關于最優觀影位置選擇的數學模型

蘇本容

摘 要：該文從看電影時觀眾的舒適度出發，對影院的座位選擇進行了探討。一方面，仰角不能太大，仰角即觀眾眼睛到屏幕上下邊緣的視線夾角，太大使人的頭部過分上仰，引起不適；另一方面，因為音響擺放位置的不同，聲音對位置的選擇也有影響。該文著眼于這兩個角度，分別構建了關于角度和聲音的數學模型，并代入不同規格的實際影廳的數據，最后得出結論。

關鍵詞：電影院 角度 聲音數學模型

中圖分類號：TP301.6 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）09（c）-0169-02

當今這個時代，電影是一種喜聞樂見的大眾藝術，人們喜歡在閑暇時間走進影院，體驗其中的喜怒哀樂。而同時，作為一種消費，人們總是希望自己能坐在電影院的最佳位置，使得視覺、聽覺得到最好的享受。在設計影院時，已經充分考慮了觀眾看電影的舒適度，對于影院的地板傾角、前后排椅子之間的距離等都經過了精心的設計，而盡管如此，不同位置看電影肯定也有很大差異。根據這個想法，該文進行了數學建模。

1 模型的構建

1.1 模型假設與符號

假設影院的座位席傾角已知，座位的水平間距已知且相等，第一排座位到屏幕的水平距離已知，屏幕上下邊緣到水平面的豎直高度已知。假設影廳內只有兩組音響，對稱放置在屏幕兩端，屏幕和座椅席寬度大致相同且已知，在考慮聲音的影響時，因為座椅高度對于距離的影響較小，所以考慮座椅到音響的距離時近似認為座椅與音響在同一水平面。

L1：第一排座位到屏幕的水平距離；L2：觀影位置距離屏幕的水平距離；h1：屏幕下端距離水平面的豎直高度；h2：屏幕上端距離水平面的豎直高度；h3：觀影位置距離水平面的豎直高度；α：觀眾眼睛到屏幕上邊緣與水平線夾角；β：觀眾眼睛到屏幕下邊緣的夾角；γ：座位席斜面的傾角；x：水平排距，各排相等；n：最優排數；S：屏幕和座椅席的寬度；（x，y）：座椅席上任意一點的坐標；x：座位距離音響1的平行于屏幕面方向的水平距離；y：座位距離屏幕的垂直于屏幕面方向的水平距離；s1：座椅到音響1的距離；s2：座椅到音響2的距離；v：聲速；：兩組音箱的聲音到達座椅的時間差。

1.2 角度對于觀影位置選擇的影響

看電影時的舒適程度取決于觀看的仰角，即觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，太大容易使人頭部過分上仰，引起不適。因此，這部分將會構建數學模型說明仰角和座位所處的影院位置的關系，建立起位置（排數）和仰角的函數；又從生理學的角度，了解到仰角不能超過一定的值，在這個值之內的仰角對應的位置均可稱為可接受的舒適位置，而這個值之外的仰角對應的位置則較不舒適，不予選擇。首先計算座椅位置與屏幕上邊緣所成角度的正切值，反推座椅的豎直高度，再由豎直高度和座椅席的傾角計算座椅到座椅席最前端的距離，最后以該距離和座椅間的平均水平間距計算出最優排數（見圖1）。由平面幾何的相關知識，可知：

由此解得：

1.3 聲音對于觀影位置選擇的影響

由于影廳的音響放置在不同的位置，因此在不同的觀影位置，人耳能接收到的來自不同位置的音響聲音有時間差。如圖2中，1、2兩處為屏幕兩端放置音響的位置，（x，y）處為座椅席上任意一點。這個部分考慮了座椅席上任何一點接收的不同音響聲音造成的時間差，首先考慮任何一點距離兩個音響的水平距離，由運動學知識可以計算出聲音從音響到達該點所需要的時間，最后計算出時間差。然而，人耳分辨時間有一定的精確度，只有時間差達到一定的程度，人耳才可以分辨，若時間差在人耳不可察覺的范圍內，則不會對觀影的舒適度造成影響。由上文的模型假定和平面幾何，運動學的相關知識可知：

若兩組音響的聲音到達座椅的時間差在人耳可分辨的范圍以外，則不會對觀影舒適度造成影響。

2 模型在實際問題中的應用

2.1 小型影廳的最優位置

小型影廳的最優位置：一般小型影廳h高≥6.5 m，最小電影廳的銀幕應≥8 m，傾斜角為7°，第一排局熒幕距離4 m，排距為1 m，共為12排，經過計算，可得出5～6排為最佳角度觀影區域。而不同音響的時間差小于人耳可分辨的范圍，所以聲音對座椅的選擇沒有影響。

2.2 大型影院的最優位置

大廳的影院內部凈高度≥9.5 m，大廳銀幕應≥14 m，傾斜角度7°，第一排距熒幕距離5 m，排距為1 m，共有25排，計算可得出10～12排為最佳觀影區域。而不同音響的時間差小于人耳可分辨的范圍，所以聲音對座椅的選擇沒有影響。

3 模型評價與改進

該模型的亮點在于分別從橫向和縱向兩個角度對不同因素進行討論。在縱向討論時，著重考慮觀看電影的仰角對于人體舒適度的影響；而橫向討論時，則著重考慮接收不同位置的聲音對于音響效果的影響。模型清晰、直觀、函數簡單明了。不足之處在于縱向和橫向的討論均沒有考慮到視角的影響，即人眼與屏幕的上下（或左右）邊緣所成的兩條直線段的夾角，對于一般城市中較小的影廳，視角的影響較小，而對于較大的影廳，視角可能會對觀影體驗造成一定的影響。

參考文獻

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