高中數學中的“數形結合”

信艾佳

山東省無棣縣第一高級中學

高中數學中的“數形結合”

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山東省無棣縣第一高級中學

縱觀近年的高考數學試卷不難發現，圍繞“數形結合”思想設置的題目不勝枚舉。因此，為了讓我們更好地掌握這種思想，提高應試解題能力，本文以“數形結合”的部分案例為主要研究對象，望能夠為當前處在高三復習階段的廣大同學提供一定的借鑒和啟示。

高中數學；數學思想；數形結合

一、數形結合思想對于學好高中數學的意義所在

數形結合思想不僅對教師設計課堂教學有重要的引導作用，對于高中生的數學學習而言，也具有非常重要的指導意義。

首先，數形結合思想有助于我們更好地掌握數學知識，形成系統的模塊。事實上在小學和初中階段，我們就接觸過較為簡單的“數形結合”案例，比如植樹問題、簡單的函數問題等。但是進入高中以后，我們所面對的問題由簡單變得復雜，由單一變得寬泛，需要我們有更為強大的駕馭和統籌能力，將不同模塊的知識囊括在統一的系統當中，將抽象問題具象化、將直觀問題概念化，在不斷參與和體驗問題的過程中加深對數形結合思想的理解。

其次，數形結合思想能培養我們的抽象思維和形象思維。隨著高中數學學習的不斷深入，我們的認知結構亦在不斷完善，思維方式也日漸成熟。比如當我們接觸了高中階段的函數知識之后，只要提到不同的函數類型，隨即便會聯想到各種不同類型的解析式及相應的圖像；再比如學習到橢圓、雙曲線時，我們亦會聯想到相應的圖形、解析式和概念，以及圖形上的焦點和漸進線等。換言之，我們可以通過具體的數聯想到相應的圖像、通過形能夠提煉出它的代數式，實現動與靜的結合，全面、辯證地看待問題，不斷培養自身的抽象和形象思維。

最后，數形結合思想能有效培養我們發現、分析和解決問題的能力。在日常學習過程中，我們習慣于通過觀察表面現象進而發掘現象之下的內部變化規律、探究其本質的方法；但是“數”與“形”的結合，卻能夠有效引導我們發現數、圖像以及二者之間關聯性等各種規律，會幫助我們多角度、多層次地考慮問題，用不同的方法解決問題。

二、高中數學學習中數形結合思想的滲透

(一)函數部分

數形結合思想在函數問題上有廣泛應用，比如函數的值域和定義域問題，函數極值問題、零點問題等，其具體的解決方式主要是以形輔數或以數輔形。

以這樣一道題目為例：求函數f(x)=x2-2x-3在區間[t，t+3]的最大和最小值。

通過分析可知，該函數圖像的對稱軸為x=1(直線)，而x本身的取值范圍是[t，t+3]，由于函數取值范圍本身充滿了不確定性，就意味著我們在解題時，要考慮[t，t+3]與x=1之間的關系，那么這道題目就自然而然會出現三種可能性：

(1)[t，t+3]在x=1的左則，即意味著t+3≤1時，最大值為f(t)，最小值為f(t+3)；

(2)[t，t+3]在x=1的右則，即意味著t≥1時，最大值為f(t+3)，最小值為f(t)；

(3)x=1在[t，t+3]內，t≤1≤t+3時，最小值為f(1)，但此時最大值卻被細化為兩種可能：

由此可見，在解決這道題目時，我們將函數的圖像置于思維當中，隨時考慮可移動區間與對稱軸之間的關系，那么解決這道題目過程中產生的障礙自然降低，我們的思路也會更加清晰。

(二)集合部分

在高中數學教材中，集合是開篇。我們在高中數學的開始階段，掌握了集合的定義、性質和表示方法，懂得了與集合相關的重要概念，如交集、并集、子集和補集等。而在綜合性的集合題目中，利用數形結合思想來解決問題無疑是難點和重點。

綜合兩種可能性，a的取值范圍為1≤a≤3，且a≠2。

(三)綜合應用

數形結合思想除了在上述函數和集合學習中有著廣泛應用外，在“數與形”交叉領域也有著廣泛滲透。具體來講，在進行數學知識學習和數學問題解決時，當遇到相對復雜的知識和問題時，數形結合思想的有效運用，能夠快速找到突破口，提高問題解決效率。例如，當遇到“如果未知數x和y都是正數，并滿足x2-y2=1的條件，那么請問y/x-2具體取值范圍是多少？”此時，如實學會幾何意義和代數意義的交叉應用，就能夠迅速和高效地解決問題。我們在遇到上述問題時，許多同學會想到不同的解決方法，但“單刀直入”地進行解題會造成解題步驟的復雜化，帶來許多不必要的麻煩，不僅降低了解題效率，而且降低了解題精準度。因此，在遇到這類綜合性數學問題時，我們應該更多地思考如何利用數學結合方法進行解決，將代數知識轉化為幾何知識找到突破口，然后在具體運算中再次將其轉化為代數計算，這樣就能夠快速和精準地找到最終答案。

三、結論

總而言之，數形結合思想在高中數學學習階段有著十分重要的意義，同時其也是近年來高考數學試卷當中對學生數學知識考查最為常見的內容之一。為了不斷培養和加強我們對于數形結合思想的認知，能夠在面對一道具體的題目時快速切入、找到重點，我們不僅要加強練習、懂得積累，更重要的是要學會收集數學模型，提高自己對于數學問題解構、分析的能力。

[1]孔令偉.數形結合思想方法在高中數學教學與解題中的應用[D].遼寧師范大學，2012：12-20.

[2]張艷.數形結合思想在高中數學教學中的應用研究[J].中國校外教育，2016(31)：55+57.

[3]劉桂玲.數形結合思想方法在高中數學教學中的應用分析[J].中國校外教育，2015(13)：106.