一種月球飛船動力下降預測制導方法的研究*

薛志飛 韓艷鏵

南京航空航天大學航天學院，南京 210016

月球探測與開發離不開月球軟著陸技術。軟著陸有2種方式[1-2]：1)直接著陸；2)從圓形的環月停泊軌道變軌，進入霍曼橢圓軌道，然后在其近月點開始連續制動減速(稱為動力下降)，最終軟著陸于月面。第2種方式可供著陸準備的時間長，且著陸區域選擇性大，成為目前各國普遍采用的方式。在該方式中，動力下降段的制導控制最為關鍵，衡量其性能優劣的標準是燃耗、在線計算量、魯棒性等[3]。目前動力下降段制導技術的主流方式有2種：標稱軌跡制導法和顯式制導法[1]。

標稱軌跡制導法的思路是離線設計一條落月標稱軌跡，然后在線跟蹤該軌跡。標稱軌跡通常針對某性能指標(如燃耗、航程等)經過優化計算得到[4-8]，然后對標稱軌跡進行跟蹤控制[9]。文獻[4-5]均采用偽譜法計算最優軌跡。其中文獻[4]采用從可行解到最優解的串行優化策略求解，有利于快速收斂到最優解，文獻[5]則通過遺傳算法對偽譜法的優化結果進行驗證，確保其全局最優性。文獻[6]根據龐特里亞金極小值原理推導了最優推力開關方程，證明了推力奇異區間不存在，然后針對優化模型中的復雜非線性約束，通過凸變換，轉化為凸優化問題，借助于內點法得到全局最優解。文獻[7]利用混合法思想和人工免疫算法研究了月球軟著陸軌跡優化問題。混合法結合了基于龐特里亞金極值原理的間接法和非線性規劃等直接法的優點，而人工免疫算法提高了全局尋優的可靠性和收斂速度。文獻[9]以極大值原理得出的最優軌跡為基礎，給出了一種基于模糊神經網絡的最優非線性閉環控制律，來跟蹤最優標稱軌跡。

標稱軌跡制導法的缺點是： 1)標稱軌跡的規劃(特別是優化)需要消耗較大的計算資源； 2)飛船下降段的初始條件偏差、或下降過程受到的內外干擾，均可導致較大的落月偏差。

顯式制導法由于引入實時狀態反饋，故有較強的魯棒性。文獻[2]為動力下降的3個階段(即制動段、接近段和最終下降段)分別設計了解析形式的制導律，但由于制導律的簡化計算給最終著陸段的軌跡帶來較大偏差。文獻[10]在制動和接近段采用多項式制導，根據實時位置、速度修正控制量。文獻[11]提出了一種基于改進的ZEM/ZEV算法和模型預測靜態規劃(MPSP)的多約束燃料次優制導方法，用于月球精確軟著陸，其重定向能力強，但在線計算量太大。文獻[12]針對最終下降段，設計了一種嵌套飽和函數形式的制導律和姿態控制律，并利用級聯系統穩定性證明了著陸器最終能以合適的速度和豎直姿態落月。

本文提出一種月球飛船動力下降段預測制導方法，充分利用月球無大氣層的特點，利用開普勒軌道力學，得到解析形式的軌跡和落點預測解，無需事先離線做大規模優化計算，且在線計算量比基于數值預測的制導方法小得多，同時其魯棒性又明顯強于標稱軌跡(含最優軌跡)制導法，更適宜工程應用。

1 動力學建模

上面所提的第2種軟著陸方式如圖1所示。飛船在環月停泊軌道上進行觀察，初步選定著陸點，從而確定在停泊軌道的哪個位置施加脈沖變軌，進入霍曼轉移軌道，再在其近月點施加連續推力進行制動下降，最終軟著陸月面。如果選定的著陸點與環月停泊軌道不共面，可以在停泊階段改變軌道平面，使落月點與環月停泊軌道共面，則之后的霍曼轉移軌道和動力下降段都與落月點共面，故本文研究的下降段只需要考慮縱向平面。

圖1 動力下降示意圖

飛船相對于月心的位置用極坐標(r,α)表示，其中，極徑r表示飛船到月心的距離，極角α如此定義：飛船動力下降的始點定義為極角零點，并且以逆時針旋轉為正。設飛船飛行速度為v，航跡傾角為γ。發動機推力沿速度矢量的切向和法向的加速度分別為at和an，燃料的質量比沖為Is。月球引力常數為μ=GMm，其中，G是萬有引力恒量，Mm是月球質量，則動力下降段飛船質心運動方程如下:

(1)

質量動態如下:

(2)

自由飛行即不計發動機推力時，可以證明[13]，飛船的軌跡是以月心為焦點的橢圓，方程如下:

(3)

其中,

f=α-ω

(4)

是飛船在橢圓軌道上的真近點角。ω是近月點角距。h是飛船質量歸一化的動量矩(下文簡稱動量矩)，即

h=rvcosγ

(5)

飛船的質量歸一化機械能(下文簡稱機械能)為

(6)

根據開普勒軌道力學，自由飛行時，飛船的動量矩h和機械能ε均守恒。另外，可以根據飛船的動量矩和機械能計算其軌道半長軸a和偏心率e，

(7)

(8)

飛船軌道運動的平均角速度為

(9)

飛船的即時月心距r、飛行速度v和航跡傾角γ可由導航設備實時測定，然后根據式(5)和(6)分別確定飛船動量矩h和機械能ε，再根據式(8)確定其瞬時密切橢圓軌道的偏心率e，最后由方程(3)反解出其在瞬時軌道上的真近點角f如下

(10)

相應的偏近點角E和平近點角M的計算式如下

(11)

M=E-esinE

(12)

當飛船降落到距月表很近，飛行速度也較小，航跡傾角較大，從而縱程較小時，可視月表為平面，重力場近似為勻強場，此時飛船自由飛行的質心運動方程近似為

(13)

式中，g是月表重力加速度常數，Rm是月球半徑。飛船質量動態方程仍如式(2)。

2 預測制導

2.1 基本原理

預測制導的基本原理如圖2所示。

圖2 預測制導原理

預測制導思路如下： 1)導航系統實時測定飛船飛行狀態量(r,α,v,γ)，從而算得其動量矩和機械能；然后按照自由飛行的開普勒軌道力學，確定瞬時密切橢圓軌道，并依據此瞬時軌道預測其落點位置(用落點極角表示)和速度，以及剩余飛行時間；根據預測的落點位置和速度，與期望的落點位置和速度比較，得到偏差量；2)控制算法根據預測的落點速度偏差和剩余飛行時間形成切向控制量，改變飛船速度，消除落點速度偏差；同時，根據預測的落點位置偏差形成法向控制量，改變飛船速度方向，消除落點位置偏差。

2.2 制導算法

如前所述，飛船從霍曼軌道的近月點開始連續制動下降。霍曼軌道本身與月表無交會點。在減速過程中，飛船處于一系列連續變化的瞬時密切橢圓軌道上，當某條瞬時軌道的近月點到月心的距離小于等于月球半徑Rm，表示該軌道與月表有交會點(下文統稱落月條件)，飛船沿該軌道自由飛行必能落月。但是落月點位置和速度未必滿足期望值，所以還需繼續施加切向和法向控制，不斷調整飛行狀態，使預測的落點狀態值趨近期望值。

據此將制導過程分為3個階段： 1)全力制動階段；2)基于橢圓軌道的預測制導階段；3)基于近月面拋物線軌跡的預測制導階段。下面詳細闡述。

2.2.1 全力制動階段

此段從霍曼軌道近月點開始，切向控制量取負的峰值，法向控制量取0，即

(14)

直至滿足落月條件。由于瞬時橢圓軌道近月點的真近點角f一定為0，且預測落點是基于飛船自由飛行時的開普勒軌道進行的，動量矩h守恒，偏心率e是常數，將式(5)，(6)和(8)，及f=0代入式(3)，得到近月點的月心距為

(15)

落月條件是rp≤Rm。

2.2.2 基于橢圓軌道的預測制導階段

此階段的預測制導如圖3。

圖3 基于橢圓軌道的預測制導示意圖

飛船當前時刻在瞬時軌道上的真近點角可將式(5)，(6)和(8)代入式(10)計算得

(16)

近月點角距根據式(4)得

ω=α-f

(17)

其中，極角α由導航系統實時測定。

下面根據自由飛行預測落點真近點角f*。

(18)

相應的落點極角預測值為

α*=f*+ω

(19)

設落點極角期望值為αc，則預測落點位置偏差(用極角表示，下文類同)為

Δα=α*-αc

(20)

落點速度可根據機械能守恒來預測。設落點速度的預測值為v*，則根據當前狀態(r,v)計算的機械能與根據落點狀態(Rm,v*)計算的機械能應相等，可解得

(21)

設落點速度的期望值為vc，則預測落點速度偏差為

Δv=v*-vc

(22)

下面預測剩余飛行時間tgo。

將當前真近點角f代入式(11)和(12)，計算出相應的偏近點角E和平近點角M。將預測的落點真近點角f*代入式(11)和(12)，計算出相應的偏近點角E*和平近點角M*如下

(23)

式中，偏心率e根據當前飛行狀態(r,v,γ)由式(5)，(6)和(8)聯立計算。

首先使用水利普查基層登記臺賬管理系統菜單中的“對象清查清查瀏覽”功能，點擊業務分類的每一項，通過“導出EXCEL”功能，分別形成與Q201～Q803內容對應的24張瀏覽表，如表Q201（水庫工程）導出名為“VIEW_Q201_0.XLS”。為了避免數據的無序性和方便后面的操作，應在軟件中先按水利普查自動生成的編碼排序后再導出數據。

飛船在當前軌道上的平近點角和預測落點的平近點角差為

ΔM=M-M*

(24)

則預測的剩余飛行時間

(25)

式中，n是平均軌道角速度。將式(6)，(7)和(9)代入式(25)得

(26)

切向控制at用來減小飛船速度，消除落點速度偏差，故為

(27)

法向控制an用來改變飛船速度方向，即航跡傾角，消除落點位置偏差，故設計為

an=knΔα

(28)

式中，kn是負的常數，其物理意義是：如果預測落點超前期望落點，則通過法向推力“壓低”軌道，縮短射程；否則，通過法向推力“抬高”軌道，增加射程。

此階段結束的標志為：|f-f*|≤σ，其中，σ>0為預設的門限值。

2.3 基于近月面拋物線軌跡的制導階段

根據式(13)按照近月面拋物線軌跡飛行力學，得到剩余飛行時間

(29)

由此可預測落點位置

(30)

落點速度的預測仍可基于機械能守恒，易算出：

(31)

根據以上對三階段制導原理的描述，可將其綜合概括為圖4。

圖4 分段預測制導原理

3 仿真結果與分析

為了驗證所提出的預測制導律，對飛船軟著陸動力下降段進行仿真。

表1 仿真入口參數

表1中，h0,r0,α0,v0,γ0,m0是飛船在霍曼軌道近月點即動力下降初始點的狀態；xc是相應于αc的月表縱程，即落點縱程的期望值。

為了驗證本文預測制導的魯棒性，仿真中考慮了霍曼軌道近月點處飛船的速度偏差，即飛船在此點的實際速度相對于標稱值v0的偏差，用Δv0表示，其數值見表1，并且與基于燃耗最省的標稱軌跡制導仿真結果進行對比，仿真結果如圖5～10。

圖5 標稱初始條件下飛船下降軌跡

圖6 標稱初始條件下飛船質量變化曲線

圖7 初始速度偏差時飛船下降軌跡

圖8 初始速度偏差時飛船速度曲線

圖9 初始速度偏差時飛船航跡傾角曲線

圖10 初始速度偏差時飛船推力曲線

圖中,橫坐標x表示飛船在月表的飛行縱程。圖5～6為在標稱初始條件即在霍曼軌道近月點月表距15km、速度v0=1.69×103(m/s)下，基于標稱最優軌跡制導和本文預測制導的仿真結果對比，可見前者落月位置誤差達351m(將優化好的控制量時間序列代入飛行器動力學方程用龍格庫塔遞推得到)，而本文預測制導律僅為3.6m，但是前者燃耗僅為616kg，而本文預測制導燃耗為1080kg。圖7為存在初始速度偏差Δv0的情況下，基于標稱最優軌跡制導和本文預測制導的下降軌跡，可見前者落月位置誤差達3.57km，而本文預測制導律落月位置誤差僅為5.8m。

圖8～9為存在初始速度偏差的情況下，基于本文預測制導的飛船速度、航跡傾角、發動機推力曲線，可以看出飛船在滿足推力限幅條件下以0.3m/s垂直落月，實現了軟著陸。

以上仿真結果表明，雖然基于燃耗最省的最優標稱軌跡制導能節省動力下降段燃耗，但是其落月精度不如預測制導。特別是其對初始狀態攝動很敏感，較小的初始速度偏差即可導致較大的落月位置誤差。而本文預測制導有較強魯棒性，其落月位置仍然保持了很高的精度。本文基于解析預測的制導律相較于最優標稱軌跡制導律，在計算資源消耗方面的優勢就更明顯了。

4 結論

對月球軟著陸動力下降段制導控制方法進行了研究。首先對軟著陸過程進行了分析，簡化了下降段動力學模型，然后針對二維平面模型設計了預測制導算法，提出了基于落點位置偏差和速度偏差的閉環制導律。該方法所涉及的變量都能根據解析表達式計算，形式簡單，便于工程上快速在線實現。

數值仿真部分，在月球飛船動力下降有初始偏差的條件下，對本文所提預測制導方法和基于最優標稱軌跡的制導方法進行了對比，結果證明了本文方法的優勢。

[1] 李爽, 陶婷, 江秀強, 等. 月球軟著陸動力下降制導控制技術綜述與展望[J]. 深空探測學報, 2015, 2(2): 111-119.(Li Shuang, Tao Ting, Jiang Xiuqiang, et al. Review and Prospect of the Powered Descent Guidance and Control Technologies for Lunar Soft Landing [J]. Journal of Deep Space Exploration, 2015, 2(2): 111-119.)

[2] 王鵬基, 張熇, 曲廣吉. 月球軟著陸制動段飛行軌跡與制導律研究[J]. 飛行力學, 2007, 25(3): 62-66.(Wang Pengji, Zhang He, Qu Guangji. Research on the Descending Trajectory and Guidance for Braking Phase of Lunar Soft-Landing[J]. Flight Dynamics, 2007, 25(3): 62-66.)

[3] Ueno S, Yamaguchi Y. 3-dimensional Near -minimum Fuel Guidance Law of a Lunar Landing Module[C]. AIAA-99-3983.

[4] 彭祺擘, 李海陽, 沈紅新. 基于高斯偽譜法的月球定點著陸軌道快速優化設計[J]. 宇航學報, 2010, 31(4): 1012-1016.(Peng Qibo, Li Haiyang, Shen Hongxin. Rapid Lunar Exact-Landing Trajectory Optimization via Gauss Pseudospectral Method [J]. Journal of Astronautics, 2010, 31(4): 1012-1016.)

[5] 梁棟, 劉良棟, 何英姿. 月球精確軟著陸最優標稱軌跡在軌制導方法[J]. 中國空間科學技術, 2011, 31(6): 27-35.(Liang Dong. Liu Liangdong, He Yingzi. On-board Optimal Nominal Trajectory Guidance Method for Lunar Pinpoint Soft Landing[J]. Chinese Space Science and Technology, 2011, 31(6): 27-35.)

[6] 林曉輝, 于文進. 基于凸優化理論的含約束月球定點著陸軌道優化[J]. 宇航學報, 2013, 34(7): 901-908.(Lin Xiaohui, Yu Wenjin. Constrained Trajectory Optimization for Lunar Pin-point Landing based on Convex Optimization Theory[J]. Journal of Astronautics, 2013, 34(7): 901-908.)

[7] 彭坤, 果琳麗, 向開恒,等. 基于混合法的月球軟著陸軌跡優化[J]. 北京航空航天大學學報, 2014, 40(7): 910-915.(Peng Kun, Guo Linli, Xiang Kaiheng, et al. Optimization of Lunar Soft Landing Trajectory based on Hybrid Method[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2014, 40(7): 910-915.)

[8] Ma L, Shao Z, Chen W, et al. Trajectory Optimization for Lunar Soft Landing with a Hamiltonian-based Adaptive Mesh Refinement Strategy[J]. Advances in Engineering Software, 2016, 100: 266-276.

[9] Wang Dayi, Qiao Guodong, Li Tieshou. FNN Guidance Control for Lunar Optimal Trajectory Tracking Descent[J]. Journal of Astronautics, 2007, 28(5): 1149-1155.

[10] Parsley J. Near-optimal Feedback Guidance for an Accurate Lunar Landing[D]. University of Alabama, 2012.

[11] Zhang B, Tang S, Pan B. Multi-constrained Suboptimal Oowered Descent Guidance for Lunar Pinpoint Soft Landing[J]. Aerospace Science and Technology, 2016, 48: 203-213.

[12] 胡錦昌, 張洪華. 月球著陸器最終下降段的制導與控制方法研究[J]. 宇航學報, 2012, 33(11): 1577-1585.(Hu Jinchang, Zhang Honghua. Guidance and Control Method for Lunar Lander′s Final Descent Phase[J]. Journal of Astronautics, 2012, 33(11): 1577-1585.)

[13] Curtis H D. 軌道力學[M]. 周建華, 等, 譯. 北京: 科學出版社, 2009: 25-99.(Curtis H D. Orbital Mechanics for Engineering Students[M]. Zhou Jianhua, et al. Translated. Beijing: Science Press, 2009: 25-99.)