李超三系上帶有權λ的廣義導子

尹 雪，劉 寧，張慶成

(東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

李超三系上帶有權λ的廣義導子

尹 雪，劉 寧，張慶成

(東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

給出了李超三系上帶有權λ的廣義(θ，φ)-導子和帶有權λ的廣義Jordan(θ，φ)-導子的定義，得到了李超三系上帶有權λ的廣義Jordan(θ，φ)-導子是帶有權λ的廣義(θ，φ)-導子的充分條件，對李超三系上廣義導子的相關結果進行了推廣.

廣義導子；廣義Jordan導子；李超三系；權λ

1 預備知識

李超三系的概念是在解Yang-Baxter方程的過程中逐漸提出的.[1]文獻[2]應用三角積解決了Yang-Baxter方程的問題.李超三系雖然是新提出的，但它易于接受，其與李超代數的關系，就如同李三系與李代數的關系.李三系的研究曾主要集中在單李三系的研究上，文獻[3]從多個方面對李三系進行了系統的研究，對李三系的導子、分解唯一性等都進行了系統的討論.

導子代數與廣義導子代數在李代數和李超代數的研究中起著非常重要的作用.[4]文獻[5-6]對n-李代數導子、李三系廣義導子進行了研究，但是帶有權的廣義導子的研究卻少之又少.本文在文獻[7]的基礎上對帶有權的廣義導子進行了研究.

定義1.1[8]Z2-階化線性空間T上若有三元運算[·，·，·]滿足：

(1)d([x，y，z])≡(d(x)+d(y)+d(z))(mod 2)；

(2) [x，y，z]=-(-1)d(x)d(y)[y，x，z]；

(3) (-1)d(x)d(z)[x，y，z]+(-1)d(x)d(y)[y，z，x]+(-1)d(y)d(z)[z，x，y]=0；

(4) [u，v，[x，y，z]]=[[u，v，x]，y，z]+(-1)(d(u)+d(v))d(x)[x，[u，v，y]，z]+(-1)(d(u)+d(v))(d(x)+d(y))·[x，y，[u，v，z]].

其中x，y，z，u，v是T中的齊次元素，d(x)表示齊次元素x的Z2次數.則稱T為李超三系.本文中符號d(x)出現時默認x為T中的齊次元素.

定義1.2[7]設T是李超三系，則：

(1) 一個齊次線性映射D1：T→T被稱為關于(θ，φ)1-導子δ1的廣義(θ，φ)1-導子，若d(D1)=d(δ1)，且

D1([x，y，z])=[δ1(x)，θ(y)，φ(z)]+(-1)d(D1)d(x)[θ(x)，δ1(y)，φ(z)]+
(-1)d(D1)(d(x)+d(y))[θ(x)，φ(y)，D1(z)]，?x，y，z∈T；

(2) 一個齊次線性映射D2：T→T被稱為關于(θ，φ)2-導子δ2的廣義(θ，φ)2-導子，若d(D2)=d(δ2)，且

D2([x，y，z])=[δ2(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D2)d(x)[θ(x)，δ2(y)，φ(z)]+
(-1)d(D2)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D2(z)]，?x，y，z∈T；

(3) 一個齊次線性映射D3：T→T被稱為關于(θ，φ)3-導子δ3的廣義(θ，φ)3-導子，若d(D3)=d(δ3)，且

D3([x，y，z])=[δ3(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D3)d(x)[φ(x)，δ3(y)，θ(z)]+
(-1)d(D3)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D3(z)]，?x，y，z∈T.

特別地，?i=1，2，3，若θ=φ，則稱廣義(θ，φ)i-導子D為關于θ-導子δ的廣義θ-導子.當θ=φ=1T且δ是導子時，稱D是廣義導子.

定義1.3[7]設T是李超三系，有：

(1) 若δ1為Jordan(θ，φ)1-導子，則一個齊次線性映射D1：T→T被稱為關于δ1的廣義Jordan(θ，φ)1-導子，如果d(D1)=d(δ1)，且

D1([x，y，x])=[δ1(x)，θ(y)，φ(x)]+(-1)d(D1)d(x)[θ(x)，δ1(y)，φ(x)]+
(-1)d(D1)(d(x)+d(y))[θ(x)，φ(y)，D1(x)]，?x，y∈T；

(2) 若δ2為Jordan(θ，φ)2-導子，則一個齊次線性映射D2：T→T被稱為關于δ2的廣義Jordan(θ，φ)2-導子，如果d(D2)=d(δ2)，且

D2([x，y，x])=[δ2(x)，θ(y)，θ(x)]+(-1)d(D2)d(x)[θ(x)，δ2(y)，φ(x)]+
(-1)d(D2)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D2(x)]，?x，y∈T；

(3) 若δ3為Jordan(θ，φ)3-導子，則一個齊次線性映射D3：T→T被稱為關于δ3的廣義Jordan(θ，φ)3-導子，如果d(D3)=d(δ3)，且

D3([x，y，x])=[δ3(x)，θ(y)，θ(x)]+(-1)d(D3)d(x)[φ(x)，δ3(y)，θ(x)]+
(-1)d(D3)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D3(x)]，?x，y∈T.

特別地，?i=1，2，3，若θ=φ，則稱廣義Jordan(θ，φ)i-導子D為關于Jordanθ-導子δ的廣義Jordanθ-導子.當θ=φ=1T，且δ是Jordan導子時，稱D是廣義Jordan導子.

本文假設：基域F的特征不為3；T是一個李超三系；θ，φ：T→T是T的齊次線性映射，且d(θ)=d(φ)=0.

定義1.4設T是李超三系，有：

(1) 設α1是(θ，φ)1-導子，且d(α1)=0，δ1為帶有權λ的(θ，φ)1-導子.一個齊次線性映射D1：T→T被稱為關于δ1的廣義帶有權λ的(θ，φ)1-導子，若d(D1)=d(δ1)，且

D1([x，y，z])=[δ1(x)，θ(y)，φ(z)]+(-1)d(D1)d(x)[θ(x)，δ1(y)，φ(z)]+
(-1)d(D1)(d(x)+d(y))[θ(x)，φ(y)，D1(z)]+λ[α1(x)，α1(y)，φ(z)]+
λ[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+λ[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+λ2[α1(x)，α1(y)，α1(z)]，?x，y，z∈T.

(2) 設α2是(θ，φ)2-導子，且d(α2)=0，δ2為帶有權λ的(θ，φ)2-導子.一個齊次線性映射D2：T→T被稱為關于δ2的廣義帶有權λ的(θ，φ)2-導子，若d(D2)=d(δ2)，且

D2([x，y，z])=[δ2(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D2)d(x)[θ(x)，δ2(y)，φ(z)]+
(-1)d(D2)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D2(z)]+λ[α2(x)，α2(y)，φ(z)]+
λ[α2(x)，φ(y)，α2(z)]+λ[φ(x)，α2(y)，α2(z)]+λ2[α2(x)，α2(y)，α2(z)]，?x，y，z∈T.

(3) 設α3是(θ，φ)3-導子，且d(α3)=0，δ3為帶有權λ的(θ，φ)3-導子.一個齊次線性映射D3：T→T被稱為關于δ3的廣義帶有權λ的(θ，φ)3-導子，若d(D3)=d(δ3)，且

D3([x，y，z])=[δ3(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D3)d(x)[φ(x)，δ3(y)，θ(z)]+
(-1)d(D3)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D3(z)]+λ[α3(x)，α3(y)，θ(z)]+
λ[α3(x)，φ(y)，α3(z)]+λ[φ(x)，α3(y)，α3(z)]+λ2[α3(x)，α3(y)，α3(z)]，?x，y，z∈T.

特別地，?i=1，2，3，若θ=φ，則稱廣義帶有權λ的(θ，φ)i-導子D為關于帶有權λ的θ-導子δ的廣義帶有權λ的θ-導子.當θ=φ=1T，且δ是帶有權λ的導子時，稱D是廣義帶有權λ的導子.

定義1.5設T是李超三系，有：

(1) 設α1是Jordan(θ，φ)1-導子，且d(α1)=0，δ1為帶有權λ的Jordan(θ，φ)1-導子.一個齊次線性映射D1：T→T被稱為關于δ1的廣義帶有權λ的Jordan(θ，φ)1-導子，若d(D1)=d(δ1)，且

D1([x，y，x])=[δ1(x)，θ(y)，φ(x)]+(-1)d(D1)d(x)[θ(x)，δ1(y)，φ(x)]+
(-1)d(D1)(d(x)+d(y))[θ(x)，φ(y)，D1(x)]+λ[α1(x)，α1(y)，φ(x)]+
λ[α1(x)，θ(y)，α1(x)]+λ[θ(x)，α1(y)，α1(x)]+λ2[α1(x)，α1(y)，α1(x)]，?x，y∈T.

(2) 設α2是Jordan(θ，φ)2-導子，且d(α2)=0，δ2為帶有權λ的Jordan(θ，φ)2-導子.一個齊次線性映射D2：T→T被稱為關于δ2的廣義帶有權λ的Jordan(θ，φ)2-導子，若d(D2)=d(δ2)，且

D2([x，y，x])=[δ2(x)，θ(y)，θ(x)]+(-1)d(D2)d(x)[θ(x)，δ2(y)，φ(x)]+
(-1)d(D2)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D2(x)]+λ[α2(x)，α2(y)，φ(x)]+
λ[α2(x)，φ(y)，α2(x)]+λ[φ(x)，α2(y)，α2(x)]+λ2[α2(x)，α2(y)，α2(x)]，?x，y∈T.

(3) 設α3是Jordan(θ，φ)3-導子，且d(α3)=0，δ3為帶有權λ的Jordan(θ，φ)3-導子.一個齊次線性映射D3：T→T被稱為關于δ3的廣義帶有權λ的Jordan(θ，φ)3-導子，若d(D3)=d(δ3)，且

D3([x，y，x])=[δ3(x)，θ(y)，θ(x)]+(-1)d(D3)d(x)[φ(x)，δ3(y)，θ(x)]+
(-1)d(D3)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D3(x)]+λ[α3(x)，α3(y)，θ(x)]+
λ[α3(x)，φ(y)，α3(x)]+λ[φ(x)，α3(y)，α3(x)]+λ2[α3(x)，α3(y)，α3(x)]，?x，y∈T.

特別地，?i=1，2，3，若θ=φ，則稱廣義帶有權λ的Jordan(θ，φ)i-導子D為關于帶有權λ的Jordanθ-導子δ的廣義帶有權λ的Jordanθ-導子.當θ=φ=1T，且δ是帶有權λ的Jordan導子時，稱D是廣義帶有權λ的Jordan導子.

注1在上述定義中，當λ=0時，帶有權λ的廣義(θ，φ)i-導子是廣義(θ，φ)i-導子，帶有權λ的廣義Jordan(θ，φ)i-導子是廣義Jordan(θ，φ)i-導子(i=1，2，3).[7]當D=δ時，帶有權λ的廣義(θ，φ)i-導子是帶有權λ的(θ，φ)i-導子，帶有權λ的廣義Jordan (θ，φ)i-導子是帶有權λ的Jordan (θ，φ)i-導子(i=1，2，3).[9]

注2顯然，當Di是T的帶有權λ的(θ，φ)i-導子時，Di是T的帶有權λ的Jordan(θ，φ)i-導子(i=1，2，3).

注3在上述定義中，(θ，φ)i-導子及Jordan(θ，φ)i-導子的定義見文獻[7](i=1，2，3).

2 主要結論及證明

定理2.1設δ為帶有權λ的(θ，φ)1-導子，則D是T關于δ的帶有權λ的廣義(θ，φ)1-導子，當且僅當D是關于δ的帶有權λ的廣義Jordan(θ，φ)1-導子，且?x，y，z∈T，滿足：

(1) [θ(x)，φ(y)，D(z)]=[φ(x)，θ(y)，D(z)]；

(2) (-1)d(x)d(z)B(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B(z，x，y)=0.

其中

B(x，y，z)=[δ(x)，θ(y)，φ(z)]+(-1)d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，φ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[θ(x)，φ(y)，D(z)]+λ[α1(x)，α1(y)，φ(z)]+
λ[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+λ[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+λ2[α1(x)，α1(y)，α1(z)].

證明必要性.設D是T的關于δ的帶有權λ的廣義(θ，φ)1-導子，則顯然D是帶有權λ的廣義Jordan(θ，φ)1-導子，且由定義1.1的條件(2)可得

D( [x，y，z])=-(-1)d(x)d(y)D([y，x，z])，

(1)

-(-1)d(x)d(y)D([y，x，z])=(-1)d(x)d(y)[δ(y)，θ(x)，φ(z)]+(-1)d(D)d(y)[θ(y)，δ(x)，φ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[θ(y)，φ(x)，D(z)]+λ[α1(y)，α1(x)，φ(z)]+
λ[α1(y)，θ(x)，α1(z)]+λ[θ(y)，α1(x)，α1(z)]+λ2[α1(y)，α1(x)，α1(z)]=
(-1)d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，φ(z)]+[δ(x)，θ(y)，φ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[φ(x)，θ(y)，D(z)]+λ[α1(x)，α1(y)，φ(z)]+
λ[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+λ[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+λ2[α1(x)，α1(y)，α1(z)].

從而由(1)式有

[θ(x)，φ(y)，D(z)]=[φ(x)，θ(y)，D(z)].

因為D是T關于δ的帶有權λ的廣義(θ，φ)1-導子，故D([x，y，z])=B(x，y，z)，從而

(-1)d(x)d(z)B(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B(z，x，y)=
(-1)d(x)d(z)D([x，y，z])+(-1)d(x)d(y)D([y，z，x])+(-1)d(y)d(z)D([z，x，y])=
D((-1)d(x)d(z)[x，y，z]+(-1)d(x)d(y)[y，z，x]+(-1)d(y)d(z)[z，x，y])=0.

充分性.設D是關于δ的帶有權λ的廣義Jordan(θ，φ)1-導子，且滿足條件(1)和(2).為證明結論，只需要證明B(y，x，z)=-(-1)d(x)d(y)B(x，y，z)成立.事實上，

B(y，x，z)=[δ(y)，θ(x)，φ(z)]+(-1)d(D)d(y)[θ(y)，δ(x)，φ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[θ(y)，φ(x)，D(z)]+λ[α1(y)，α1(x)，φ(z)]+
λ[α1(y)，θ(x)，α1(z)]+λ[θ(y)，α1(x)，α1(z)]+λ2[α1(y)，α1(x)，α1(z)]=
-(-1)d(x)(d(D)+d(y))[θ(x)，δ(y)，φ(z)]-(-1)d(D)d(y)+d(y)(d(D)+d(x))[δ(x)，θ(y)，φ(z)]-
(-1)d(D)(d(x)+d(y))+d(x)d(y)[φ(x)，θ(y)，D(z)]-λ(-1)d(x)d(y)[α1(x)，α1(y)，φ(z)]-
λ(-1)d(x)d(y)[α1(x)，θ(y)，α1(z)]-λ(-1)d(x)d(y)[θ(x)，α1(y)，α1(z)]-
λ2(-1)d(x)d(y)[α1(x)，α1(y)，α1(z)]=-(-1)d(x)d(y)((-1)d(x)d(D)[θ(x)，δ(y)，φ(z)]+
[δ(x)，θ(y)，φ(z)]+(-1)d(D)(d(x)+d(y))[φ(x)，θ(y)，D(z)]+λ[α1(x)，α1(y)，φ(z)]+
λ[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+λ[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+
λ2[α1(x)，α1(y)，α1(z)])=-(-1)d(x)d(y)B(x，y，z).

從而D是T關于δ的帶有權λ的廣義(θ，φ)1-導子.

推論2.1設δ為帶有權λ的θ-導子，則D是T關于δ的帶有權λ的廣義θ-導子，當且僅當δ為帶有權λ的Jordanθ-導子，D是關于δ的帶有權λ的廣義Jordanθ-導子，且

F(x，y，z)+F(y，z，x)+F(z，x，y)=0.

(2)

其中

F(x，y，z)=(-1)d(z)(d(D)+d(x))[θ(x)，θ(y)，(D-δ)(z)].

證明充分性.設D是帶有權λ的廣義Jordanθ-導子，則顯然定理2.1中的條件(1)成立，下證條件(2)也成立.利用(2)式與定義1.1，

(-1)d(x)d(z)B(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B(z，x，y)=
(-1)d(x)d(z)[δ(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(x)d(z)+d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，θ(z)]+
(-1)d(x)d(z)+d(D)(d(x)+d(y))[θ(x)，θ(y)，D(z)]+λ(-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，θ(z)]+
λ(-1)d(x)d(z)[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+λ(-1)d(x)d(z)[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+
λ2(-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，α1(z)]+(-1)d(x)d(y)[δ(y)，θ(z)，θ(x)]+
(-1)d(D)d(y)+d(x)d(y)[θ(y)，δ(z)，θ(x)]+(-1)d(D)(d(z)+d(y))+d(x)d(y)[θ(y)，θ(z)，D(x)]+
λ(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α1(z)，θ(x)]+λ(-1)d(x)d(y)[α1(y)，θ(z)，α1(x)]+
λ(-1)d(x)d(y)[θ(y)，α1(z)，α1(x)]+λ2(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α2(z)，α2(x)]+
(-1)d(y)d(z)[δ(z)，θ(x)，θ(y)]+(-1)d(D)d(z)+d(y)d(z)[θ(z)，δ(x)，θ(y)]+
(-1)d(D)(d(z)+d(x))+d(y)d(z)[θ(z)，θ(x)，D(y)]+λ(-1)d(y)d(z)[θ(z)，α1(x)，α1(y)]+
λ2(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，α1(y)]+λ(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，θ(y)]+
λ(-1)d(y)d(z)[α1(x)，θ(z)，α1(y)]=(-1)d(y)d(z)[δ(x)，θ(y)，θ(z)]+
(-1)d(x)d(z)+d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，θ(z)]+(-1)d(x)d(z)+d(D)(d(x)+d(y))[θ(x)，θ(y)，δ(z)]+
λ(-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，θ(z)]+λ(-1)d(x)d(z)[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+
λ(-1)d(x)d(z)[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+λ2(-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，α1(z)]+
(-1)d(x)d(y)[δ(y)，θ(z)，θ(x)]+(-1)d(D)d(y)+d(x)d(y)[θ(y)，δ(z)，θ(x)]+
(-1)d(D)(d(z)+d(y))+d(x)d(y)[θ(y)，θ(z)，δ(x)]+λ(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α1(z)，θ(x)]+
λ(-1)d(x)d(y)[α1(y)，θ(z)，α1(x)]+λ(-1)d(x)d(y)[θ(y)，α1(z)，α1(x)]+
λ2(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α2(z)，α2(x)]+(-1)d(y)d(z)[δ(z)，θ(x)，θ(y)]+
(-1)d(D)d(z)+d(y)d(z)[θ(z)，δ(x)，θ(y)]+(-1)d(D)(d(z)+d(x))+d(y)d(z)[θ(z)，θ(x)，δ(y)]+
λ(-1)d(y)d(z)[θ(z)，α1(x)，α1(y)]+λ2(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，α1(y)]+
λ(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，θ(y)]+λ(-1)d(y)d(z)[α1(z)，θ(x)，α1(y)]=
(-1)d(D)d(z)((-1)d(x)d(z)+d(D)d(z)[δ(x)，θ(y)，θ(z)]+
(-1)d(D)d(y)+d(x)d(y)[θ(y)，θ(z)，δ(x)]+(-1)d(y)d(z)[θ(z)，δ(x)，θ(y)])+
(-1)d(D)d(x)((-1)d(x)d(z)[θ(x)，δ(y)，θ(z)]+(-1)d(x)d(y)+d(D)d(x)[δ(y)，θ(z)，θ(x)]+
(-1)d(D)d(z)+d(y)d(z)[θ(z)，θ(x)，δ(y)])+(-1)d(D)d(y)((-1)d(x)d(D)+d(x)d(z)[θ(x)，θ(y)，δ(z)]+
(-1)d(x)d(y)[θ(y)，δ(z)，θ(x)]+(-1)d(y)d(z)+d(D)d(y)[δ(z)，θ(x)，θ(y)])+
λ((-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，θ(z)]+(-1)d(x)d(y)[α1(y)，θ(z)，α1(x)]+
(-1)d(y)d(z)[θ(z)，α1(x)，α1(y)])+λ((-1)d(x)d(z)[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+
(-1)d(x)d(y)[θ(y)，α1(z)，α1(x)]+(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，θ(y)])+
λ((-1)d(x)d(z)[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α1(z)，θ(x)]+
(-1)d(y)d(z)[α1(z)，θ(x)，α1(y)])+λ2((-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，α1(z)]+
(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α1(z)，α1(x)]+(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，α1(y)])=0，

故定理2.1的條件(2)也成立.由推論2.1條件可知δ是帶有權λ的θ-導子，故由定理2.1可得D是關于δ的帶有權λ的廣義θ-導子.

必要性.設D是T關于δ的帶有權λ的廣義θ-導子.由定理2.1，

(-1)d(z)d(x)B(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B(z，x，y)=0，

消去相同項即得

(-1)d(z)(d(D)+d(x))[θ(x)，θ(y)，(D-δ)(z)]+
(-1)d(x)(d(D)+d(y))[θ(y)，θ(z)，(D-δ)(x)]+
(-1)d(y)(d(D)+d(z))[θ(z)，θ(x)，(D-δ)(y)]=0，

即(2)式成立.顯然D是關于帶有權λ的Jordanθ-導子δ的帶有權λ的廣義Jordanθ-導子.

利用定理2.1的證明方法，易證下列結論：

定理2.2設δ為帶有權λ的(θ，φ)2-導子，則D是T關于δ的帶有權λ的(θ，φ)2-導子，當且僅當D是關于帶有權λ的(θ，φ)2-導子，且?x，y，z∈T，有：

(1) [δ(x)，θ(y)，(φ-θ)(z)]=(-1)d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，(φ-θ)(z)]；

(2) (-1)d(x)d(z)B′(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B′(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B′(z，x，y)=0.

其中

B′(x，y，z)=[δ(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，φ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D(z)]+
λ[α2(x)，α2(y)，φ(z)]+λ[α2(x)，φ(y)，α2(z)]+
λ[φ(x)，α2(y)，α2(z)]+λ2[α2(x)，α2(y)，α2(z)].

定理2.3設δ為帶有權λ的(θ，φ)3-導子，則D是T關于δ的帶有權λ的(θ，φ)3-導子，當且僅當D是關于δ的帶有權λ的廣義Jordan(θ，φ)3-導子，且?x，y，z∈T，有：

(1) [δ(x)，(φ-θ)(y)，θ(z)]=(-1)d(D)d(x)[(φ-θ)(x)，δ(y)，θ(z)]；

(2) (-1)d(x)d(z)B″(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B″(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B″(z，x，y)=0.

其中

B″(x，y，z)=[δ(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D)d(x)[φ(x)，δ(y)，θ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D(z)]+
λ[α3(x)，α3(y)，θ(z)]+λ[α3(x)，φ(y)，α3(x)]+
λ[φ(x)，α3(y)，α3(z)]+λ2[α3(x)，α3(y)，α3(z)].

注4推論2.1也可由定理2.2或者定理2.3得到.因為當D是帶有權λ的廣義Jordanθ-導子時，定理2.2和定理2.3的條件(1)均成立，且?x，y，z∈T，B(x，y，z)=B′(x，y，z)=B″(x，y，z).

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[4] 倪霖.李COLOR代數的廣義導子[D].長春：東北師范大學，2011.

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[7] 馬瑤，陳良云.李超三系的廣義導子[J].數學學報，2013，56(6)：961-970.

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[9] 唐鑫鑫，劉寧，張慶成.李超三系上帶有權λ的導子[J].吉林大學學報(理學版)，2017，55(4)：797-803.

OngeneralizedderivationsofweightλofLiesupertriplesystems

YIN Xue，LIU Ning，ZHANG Qing-cheng

(School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

The concept of generalized (θ，φ)-derivations of weightλand generalized Jordan (θ，φ)-derivations of weightλon a Lie supertriple system are introduced.It is proved that under some conditions，generalized Jordan (θ，φ)-derivations of weightλare generalized (θ，φ)-derivations of weightλ，hence some relevant results of generalized derivations of Lie supertriple are extended.

generalized derivations；generalized Jordan derivations；Lie supertriple system；weightλ

1000-1832(2017)04-0001-06

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.04.001

2016-09-26

國家自然科學基金資助項目(11471090)；吉林省自然科學基金資助項目(201301068JC).

尹雪(1992—)，女，碩士，主要從事李理論研究；通信作者：張慶成(1960—)，男，博士，教授，主要從事李理論研究.

O 152.5學科代碼110·2130

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(責任編輯：李亞軍)