分離變量法求解橢球星體的重力勢增量

冉雪峰 謝祉銳

(重慶市育才中學校 重慶 400050)

1 引言

2 用分離變量法求解橢球星體的重力勢增量

首先在橢球星體上建立如圖1所示的直角坐標系,然后寫出橢球的方程

圖1 直角坐標系下的橢球星體

由題設條件知:ε?1,顯然橢球關于z軸對稱,且球外引力勢U滿足拉普拉斯方程

?2U=0

(1)

軸對稱情況下式(1)的通解為

(2)

取無窮遠處勢能U=0,可得an=0,因此,式(2)可簡化為

由引力和勢能的關系可得

其中,Pn(cosθ)為勒讓德函數.設

則

顯然n為偶數時

從而得

n為奇數時

當且僅當2i=n+1時,該項不為零,故

只保留首階非零項得

U0=-2πGρ·

(3)

又ε?1,故

(4)

將式(4)代入式(3)并由積分公式

可得

(5)

又

注意到ε?1,對上式泰勒展開,并保留一階小量得

再將上式代入式(5)可得

對比

易得

故

即得到重力勢增量

3 結束語

本文用求解靜電場電勢分布的分離變量法解決了引力場中的引力勢增量問題,一方面體現了引力場與靜電場的相似性,另一方面也體現了知識和方法遷移的重要性.希望能給物理教學和競賽輔導一些參考,以期和廣大同仁共勉.