逐步深入，在多維感悟中建模

【摘要】建立和求解模型的過程有助于學生初步形成模型思想，提高學生的數學學習興趣和應用意識，對他們的數學學習至關重要。由于低年級學生受自身年齡特征、認知原點和思維特點的制約，教師教學時可以從創設情境、動手操作入手，讓學生在逐步深入的活動中多維感悟、逐步明晰并內化模型思想，從而有效地促進他們思維的發展，提升其數學核心素養。

【關鍵詞】逐步深入；多維感悟；建模；有余數的除法

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）09-0059-03

【作者簡介】迮恒良，江蘇省高郵實驗小學（江蘇高郵，225600）教務處副主任，高級教師，高郵市優秀教育工作者，高郵市教育科研先進個人，揚州市數學學科帶頭人。

新課標明確指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高他們的數學學習興趣和應用意識。模型思想對學生的數學學習至關重要，是中小學數學教學中必須滲透的數學思想之一。筆者曾執教蘇教版二下《有余數的除法》，在教學中，筆者以引導學生探索并發現“余數和除數的關系”為載體，逐步滲透數學模型思想，在市級小學數學優質課比賽中獲得了好評，現分享如下：

片段一：創設情境，在分類中初識模型

1.創設情境，巧分金箍棒。

師：孫悟空有一件神奇的寶貝——金箍棒，你們想要嗎？現在孫悟空變出10根金箍棒，打算分給小朋友們。如果你是孫悟空，打算每人分幾根金箍棒？

生1：我想每人分2根。

師：可以分給幾個人？怎樣列式？

生1：可以分給5個人，用10÷2=5（人）。

師：還可以怎么分？如何列式？

生2：還可以每人分5根，用10÷5=2（人）。

師：除了這兩種方法，還可以每人分幾根？能分幾個人呢？

生3：還可以每人分3根，可以分給3個人，最后還多1根。

師：是這樣嗎？自己動手，用小棒擺一擺。

教師指名學生到黑板上來擺一擺。

師：如果每人分3根，剩下的1根還夠分給一個人嗎？

生：這1根不夠分了。

師：還可以每人分幾根？

生：還可以每人分4根。

師：如果每人分4根，結果又會怎樣呢？先想一想，再用小棒擺一擺，最后把你的想法跟同桌說一說。

學生動手操作，全班匯報，課件演示。

師：如果每人分4根，剩下的2根也不夠分了。

2.列式計算，規范寫法。

師：每人分2根和5根，我們已經會列式了。如果每人分3根，你會用除法算式表示嗎？在作業紙上試一試。

學生獨立嘗試，展示結果，教師指名學生說想法。

生：10÷3=3；10÷3=3（人），還剩下1根；10÷3=3（人）……1（根）。

教師引導學生進行比較，統一格式并板書：10÷3=3（人）……1（根）。

師：你知道這個算式表示什么意思嗎？如果每人分4根，你也能像這樣列式嗎？

同桌互說，教師指名學生說。教師板演，說明算式的含義。

3.算式分類，初識模型。

師：仔細觀察，你能把這幾種分法分分類嗎？你是怎么想的？

生：第一種和第四種分法是一類，都正好分完；另外兩種是一類，都沒分完，有剩余。

教師引入新課并板書課題：有余數的除法。

通過學生喜愛的神話人物——孫悟空引入新課，讓學生在自主分金箍棒的過程中，在已有等分物體經驗的基礎上，自然列出以前學過的表內除法算式，為新課的學習做好鋪墊。接著，教師引導學生思考還可以每人分幾根、分給幾個人，在不能整除時，讓學生想一想、擺一擺并參照整除算式嘗試寫出有余數的除法算式，讓創造的種子在學生的心田萌芽。在規范格式后，通過觀察、比較這些算式，讓學生進行分類，初步感知有余數的除法的算法模型，理解余數及有余數的除法的含義，給學生創設自主構建知識的空間。

片段二：動手拼搭，在操作中感知模型

課件演示用4根同樣長的小棒擺1個正方形的過程。

師：像這樣單獨擺，8根同樣長的小棒可以擺幾個正方形？怎樣列式？

生：4根小棒可以擺1個正方形，8根小棒就可以擺2個正方形，列式是8÷4=2（個）。

師：照這樣擺正方形，用12根、13根、14根、15根、16根同樣長的小棒，分別可以擺幾個正方形呢？

學生在組內動手擺小棒，再全班交流。

教師課件出示擺的結果和算式：12÷4=3（個）；13÷4=3（個）……1（根）；14÷4=3（個）……2（根）；15÷4=3（個）……3（根）；16÷4=4（個）。

低年級學生以動作、形象思維為主，也有一定的邏輯思維能力。教學時，教師通過用不同根數的小棒擺正方形的活動，引導學生多維探究余數和除數的關系。從擺一個正方形需要4根同樣長的小棒入手，引導學生想象用8根同樣長的小棒擺正方形的過程，讓學生在腦海中形成“單獨擺”的印跡，再讓學生深入思考用12～16根同樣長的小棒擺正方形的情況，并用小棒驗證自己的想法，使學生從純粹的操作逐步向先思考再操作、驗證過渡，在操作中直觀感知有余數的除法的模型。

片段三：放飛想象，在推理中感悟模型

師：哪位同學不操作就能知道用13根小棒可以擺3個正方形，還剩1根？

生：12根小棒正好可以擺3個正方形，13根比12根多1根，1根小棒不能擺一個正方形。

師：說得真好。你能照樣子說說用14根、15根小棒擺正方形的情況嗎？

師：想一想，為什么用15根小棒擺正方形余數是3，而用16根小棒擺沒有余數？

生：用15根小棒擺正方形，余下3根小棒，16根比15根多1根，3+1=4（根），4根小棒又正好可以擺一個正方形，所以用16根小棒擺正方形沒有余數。

師：如果繼續擺下去，結果可能會怎樣？選擇一個你喜歡的根數，先想一想能擺幾個正方形，還剩幾根，再列出算式。

學生自主思考，列式計算，小組內交流想法，全班匯報。教師有選擇地板書部分算式。

師：請同學們仔細觀察，想一想，像這樣擺正方形，如果有剩余，可能余幾根？為什么？

生：可能是1根、2根或3根，因為用1根、2根或3根都擺不成一個正方形。

師（圈出算式中的除數和余數）：比較一下這些算式中的除數和余數，你有什么發現？

生：除數是4時，余數可能是1、2、3，都比4小。

低年級學生的抽象思維能力比較弱，思考問題需要具體事物作支撐。教學時，學生由動手操作擺正方形向在腦中自由拼搭正方形過渡，思維有了基礎，推理有了扶手，思維層次得到了提升。但如果只對前面幾種拼搭情況進行腦中再現，并以此為根據草草地下結論和獲得模型，容易使學生養成武斷概括、輕易下結論的毛病。因此，教師可以放手讓學生自主選擇小棒的根數，小組合作擺正方形或在自己頭腦中擺正方形，使結論盡可能地具有普遍性，使有余數的除法的模型在學生腦海中自然形成。

片段四：拓展延伸，在概括中明晰模型思想

1.創設情境，巧擺五邊形。

師（課件出示圖1）：豬八戒也在用小棒擺圖形，看了他列的算式，你有什么想對他說的？

生：算式錯了，余下的小棒不可能是7根。

師：說說你是怎么想的。

生：可以從余下的7根里分出5根擺一個五邊形，這樣擺3個五邊形后，還余下2根。

師：你能幫他改一改算式嗎？

生：17÷5=3（個）……2（根）。

師：最少再添幾根就可以再擺一個五邊形了？

生：現在有2根小棒，要想再擺一個五邊形，最少要添3根。

師：現在豬八戒準備用一堆小棒來擺五邊形，如果有剩余，可能余幾根小棒？

生：可能余下1根、2根、3根或4根。

師（小結）：當除數是5時，余數可能是1、2、3、4，都比5小。

師：如果除數是7，余數可能是幾？

生：除數是7時，余數可能是1、2、3、4、5、6。

師：比較余數和除數的大小，你有什么發現？

生：余數都比除數小。余數不可能大于或等于除數，如果余數等于除數，商就要增加1，余數就沒有了；余數大于除數就更不可能了。

2.拓展延伸，明晰模型思想。

師：孫悟空還要把一筐仙桃分給他的猴子猴孫，看！（課件出示圖2）

師：分到仙桃的猴子猴孫可能是幾只？你是怎么想的？

生：可能是5只、6只、7只、8只……現在余下的是4只仙桃，因為除數比余數大，小猴的只數一定比4大。

師：小猴至少有幾只？

生：至少有5只。

新課標指出：數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。筆者再次聚焦余數和除數的關系，通過思維拓展訓練，引導學生充分感悟，在分析比較中概括出算式的規律，在理解事理的基礎上經歷有余數的除法的模型建構過程，使他們更深入地認識有余數的除法的意義。數學模型建立后，教師要引導學生運用模型去解決現實問題，進一步加深他們對模型的感悟。通過創設首尾呼應、童趣橫生的情境，引導學生借助已有的數學模型來解答“小猴可能有幾只”的問題，使他們不但知其然，而且知其所以然。這樣的經歷對學生今后研究數學問題、探索數學規律、積累數學經驗、領悟數學思想、提升數學素養大有裨益。

綜觀整個教學過程，從現實問題到數學模型，再從數學模型回到現實問題，不斷循環，不斷完善，學生在積極參與教學活動的過程中獨立思考、合作交流，模型思想在他們的腦海中逐步得到內化。當然，在滲透數學思想的過程中，教師要善于根據學生的年齡特征、認知原點、思維特點創設學生感興趣的情境，在學生已有知識經驗的基礎上滲透模型思想，這樣才能更加有效地促進學生思維的發展，最終提升他們的數學學科核心素養。<＼＼Ysc02＼d＼邱＼江蘇教育＼小學版＼2017＼02＼KT1.TIF>