種應用于機器人直驅的高扭矩電機，文獻[3]詳細設計了一種應用于能量回收領域的小型雙定子杯形轉子電機，文獻[4]介紹了杯形測速發電機的計算。這些電機雖然在外觀上類似本文所研究電機的縮小版，但它們的內定子均未開槽，沒有嵌放繞組，所以從本質上看仍是三相感應電機，與本文電機在具體結構、功率/轉矩密度上都有較大差異，因而表現出不同的性能。

為研究該雙定子杯形轉子電機的性能，首先應進行電機的磁路計算。現有的主磁路計算方法主要有：解析磁路法，磁網格法和有限元法[5]。傳統的解析磁路法把電機分成每段包含一對極的若干扇形段，其中每一個扇形段的磁場簡化為閉合磁回路，根據全電流定律，通過計算磁回路的磁場強度得到勵磁磁勢，再分別計算氣隙磁密、定子齒部磁密和軛部磁密，經過飽和系數迭代最后得到電機的空載曲線。傳統磁路法依賴極弧系數、氣隙磁場波形系數和軛部磁壓降矯正系數等需要查表的近似處理方式，這種方法針對正弦供電的電機雖然能快速求出最大磁密，但對于越來越普遍的多相電機適用性不強。近年來，有限元法發展迅速，得到廣泛應用，但由于其計算周期長，靈活度較低，不適合電機前期設計和后期優化。分布磁路法[6]可以有效解決上述問題，這種方法一方面對磁路進行了網格剖分，不使用過多修正系數，能較細致地刻畫出電機氣隙磁場波形，在適用性和靈活性上優于傳統磁路法；另一方面它通過MATLAB編程即可實現，計算快速方便，優于有限元法。

圖1 雙定子杯形轉子電機結構示意圖

本文分別用傳統的解析磁路法和分布磁路法對雙定子電機進行磁路計算，求出電機空載特性曲線和激磁電感參數并與實驗結果作對比，驗證了新方法在雙定子杯形轉子電機磁路計算中的準確性和有效性。

2 傳統磁路法簡要回顧

根據電機設計中介紹的傳統磁路法[7]，構建雙定子杯形轉子電機磁路模型，以外定子為例，設 1～2段為氣隙段，2～3段為外定子齒段，3～4段為外定子軛段，內定子方法一致，如圖2所示。不同于傳統三相異步電機，本文研究的雙定子電機轉子是薄壁光滑、沒有繞組的，因此轉子不是空載磁路的一部分。內定子和外定子繞組共同建立的旋轉磁場作用于轉子，使其感應出電磁轉矩。

根據全電流定律，沿磁力線取正向積分，有

式中H為磁場強度，l為磁路積分路徑，右邊表示對應每極的勵磁磁勢。

由圖2中對閉合磁回路的分段，式（1）變為

將勵磁磁勢的計算轉化為磁路各段磁壓降的計算。其中，氣隙磁壓降為

式中，δ為氣隙徑向長度， Kδ為計及齒槽效應引入的Carter系數，氣隙磁密最大值Bδ由每極磁通Φ、計算極弧系數α’p、電機極距τ和磁路軸向有效長度lef確定，如下式：

式中，E為相電勢，KNm為氣隙磁場波形系數，氣隙磁場呈理想正弦分布時KNm等于1.11，為2/π，電機齒部越飽和，越大。Kdp為繞組系數，f為電流頻率，Nφ為相繞組串聯匝數。KNm和α通過預取的飽和系數Ks查曲線KNm= f(Ks)和= f(Ks)得到。

圖2 雙定子電機傳統磁路模型

根據磁通連續原理，以內定子為例，齒部磁密Bti、軛部磁密Bji分別為

式中，t為內、外定子齒距，lFe為計及疊壓系數的定子鐵心軸向長度，bti近似為離齒最狹1/3齒高處的內定子齒寬，hji為軛高。

當齒磁密超過1.8T時，進行如下修正：其中，bs為槽寬，Hti是查 1.8T以上磁化材料曲線的磁場強度。

計算出準確的齒部磁密后查表獲取磁場強度即可算出齒部磁壓降。再將其代入飽和系數定義式

計算軛部磁壓降時，應注意軛部磁壓降校正系數Cji的引用

式中，Cji與軛尺寸、極對數和 Bji有關，Lji為每極齒聯軛磁路計算長度。

得到各段磁壓降后，可以求出閉合回路的磁壓降和各電壓下產生最大磁密的勵磁電流需求，如下式

式中，Im為勵磁電流，m為相數，p為極對數。

傳統磁路法的核心是把氣隙段、齒部、軛部分別等效為整體考慮，計算其各自的最大磁密。雖然程序編寫較簡單，迭代收斂也比較迅速，但在實際情況中，齒部和軛部的磁勢、磁密都不是均勻的，因此引入下面的分布磁路法。

3 分布磁路法計算過程

分布磁路法是基于多個磁回路進行迭代處理的數值計算方法，依據磁勢滿足線性疊加關系，對定子進行等間隔周向分塊，通過氣隙磁密迭代計算出圓周氣隙中心線上各節點的磁密、磁勢及合成磁勢，進而計算出激磁電感等。此計算方法所做的假設有：齒部磁力線為徑向、軛部磁力線為周向、引入Carter系數計及內外定子齒槽效應等，與傳統磁路法的假設一致。

3.1 磁路模型建立與劃分

在雙定子杯形轉子電機半個極距范圍內沿周向等間隔分塊，對應電角度從 0到 π/2，沿徑向進行磁路計算分區：氣隙區（Ⅰ）、內定子齒部區（Ⅱ）、內定子軛部區（Ⅲ）、外定子齒部區（Ⅳ）、外定子軛部區（Ⅴ）。在磁路模型中，沿周向等角度均勻分為N塊，對應氣隙中心線上N+1個等間隔節點，如圖3所示。

圖3 磁路模型徑向分區、周向分塊

3.2 階梯波磁勢表達

雙定子杯形轉子電機的勵磁磁勢為階梯波形式，在半個極距下，對 N+1個等間隔節點，設N1為內定子、外定子齒部區域包含的節點數，N2為槽部區域包含的節點數。

設Im0為空載勵磁電流，q為每極每相線圈數，Nc為線圈匝數，q2為半個極距內包含的內/外定子齒數，k為計數值，取值范圍從1～q2，interp1為MATLAB線性插值函數。根據繞組布置，有半個極距下的勵磁磁動勢F(i)表達如下：

i=1～3N1/2+N2，即對應第一個半個齒部、第一個槽部和第二個齒部時，

i=3N1/2+N2+1～3N1/2+2N2，即對應第二個槽部時，

i=3N1/2+2N2+1～5N1/2+2N2，即對應第三個齒部

時，

以此類推，在對應第(k+1)個齒部，即

i=(2k-1)N1/2+kN2+1～(2k+1)N1/2+kN2時，

i=(2k+1)N1/2+kN2+1～(2k+1)N1/2+(k+1)N2時，

特別地，對應第(q2-1)個齒部時，

在第(q2+1)個齒部，即最后半個齒部區域節點上，i=(2q2-1)N1/2+q2N2+1～N+1時，有= 0 。

3.3 各段回路磁密和磁壓降計算

給定勵磁電流Im0一個初值，同時預設一個飽和系數值kst，第i節點處氣隙磁密Bδ(i)為

在齒不太飽和時，認為磁場全由齒中通過。即i=(2k-1)N1/2+kN2+1～(2k+1)N1/2+kN2時，第i節點處內定子、外定子齒部磁密Bti(i)和Bto(i)為

式中，Bδav為齒部對應節點氣隙磁密的平均值，bti和 bto分別為內定子、外定子齒寬。其余節點的齒部磁密為0。

當齒磁密大于1.8T時，認為因磁路飽和磁通并未全部從齒中通過，有少部分流進槽中，故引入類似傳統磁路法中的修正關系：

對于軛部磁密，同樣根據磁通連續性原理，第1節點與第i節點間氣隙中心面上的徑向磁通等于第i節點處軛部截面上的周向磁通，因此第i節點處內定子、外定子軛部磁密Bji(i)和Bjo(i)分別為

式中，hji、hjo分別為內定子軛高和外定子軛高。

根據第i節點處內定子、外定子齒部和軛部磁密，查材料磁化曲線得到對應的磁場強度Hti(i)、Hji(i)和 Hto(i)、Hjo(i)。因此閉合磁回路各段的磁壓降分別為

式中，hti、hto分別為內定子、外定子齒高，Lj1、Lj2分別為內定子、定子每極齒聯軛磁路計算長度。

經過第i節點的閉合回路總磁壓降為

3.4 氣隙磁密迭代

由安培環路定律，閉合磁路中的總磁壓降等于磁勢。對1～N范圍內的每一個節點對應的閉合磁路，磁壓降應等于該節點的勵磁磁勢。對兩個磁勢向量，認為它們之間的相對距離d小于給定精度ε就表示磁勢相等，即

若式(32)不滿足給定精度，則對氣隙磁密Bδ(i)進行如下修正，代回計算程序重新計算，直到滿足精度。第i節點處的修正氣隙磁密B′δ(i)為

式中，kB為修正系數，取值范圍為 0.05～0.5，一般飽和程度較低時取大值，飽和程度高時取小值，取大值可能發散，取小值迭代次數增多。

根據磁勢的奇偶對稱性將氣隙磁密值由半個極距延拓至一對極范圍，即從1/4個周期延拓到1個周期。用MATLAB中傅里葉函數分解得到氣隙磁密基波幅值，以及各次諧波分布。

4 計算結果與實驗結果比較驗證

4.1 氣隙磁密分布分析

根據前述兩種雙定子杯形轉子電機磁路計算方法，利用MATLAB軟件編寫計算程序，分別用兩種方法計算電機的氣隙磁密分布。其中，分布磁路法計算值延拓后一個周期下的氣隙磁密分布如圖4所示。

可以看出，分布磁路法計算出的氣隙磁密分布體現了階梯波磁勢的特征。而傳統磁路法利用計算極弧系數和極弧計算長度描繪氣隙磁密分布，只能粗略地描述氣隙磁密變化趨勢同計算極弧系數的關系（齒部越飽和，氣隙磁場波形越平，計算極弧系數越大），不能像分布磁路法這樣從階梯波磁勢的角度表現更貼近真實的磁密變化。這一點說明分布磁路法相對傳統磁路法計算結果更加豐富，便于后續作其他分析。

4.2 空載特性比較驗證

空載實驗由外部三相電源拖動雙定子杯形轉子電機加速到空載轉速，在空載運行穩定后，通過Synergy采集電機轉速、內定子和外定子三相電流、兩相線電壓數據以及電機輸入功率。取95Hz這一工作點進行數據分析，將得到的空載特性曲線同計算結果進行對比。由于空載磁路計算時忽略端部漏電感和槽部漏電感，而實驗所測得的端部電壓包含這兩項，因此將計算值計及定子總漏感的影響，得到傳統方法與分布磁路法計算結果與實驗結果對比如圖5所示。

由圖5可知，分布磁路法和傳統磁路法的理論計算值與實驗結果總體誤差在 4%以內，兩種方法計算結果相差不大，說明利用這兩種方法對雙定子杯形轉子電機進行磁路計算較為準確，電機空載特性與預期結果也相差不大。

進一步分析，可知當飽和程度較低時，計算值與實測值吻合度較高；隨著氣隙磁密飽和加深，傳統磁路法計算得到的相同電壓下的勵磁電流需求較實測偏小。這一現象是磁路模型簡化考慮、引入修正系數進行等效共同造成的，用分布磁路法也產生同樣的結果，其主要原因在于Carter系數計及定子齒槽效應[8]。卡特系數是在不考慮飽和并假設槽型為無限深矩形槽的理想情況下利用許克變換所得的解析式，所以在飽和以及槽深有限的情況下，實際等效氣隙長度并不等于計算方法中用卡特系數計算出的等效氣隙長度。

由于分布磁路法中磁路模型按網格劃分，磁場描述更加細致，減少了對參數查表的依賴，所以該方法較傳統方法更加靈活，通用性和一般性較好。

圖5 兩種方法計算值與實驗空載特性對比

4.3 激磁電感求取與對比

由空載磁路計算得到氣隙基波磁密分布和最大值后，可由式(34)和式(35)分別算出每極基波磁通最大值Φ1m和感應電勢基波有效值E1。

式中，Bδ1m為氣隙基波磁密最大值，Kdp1為基波繞組系數。

在給定基波相電壓有效值計算磁路的情況下，可由空載等值電路推導出激磁電抗，由式(36)給出。雙定子杯形轉子感應電機理想空載運行時轉差率為 0，忽略激磁電阻和定子電阻，其空載等值電路為激磁電抗和定子漏抗串聯的一條支路。

式中，Im1為基波激磁電流有效值，U1為相電壓有效值，Xm1為激磁電抗，Xl為定子漏抗。

進而由式(37)計算出激磁電感參數，即

表 1給出此電機在額定工況下傳統磁路法（方法1）和分布式磁路法（方法2）對激磁電感的計算結果與實測值及相對誤差。可以看出，兩種方法計算出的激磁電感參數相差不大，與實測值相對誤差也較小。

表1 激磁電感計算值與實測值比較

5 結語

本文分別用傳統磁路法和分布磁路法對雙定子杯形轉子電機展開了磁路計算，得出該電機各部分的磁密分布和空載特性曲線，并據此計算出激磁電感參數，將理論計算值與實驗值進行了對比，結果均較為準確。比較分析兩種方法，分布磁路法普遍適用性更強且計算結果更加豐富，在計算雙定子杯形轉子電機的磁路中具有推廣意義。

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Magnetic Circuit Calculation of Dual-stator Induction Machine with Drag-cup Rotor

Yao Jiangfan, Ouyang Bin, Zhai Xiaofei
(National Key Laboratory of Science and Technology on Vessel Integrated Power System, Naval University of Engineering，Wuhan 430033, China)

In order to analyze the performance of dual-stator induction machine, magnetic calculation is made by conventional magnetic approach and distributed magnetic circuit approach(DMCA) respectively. Magnetic flux density and magnetic potential drop in each sections of inner stator and outer stator are studied. No-load characteristic and magnetizing inductance are calculated by iterative method under given phase voltages or exciting currents and compared with experiments. The agreement between calculated results and measured ones demonstrates the accuracy and universality of DMCA.

dual-stator；induction machine；magnetic calculation；distributed magnetic circuit approach；no-load characteristic

TM346

A

1003-4862（2017）02-0048-06

2016-10-12

國家自然科學基金資助項目（51407190）。

姚江帆(1992-)，男，碩士研究生。研究方向：集成化發電技術。E-mail:cnjfyao@163.com

歐陽斌(1981-)，男，博士，副教授。研究方向：電機設計分析及控制技術。