多變量逆解耦自抗擾控制及其在精餾塔過程中的應用

程赟 陳增強 孫明瑋 孫青林

化工生產是一類普遍存在時變、耦合、時滯的多輸入多輸出過程對象.化工過程控制往往是在實際工作點附近進行抗干擾控制或者進行穩態調節,因此需要在工作點附近進行線性化,得到系統的傳遞函數矩陣.以精餾塔的Wood-Berry模型為例[1],系統的傳遞函數矩陣由一階時滯子系統組成.系統的輸入為回流流量和蒸汽流量,系統的輸出分別為甲醇餾出液和塔底產物的百分比.從傳遞函數矩陣中可以很明顯的看出,輸入輸出之間具有強烈的耦合特性,且每個子系統都具有不同的時滯時間.這使得系統的辨識與控制具有極大的挑戰.

在工業現場辨識中,通過施加階躍信號或不同頻率的正弦信號來獲取系統的階躍響應或頻率響應[2].得到響應曲線后,人們通過圖解的方法求解系統的傳遞函數[3?4],此種方法在工業現場中得到了廣泛地應用.但如果得到的系統響應中混有大量噪聲,圖解法的計算精度會受到很大的限制.Wang等設計一種改進的頻率響應測試實驗[5],采用不對稱型的矩形信號來獲取重要頻率的信息,實現了在有噪聲環境下系統模型的辨識. Bi等研究一階時滯系統在階躍響應下的辨識方法[6],通過對階躍響應求積分,將系統的積分方程轉化為最小二乘辨識問題求解模型.Wang等在此基礎上研究了n階時滯系統階躍響應下的辨識方法[7?8].Ahmed等進一步提出了在非穩態初始條件下辨識的方法[9].近些年來,漸近法[10]、子空間法[11]等多變量系統辨識方法在化工過程控制得到了廣泛的應用,但在處理多變量時滯系統的辨識時仍有許多問題有待進一步研究.

對于化工過程多變量系統,由于其各輸出通道間存在耦合,使得原有的單變量控制方法很難直接運用到多變量系統中.模型預測控制作為多變量系統控制方法之一,被廣泛地應用于工業過程控制中[12?14].由于預測控制需要時刻求解優化問題,所以整個系統的計算時間和成本都花費較大,這極大地限制了預測控制方法的應用場合.另一種解決方法即為系統設計解耦器,使系統輸入輸出變量之間的傳遞函數變為對角矩陣,然后利用單變量的控制方法對每組通道逐一進行控制.常見解耦方法包括:對角矩陣法、相對增益法、特征曲線法等.但當對象傳遞函數階數和輸入輸出變量維數加大時,常見方法設計出的解耦器復雜性大大增加.逆解耦方法[15?17]利用反饋的思想極大地簡化了解耦器的復雜程度,結構形式簡單,不受系統復雜程度的影響,并可以通過對反饋結構的調整確保解耦器的可實現性,該解耦方法在實際應用中取得顯著的效果[18?20].

解耦器是通過被控對象的傳遞函數矩陣設計出來的,當被控對象的數學模型辨識不準確時,系統的解耦性能將受到影響.化工對象模型的不準確性和外界擾動是不可避免的,這時我們需要一種魯棒性強的控制方法來獲得較好的控制效果.自抗擾控制技術(Active disturbance rejection control,ADRC),由韓京清先生于1998年正式提出[21],該方法將模型的不準確性與外界擾動歸結為總擾動,采用擴張狀態觀測器(Extended state observer,ESO)進行實時估計,并進行補償,從而實現對總擾動的抑制.ADRC是一種魯棒性較強的控制方法[22],且與預測控制、魯棒控制等相比較,ADRC具有結構簡單、需要調節參數少等特點.所以在多變量解耦控制中得到了廣泛的應用.如Zheng等針對連續攪拌反應釜設計了基于ADRC的解耦控制器[23].張園等針對強制循環蒸發系統設計了ADRC解耦控制器,并給出了控制參數優化的方法[24].Sun等將逆解耦與ADRC相結合,在四水箱液位控制中取得良好的控制效果[20].

本文針對精餾塔的 Wood-Berry模型[1]和Ogunnaike-Ray模型[25]進行辨識并設計自抗擾解耦控制器.主要工作包括:研究有噪聲環境中,一階、二階時滯系統在階躍響應測試下的辨識方法;針對辨識模型,采用逆解耦實現多變量系統的解耦;針對解耦后的一階、二階單變量時滯系統設計ADRC控制器.

本文綜合運用了過程建模、多變量系統逆解耦、自抗擾控制等先進控制技術進行控制系統的綜合設計.主要創新之處在于以下兩點:

1)傳統的自抗擾控制設計通常不考慮被控對象的模型,ESO的階次選取以及控制器的參數整定等方面主要依賴于調試經驗,當系統存在強耦合、時變性、大時滯等特性時,控制器的調試有較大困難.而本文將過程建模辨識與自抗擾解耦控制相結合,在假設模型未知的情況下,通過辨識的結果設計逆解耦自抗擾控制器,充分利用可獲得的系統的已知信息,并根據模型實際情況對解耦器進行改進,確保解耦器的物理可實現性;針對時滯系統采用改進ESO,使觀測器獲得較大的帶寬,更好估計系統總擾動.通過仿真對比驗證了所提出的辨識與控制相結合的綜合設計方法的有效性與實用性.

2)以往的針對多變量耦合系統的自抗擾控制,主要采用如下兩種方法:第一種方法是把各回路間的耦合作用直接看作擾動,利用自抗擾控制器的抗干擾能力在一定程度上降低其他回路對自身回路擾動的影響,但是當耦合作用較強時,這種方法的解耦效果就有一定局限性.第二種方法是先對多變量系統進行前饋解耦,然后對解耦后的各回路設計自抗擾控制.但是該方法需要比較準確地知道過程的模型信息,當過程模型與實際系統模型存在較大的建模誤差時,前饋解耦的效果并不理想.本文提出基于逆解耦和自抗擾控制結合的方法控制強耦合的多變量系統,經過仿真實驗驗證了當模型存在較大的建模誤差時,仍具有很好的解耦及動態性能.

1 系統模型的辨識

精餾塔的Wood-Berry(WB)模型和Ogunnaike-Ray(QR)模型如式(1)和式(2)所示,可以看出系統模型是由一階、二階時滯傳遞函數組成.本文針對一階、二階時滯對象研究在階躍響應下模型辨識的方法.

1.1 一階時滯系統辨識

假設一階時延系統的傳遞函數如式(3)所示:

單位階躍響應下,系統的輸出y(s)可以表示為:

其中:λ=1/T.在有白噪聲n(t)干擾情況下,系統的輸出響應y(t)可以表示為:

由式(5)可知:K=y(∞)?n(∞).通過對系統到達穩態時的一段數據求取平均值,可以計算得到參數K的取值.

假設?y(t)=y(t)?K,則有:

設t1＞τ,?y(t)在區間[0,t1]上的積分可以表示為:

將式(6)代入到式(7)中可以得到:

通過式(9),可將系統參數利用最小二乘方法辨識出來.對系統的階躍響應進行采樣,設采樣時間為Ts,提取從第m個采樣點到第m+n個采樣點的數據,將其表示為如下的矩陣方程形式:

利用最小二乘方法,可以求出參數θ的估計值:

考慮到?中含有噪聲的積分項,最小二乘會產生有偏估計.這里采用輔助變量法,提高辨識的準確性,輔助變量Π選取如下[7]:

式(9)中參數θ采用輔助變量最小二乘的估計值可以表示為:

1.2 二階時滯系統辨識

二階時滯系統的辨識過程與一階時滯類似,這里假設系統的傳遞函數如下所示:

單位階躍響應下,系統的輸出y(s)可以表示為:

由式(16)可知:β1=y(∞)?n(∞).通過對系統到達穩態時的一段數據求取平均值,可以計算得到參數β1的取值.設 ?y(t)=y(t)?β1,t1＞τ,?y(t)在區間[0,t]上的一次積分和二次積分可以表示為:

通過式(16)和式(17)可得:

將式(19)和式(20)代入式(18)可得:

2 逆解耦器設計

兩輸入兩輸出(Two input two output,TITO)系統逆解耦器的結構如圖1所示,被控對象的第一通道輸入u1等于該通道控制器產生的信號c1與另一通道輸入u2的線性組合.其中d12=?g12/g11,d21=?g21/g22.

圖1 TITO系統逆解耦器結構圖Fig.1 Inverted decoupling structure of TITO system

將其推廣到n個輸入n個輸出的系統中,可以得到如下關系式:

解耦后被控對象的傳遞函數可以表示為式(25)所示,從式中可以看出解耦后的傳遞函數矩陣為對角矩陣.

從式(23)中,我們可以看出逆解耦器設計形式簡單,反饋通道上為兩個傳遞函數相除.這一步需要考慮比值的傳遞函數是否可物理實現的問題,如出現傳遞函數分子階次大于分母階次,傳遞函數時滯時間為負等情況.針對本文Ogunnaike-Ray模型,解耦通道的g13/g11,g23/g22會導致傳遞函數中e?τs的τ＜0,傳遞函數無法實現.這里考慮對解耦器做如下改進:在解耦器與被控對象第三個輸入之間u3處加入一個時滯環節e?Ts,T=max(τ11?τ13,τ22?τ23),即相當于將被控對象傳遞函數矩陣的第三列的傳遞函數加上T秒的延遲時間,形成新的傳遞函數矩陣,確保解耦反饋通道上的傳遞函數可實現.

3 自抗擾控制器設計

ADRC在時滯系統控制中已有了廣泛的應用,并取得良好的控制效果[26?29].經過逆解耦后,原本耦合嚴重的MIMO系統變成了對角傳遞函數矩陣,這樣我們就可以通過對每個通道分別設計自抗擾控制器,實現對原系統的解耦控制.觀察Wood-Berry模型和Ogunnaike-Ray模型可以發現,對角線上的傳遞函數大都為一階時滯系統,僅Ogunnaike-Ray模型第三通道上為二階系統,但其相對階次也為一階,可通過一次積分將系統變為一階系統來處理.這里將一階時滯系統傳遞函數(3)改寫為時域形式:

其中:w(t?τ)為系統外部擾動,b0為K/T的估計值,成為總擾動,是系統內部不確定性和外部擾動之和. ADRC的核心思想就是將系統的總擾動f通過ESO觀測出來.這里將總擾動看成系統的擴張狀態x2,則式(26)可用如下狀態空間方程表示:

其中:z1,z2為原系統狀態x1,x2的觀測值.ωo稱為觀測器的帶寬[30].

在滿足一定條件下,理論分析結果表明上述ADRC控制器是閉環穩定的,可參考文獻[31?32].

考慮到系統存在時滯,觀測器(28)的帶寬ωo將會受到時滯時間的影響,從而影響總擾動的觀測效果.將式(28)作如下改動,在輸入u(t)處引入時滯環節,使u(t)和y(t)在時序上可以相互匹配.文獻[28]證明了在如此改動下,系統將獲得更大的帶寬,且給出了系統所能容忍的最大時滯時間.

在得到系統總擾動的觀測值z2后,可將系統的控制信號設計為如下形式:

將式(30)代入式(26)可得:

從式(31)可以看出,通過對擾動進行補償,輸入u0至輸出y之間近似為一個積分器環節,通過一個比例控制器就可以實現對系統的控制:

4 仿真實驗

本節將分別對Wood-Berry模型和Ogunnaike-Ray模型進行辨識實驗和解耦控制,以檢驗本文所述方法的有效性.并將本文解耦控制方法與文獻[20]和文獻[25]中的方法相比較,檢驗逆解耦方法的解耦性能以及改進ESO下的ADRC控制效果.系統辨識實驗通過階躍測試得到系統的輸入輸出數據,在輸出數據中加入白噪聲,信噪比(Noise-tosignal ratio,NSR)由如下公式定義:

通過均方誤差來檢驗辨識的結果:

4.1 Wood-Berry模型

在NSR=1%環境下得到的辨識結果為:

在NSR=10%環境下得到的辨識結果為:

各個子系統辨識模型與實際模型的均方誤差E如表1所示.

表1 Wood-Berry模型辨識結果的均方誤差Table 1 Mean square error of the Wood-Berry model

文獻[20]與文獻[25]均為基于精確模型的自抗擾解耦算法,所以這里在精確模型的前提下,將本文的算法與文獻[20]和文獻[25]的算法作比較,檢驗逆解耦的解耦性能以及改進ESO后的ADRC控制效果,然后再將辨識數據運用到本文的自抗擾解耦算法中,驗證在模型有誤差下控制算法的魯棒性.文獻[20]在不解耦的情況下使用3個ADRC控制器實現對Wood-Berry模型的控制,稱為3-ADRC方法,文獻[25]利用逆解耦方法對模型進行解耦,然后通過ADRC進行控制,稱為ID-ADRC方法,本文在逆解耦的基礎上,針對時滯系統設計的ADRC控制器,稱為ID-TDADRC方法.仿真實驗中,在0秒和100秒分別對模型的兩個通道設置單位階躍的參考信號,并在200秒對兩通道模型輸入處加入幅值為0.1的階躍擾動,用以檢測三種方法的控制效果和抗擾性能.仿真結果如圖2所示,上下兩幅圖分別是模型輸出1和輸出2的兩通道控制效果,表2為各輸出通道IAE指標以及總和的比較.從仿真結果中,我們可以看出ID-ADRC方法和本文方法對被控對象進行了解耦,所以輸出通道之間幾乎沒有耦合影響,而3-ADRC方法僅靠ADRC控制器對耦合進行抑制,控制效果不如加入解耦器的ID-ADRC方法和ID-TDADRC方法.由于被控對象存在時滯,傳統ADRC方法的觀測器帶寬受到限制,導致系統的跟蹤速度和抗擾能力降低.本文通過改進ESO,觀測器可以獲得更大的帶寬,更好估計系統總擾動,整個系統的響應速度和抗擾性能都較ID-ADRC方法大大提高.所以本文控制效果和抗擾性能具有一定優勢.

表2 三種算法IAE指標對比Table 2 Comparison of IAE for three methods

假設模型不知道的前提下,利用本文的辨識數據設計逆解耦器和ADRC控制器.在仿真條件不變的情況下,系統的控制效果如圖3、圖4和表3所示.由于辨識參數與實際參數有偏差,解耦效果會不徹底,通道間存在相互影響,這里利用ADRC控制器可以觀測出擾動,并及時消除.

圖2 三種方法跟蹤軌跡以及抗擾性能Fig.2 Tracking and disturbance rejection performance of three methods

圖3 采用NSR=1%下辨識數據控制效果Fig.3 Control effect by using identi fication data of NSR=1%

4.2 Ogunnaike-Ray模型

在NSR=1%環境下得到的辨識結果為:

在NSR=10%環境下得到的辨識結果為:

各個子系統辨識模型與實際模型的均方誤差如表4所示.

表3 采用辨識數據控制下的IAE指標Table 3 IAE by using identi fication data

圖4 采用NSR=10%下辨識數據控制效果Fig.4 Control effect by using identi fication data of NSR=10%

與上節類似,將本文的算法與文獻[20]和文獻[25]的算法作比較,檢驗逆解耦的解耦性能以及改進ESO后的ADRC控制效果.然后再利用本文的辨識數據設計逆解耦器和ADRC控制器.仿真實驗中,在0秒、50秒和200秒分別對模型的三個通道設置單位階躍的參考信號,并在350秒對三通道模型輸入處加入幅值為0.1的階躍擾動.三種算法的控制效果比較如圖5所示,各輸出通道IAE指標以及總和的比較如表5所示.從圖5和表5可以看出本文所提出的方法在解耦效果和擾動抑制方面具有一定優勢.

利用本文的辨識數據設計逆解耦器和ADRC控制器.仿真參數同上,控制效果如圖6和圖7所示,IAE性能指標如表6所示.從圖5、圖6和表6中可以看出,當噪聲較小時,模型參數精確時,控制效果及抗擾性能出色.但當噪聲增大,辨識參數出現偏差時,解耦效果受到影響.尤其為系統解耦后的第三通道為二階系統,當模型參數辨識不準確時,受其他兩通道影響明顯,ADRC控制器需要150秒左右消除受影響后發生的振蕩.

圖6 采用NSR=1%下辨識數據控制效果Fig.6 Control effect by using identi fication data of NSR=1%

表5 三種算法IAE指標對比Table 5 Comparison of IAE for three methods

表6 采用辨識數據控制下的IAE指標Table 6 IAE by using identi fication data

表4 三種算法IAE指標對比Table 4 Comparison of IAE for three methods

圖7 采用NSR=10%下辨識數據控制效果Fig.7 Control effect by using identi fication data of NSR=10%

5 結論

本文以精餾塔的Wood-Berry模型和Ogunnaike-Ray模型為例,通過模型在時域上進行積分變化,將系統辨識問題轉化為最小二乘問題求解.利用辨識出的參數設計基于逆解耦技術的解耦器,將模型的傳遞函數矩陣轉化為對角矩陣.并對解耦后三個通道設計自抗擾控制器,針對時滯系統,通過改進ESO,增大觀測器帶寬,獲得更好的控制效果.最后通過仿真實驗,證明本文方法的有效性,針對Ogunnaike-Ray模型第三通道在辨識參數存在誤差時,控制效果不是十分理想的問題,今后工作中可以考慮將ADRC中的比例控制器更換為先進控制器,進一步提高控制器的控制性能,及時消除模型不準確帶來的影響.

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