道路干擾對捕食者—食餌系統穩定性的影響

郭淑玲++柳佳鑫++招倩儀++楊勇++戎海武

摘 要：該文討論了道路對具有擴散項的、三次反應項的Lotka-Volterra食餌-捕食者系統穩定性的影響。通過將系統離散化，借助數值模擬，發現設置道路會延長生態系統達到穩態的時間。

關鍵詞：捕食與被捕食模型 道路干擾 穩定性態

中圖分類號：O242.1 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）09（c）-0051-03

該文考慮如下帶有3次反應項的Lotka-Volterra食餌-捕食者模型：

（1）

其中，分別表示食餌和捕食者的數量，為食餌的增長率，為捕食者的死亡率，和為擴散系數，是二維空間的Laplace算子，描述了物種在二維空間的擴散。和分別為食餌和捕食者的最大環境容納量。

另一方面，道路的大肆興建促進了社會經濟迅速發展的同時對自然景觀和生態系統所產生的諸如環境污染、景觀破碎、生境退化、生物死亡率遞增、生物多樣性減少、生物入侵、生態阻隔和廊道效應等各種生態破壞也在急劇地擴大。正確理解和全面分析道路網絡建設以及交通所產生的生態影響，最大限度地降低道路網絡對自然生態系統的負面效應，進而保護生物多樣性、維持生態系統的平衡，是近10年來生態數學家關注的熱點問題之一。受文啟發，該文主要考慮設置道路與否對具有擴散和三次反應項的Lotka-Volterra食餌-捕食者系統（1）達到穩定性態的影響，這與文考慮的二次反應項不同。我們假設，不設置道路時，物種在空間上具有相同的擴散速率；設置道路時，物種從道路一側穿越到另一側的擴散速率由于受到車流量等因素的影響會顯著減小。

1 穩定性分析

1.1 局部穩定性分析

定理1零平衡點為鞍點，不穩定。

定理2若，則系統（2）在邊界平衡點處是局部漸近穩定的。

定理1，2的證明比較簡單，故省略。

定理3若，則邊界平衡點為鞍點，不穩定，此時系統（2）在正平衡點處是局部漸近穩定的。

1.2 全局穩定性性分析

由于正平衡點的存在，反映兩物種可以共存，從而防止生物多樣性的喪失，下面將分析正平衡點的全局漸近性態。

定理4若且≤0，則系統（1）的常數穩態解是全局漸近穩定的。

2 數值模擬及分析

在這一節，首先對系統（2）進行數值模擬。取則是全局漸近穩定的，如圖1所示，兩個種群一直保持相互依存的關系。

現在研究設置道路對生態系統（1）穩定性的影響。

先考慮不設置道路時，食餌-捕食者系統的空間傳播性質。取τ，其中τ為離散時間步長，為離散空間步長。模擬初始時，系統中第一列兩種群的密度分別為1，其它列為0。采用500×500的空間，每個格點與相鄰的4個格點之間可以擴散，邊界按零流邊界處理，即整個空間是封閉的，邊界上的點只在空間內部擴散。經過計算，在t=378.3 s時，N種群的生物波傳到最后一列；t=1310.6 s時，N種群的生物波達到穩態值15.4，見圖2。

在t=336.1 s時，M種群的生物波傳到最后一列；t=1294.7 s時，M種群的生物波達到穩態值15.1，見圖3。

下面進一步考慮設置道路以后對物種擴散的影響。假設在道路垂直方向上，道路兩側點的格點的擴散系數為其它格點的擴散系數為別的參數值不變。經過計算，經過計算，在t=411.3 s時，N種群的生物波傳到最后一列；t=1412.1 s時，N種群的生物波達到穩態值15.4，見圖4。

在t=388.2 s時，M種群的生物波傳到最后一列；t=1348.7 s時，M種群的生物波達到穩態值15.1，見圖5。

通過比較，發現在第200列設置一條道路時，生態系統達到穩態的時間比不設道路的時間長。這說明道路會干擾生態系統達到穩態的時間。

3 結語

食餌-捕食者系統在自然界非常普遍。研究道路設置與兩種群達到穩態值的時間關系，對于自然保護區是否設置生態廊道提供了一定的理論指導與借鑒作用。

參考文獻

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