無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的若干方法

趙萍

摘 要：無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的方法有很多，也很有技巧性，是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容。該文主要通過(guò)例題的形式介紹關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的主要方法和技巧，包括定義法、裂項(xiàng)相消求和法、逐項(xiàng)微分或積分求和法、轉(zhuǎn)化為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和法等，目的是加深對(duì)這部分知識(shí)的理解和掌握。

關(guān)鍵詞：無(wú)窮級(jí)數(shù) 求和 級(jí)數(shù)收斂

中圖分類號(hào)：G633 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2016）09（a）-0179-02

無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，其中關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。下面該文通過(guò)例題的形式，概括筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中的經(jīng)驗(yàn)和總結(jié)，系統(tǒng)全面的介紹無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的方法和技巧。

我們首先需要注意的是對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和，第一要考慮它的斂散性質(zhì)，常數(shù)項(xiàng)的級(jí)數(shù)在收斂的過(guò)程中才能夠求和，函數(shù)項(xiàng)的級(jí)數(shù)在它的收斂范圍內(nèi)也是可以進(jìn)行求和的。

關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的若干方法如下。

（1）定義法。

從級(jí)數(shù)的相關(guān)定義我們可以看到，級(jí)數(shù)的實(shí)質(zhì)其實(shí)就是無(wú)窮多項(xiàng)進(jìn)行累加產(chǎn)生的結(jié)果，不可以直接依據(jù)一般意義下的有限項(xiàng)的加法法則將這些逐項(xiàng)的相加，一般的教材寫出的計(jì)算方法都是先將級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的和計(jì)算出來(lái)，然后再使用極限的辦法解決多項(xiàng)積累的這種問(wèn)題。

這種方法與我們中學(xué)學(xué)過(guò)的數(shù)列知識(shí)是有著很密切的聯(lián)系的，基本上就是使用中學(xué)學(xué)過(guò)的求和法，之后再進(jìn)行求和的計(jì)算，方法不但簡(jiǎn)單而且容易把解題的相關(guān)技巧進(jìn)行掌握。

（3）逐項(xiàng)微分或積分求和法。

值得注意的是，在這種方法的應(yīng)用過(guò)程中積分與微分的先后順序不是絕對(duì)的，要因題而異。

（4）轉(zhuǎn)化為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和法。

這種方法主要針對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，有的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可以借助于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和。

綜上所述，級(jí)數(shù)求和的方法涉及了很多的數(shù)學(xué)知識(shí)，屬于綜合性的數(shù)學(xué)問(wèn)題。該文僅以例題的形式介紹了最常用的幾種方法，希望能加深學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的理解，并提高計(jì)算能力。也希望大家在今后的學(xué)習(xí)中積極探索，總結(jié)好的新的方法，讓級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)和其他的領(lǐng)域里面得到更好的使用，實(shí)現(xiàn)級(jí)數(shù)的價(jià)值。

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