模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的方法論價(jià)值

曾玉華，鄭 果

（湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410205）

模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的方法論價(jià)值

曾玉華，鄭 果

（湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410205）

模型思想的本質(zhì)就是讓學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、利用已有的經(jīng)驗(yàn)解決問題的過程。模型思想不僅僅是一種基本的數(shù)學(xué)方法，更是一種解決問題的策略，它廣泛地應(yīng)用于認(rèn)識問題本質(zhì)規(guī)律、提高數(shù)學(xué)化能力、解決實(shí)際應(yīng)用問題、培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維等各方面，具有重要的數(shù)學(xué)方法論價(jià)值。

小學(xué)數(shù)學(xué)；模型思想；方法論；價(jià)值

引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）指出“重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程?！薄霸跀?shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念……模型思想”[1]，并明確提到了“數(shù)學(xué)模型”“模型思想”。在新課標(biāo)的十大核心概念中，“模型思想”是唯一以“思想”命名的，可見，發(fā)展模型思想是小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的重要目標(biāo)之一。

早在上世紀(jì)70年代初，美、英等國就已將數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)作為小學(xué)教育的重要內(nèi)容，并且成為統(tǒng)一數(shù)學(xué)課程的一個(gè)組成部分。就我國而言，從20世紀(jì)80年代起，數(shù)學(xué)界才開始關(guān)于數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模的研究，相關(guān)課程只有在大學(xué)才開設(shè)。自新課標(biāo)實(shí)施以來，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，筆者發(fā)現(xiàn)很多教師對數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模、模型思想等概念還較陌生，理解也很膚淺。因此，我們基于數(shù)學(xué)方法論的角度，從數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)出發(fā)，對小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的模型思想進(jìn)行深入探究，分析數(shù)學(xué)模型思想的概念、特點(diǎn)及其方法論價(jià)值，有助于提高小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量，有效促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的改革和發(fā)展。

一、相關(guān)概念的界定

（一）數(shù)學(xué)模型

對于數(shù)學(xué)模型的概念，眾多學(xué)者有著不一樣的認(rèn)識。張奠宙教授認(rèn)為，廣義地講，數(shù)學(xué)中各種基本概念和基本算法，都可以叫做數(shù)學(xué)模型。狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫做數(shù)學(xué)模型[2]。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的公式、定律、算法、函數(shù)、方程、概念等等都可以視作數(shù)學(xué)模型。

（二）數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）。小學(xué)階段研究的數(shù)學(xué)建模，是基于兒童視角，聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)原型或具體事例出發(fā)，發(fā)現(xiàn)并找出內(nèi)在規(guī)律，通過數(shù)學(xué)符號將其轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和運(yùn)用，從而解決現(xiàn)實(shí)生活中存在的一系列實(shí)際問題的過程。

（三）模型思想

模型思想，是指首先將所研究和考察的實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，使原來考察的現(xiàn)實(shí)問題得以解決的一種“數(shù)學(xué)化”[3]。

二、模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的方法論價(jià)值

數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則。模型思想作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一種基本的數(shù)學(xué)思想方法，具有重要的數(shù)學(xué)方法論價(jià)值。

（一）認(rèn)識問題本質(zhì)規(guī)律

世界上萬事萬物都存在其內(nèi)在的規(guī)律，人們可對部分事物通過發(fā)現(xiàn)規(guī)律并加以總結(jié)，通過數(shù)學(xué)符號將其轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)模型，從而解決現(xiàn)實(shí)生活中存在的一系列現(xiàn)實(shí)問題。洞穿表象，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，刻畫模型，解決問題，這就是模型思想的精髓所在。例如，18世紀(jì)初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個(gè)小島，七座橋把兩個(gè)島與河岸聯(lián)系起來。一個(gè)步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋并回到出發(fā)點(diǎn)，這就是著名的“哥尼斯堡七橋問題”。數(shù)學(xué)家歐拉在親自觀察了哥尼斯堡七橋后，冥思苦想，不斷探索，但一直未能成功，整整花了將近一年的時(shí)間，找到了這個(gè)問題的本質(zhì)規(guī)律，巧妙地把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)一筆畫的幾何問題，建立了解決問題的數(shù)學(xué)模型，最終破解這個(gè)難題。正是這個(gè)小小的數(shù)學(xué)模型，后來卻開創(chuàng)了拓?fù)鋵W(xué)這一新的數(shù)學(xué)分支。借助數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)生物學(xué)家們還發(fā)現(xiàn)了一些十分有趣的自然規(guī)律。他們解釋了為什么世界上有的動(dòng)物的尾巴布滿條紋而身上卻布滿斑點(diǎn)，但是沒有哪只動(dòng)物的尾巴布滿斑點(diǎn)而身上布滿條紋。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“雞兔同籠”“烙餅問題”“植樹問題”等都是典型的模型問題，內(nèi)容本身十分有趣，符合學(xué)生的認(rèn)知，同時(shí)貼近生活。教學(xué)中滲透模型思想，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識問題本質(zhì)規(guī)律，往往都能達(dá)到良好的教學(xué)效果。部分小學(xué)數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)往往對四維目標(biāo)的認(rèn)識不夠，眼光僅局限于“知識與技能”目標(biāo)上，從創(chuàng)設(shè)情境——探索新知——鞏固練習(xí)，亦步亦趨。學(xué)生缺失了對于生活實(shí)物模型的認(rèn)識以及探索規(guī)律、體會(huì)搭建模型的體驗(yàn)，有些設(shè)計(jì)中這些探索和合作僅拘泥于形式，沒有真正深入實(shí)際去挖掘分析問題的內(nèi)在規(guī)律，殊為可惜。

（二）提高數(shù)學(xué)化能力

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展本身就是一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過程。人類最初沒有數(shù)的概念，從結(jié)繩記事、小木棍或小石塊的組合慢慢產(chǎn)生數(shù)的概念，從點(diǎn)、線、面的運(yùn)動(dòng)變化逐漸產(chǎn)生幾何體的概念，這就是“數(shù)學(xué)化”。數(shù)學(xué)的教與學(xué)通過“數(shù)學(xué)化”的方式來進(jìn)行，讓學(xué)生經(jīng)歷直觀與抽象的嬗變，能夠運(yùn)用所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識、技能以及方法，進(jìn)一步觀察、比較與分析現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，并在綜合、類比、歸納的思辨過程中，發(fā)現(xiàn)其共性與規(guī)律，從而上升為數(shù)學(xué)的抽象與概括?！皵?shù)學(xué)化”不僅將數(shù)學(xué)與有關(guān)的實(shí)際背景緊密聯(lián)系起來，而且能使學(xué)生真正獲得充滿著生機(jī)與活力的數(shù)學(xué)知識，真正理解并學(xué)會(huì)運(yùn)用這些知識。

在模型思想的培養(yǎng)過程中把數(shù)學(xué)與實(shí)際問題結(jié)合起來可以使實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，而實(shí)際問題數(shù)學(xué)化是發(fā)現(xiàn)問題解決問題的方法和提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的一條有效途徑。例如：求有一條邊相等的兩個(gè)長方形面積之和？模型實(shí)際上很簡單，老師在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從問題分析到類比推理，再到建立模型、解釋應(yīng)用的整個(gè)過程，并且不斷賦予模型“生長”的力量，結(jié)合乘法分配律去分析，讓帶字母的分配律既根植于圖形，又不局限于圖形。它不僅可充分培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)化”能力，而且展現(xiàn)了模型思想的無窮魅力。

當(dāng)然，部分小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中不明就里，碰到與生活實(shí)際相關(guān)聯(lián)的問題，往往機(jī)械模仿，生搬硬套，不能由表及里，透徹理解問題實(shí)質(zhì)，淡化了將“生活問題”進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”的處理過程。比如在某些問題計(jì)算的過程中僅僅強(qiáng)調(diào)計(jì)算方法的多樣性，沒有及時(shí)地理清模型搭建中的探究過程，缺少對算法多樣化的規(guī)律和共性的分析與提煉，缺乏問題“數(shù)學(xué)化”的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵。

（三）解決實(shí)際應(yīng)用問題

在現(xiàn)代科技社會(huì)中，隨著信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位顯著提升，應(yīng)用日益廣泛，成功地解決了大量的實(shí)際問題。曾任世界數(shù)學(xué)聯(lián)盟主席的D.Mumford在論述現(xiàn)代數(shù)學(xué)的趨勢時(shí)說：“創(chuàng)建好的模型正如證明深刻的定理一樣有意義。我想，承認(rèn)這點(diǎn)，數(shù)學(xué)將會(huì)從中受益”。例如，隨著計(jì)算機(jī)3D打印技術(shù)的發(fā)展，科學(xué)家已經(jīng)能夠模擬打印人體血管網(wǎng)，甚至人體器官，并臨床應(yīng)用于疾病治療。數(shù)學(xué)模型還能使高速計(jì)算機(jī)在藥物成分設(shè)計(jì)和染色體組織的分析方面得以廣泛應(yīng)用。美國等國家成功地利用超級計(jì)算機(jī)模擬代替核試驗(yàn)，使得設(shè)計(jì)周期大幅縮短，費(fèi)用大大節(jié)約，安全可靠性得以提高。

在小學(xué)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，老師可以先讓小學(xué)生解決他們在實(shí)際生活中遇到或見到過的問題，如幫媽媽上街買菜，網(wǎng)絡(luò)購物或在線支付，自己設(shè)計(jì)喜愛的旅游路線，合理安排用餐和車輛，預(yù)測中獎(jiǎng)的可能性等。老師帶領(lǐng)學(xué)生從這些具體的生活體驗(yàn)出發(fā)，通過觀察、分析、比較、綜合、概括、抽象和必要的邏輯推理，提煉其本質(zhì)，適時(shí)地上升為數(shù)學(xué)問題，總結(jié)出數(shù)量、單價(jià)、總價(jià)，速度、時(shí)間、路程等相互之間的關(guān)系式，構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型，解決具體的實(shí)際問題，然后再把它推廣應(yīng)用于更廣泛的具體內(nèi)容中去，形成初步的數(shù)學(xué)模型思想。通過數(shù)學(xué)建模，既能使小學(xué)生得到由現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題的操作訓(xùn)練，又能讓他們深切感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識，使兒童真正了解數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程，提高兒童分析問題和解決實(shí)際問題的能力。

（四）培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維

創(chuàng)造性思維的核心就是發(fā)散思維。根據(jù)小學(xué)生思維的發(fā)展特點(diǎn)，數(shù)學(xué)教學(xué)滲透模型思想可以培養(yǎng)兒童從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、主動(dòng)解決問題的能力，在主動(dòng)思考解決問題的過程中鍛煉他們的直觀形象思維、發(fā)散思維。無論是在分析問題階段、解決問題階段還是驗(yàn)證問題階段，學(xué)生的思維隨著問題解決的漸進(jìn)而一步步升華，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的自我思考性和對未知事物的創(chuàng)造性，并且這種創(chuàng)新思維的發(fā)生由淺入深、循序漸進(jìn)。例如，傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)，所給題目的條件和問題已經(jīng)通過了篩選，呈現(xiàn)形式單一，結(jié)構(gòu)封閉，內(nèi)在完備無矛盾，所得結(jié)果往往也是唯一的。因此，解答應(yīng)用題與解決實(shí)際問題存在很大的距離，探究性不強(qiáng)，學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新思維得不到充分培養(yǎng)。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題滲透模型思想，可極大地改變傳統(tǒng)的教學(xué)法。首先是從現(xiàn)實(shí)生活背景中的實(shí)際問題中挖掘出全部有用的信息，探尋規(guī)律，構(gòu)建為數(shù)學(xué)模型，接著用合適的數(shù)學(xué)方法對該模型進(jìn)行求解，再回到現(xiàn)實(shí)中去檢驗(yàn)。它充分體現(xiàn)了新課標(biāo)對學(xué)生自主探究能力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。

例如：一家修路的公司承包了一條長400米的高速公路?；?天的時(shí)間修了高速公路的30%，繼續(xù)按照這樣的修路速度，還需要多久公司能修完這條路？

解法（1）：400÷（400×30%÷ 6）－ 6

解法（2）：（400－ 400× 30%）÷（400× 30%÷ 6）

解法（3）：1÷（30%÷ 6）－ 6

解法（4）：（1－ 30%）÷（30%÷6）

解法（5）：6÷ 30%－ 6

此題是小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的行程問題，模型系統(tǒng)容易確定，但是路程和速度沒有直接給出，教師抓住題目主干信息和問題實(shí)質(zhì)，巧用一題多解的教學(xué)方法，構(gòu)建了多樣化的模型，在多種求解思路中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，引導(dǎo)他們多角度、發(fā)散性地分析并解決問題，非常有利于學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2011年版[S].北京：北京師范大學(xué)出版社,2013：5.

[2]張奠宙.小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M].北京:高等教育出版社,2009：16.

[3]李明振.數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知機(jī)制及其教學(xué)策略研究[D].重慶：西南大學(xué),2007：2.

Methodological Value of Modeling in Elementary Mathematics Teaching

ZENG Yu-hua,ZHENG Guo

（School of Mathematicsand Computational Science,Hunan First Normal University,Changsha,Hunan 410205）

The essence of the modeling idea is to allow students to abstract mathematical problems from actual backgrounds,build mathematical models,and solve problems using existing experience.The modeling idea is not only a basic method in mathematics,but also a strategy to solve problems.It is applied widely in finding the regularity,improving mathematical ability,solving the practical problem and cultivating innovative thinking in mathematics,which hasgreat methodological value in mathematics.

elementary mathematics;modeling idea;method theory;value

G622

A

1674-831X（2017）05-0023-03

2017-04-26

湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目（15C0279）

曾玉華（1973-），男，湖南永州人，湖南第一師范學(xué)院副教授，博士，主要從事優(yōu)化理論與方法、數(shù)學(xué)教育研究；鄭果（1980-），女，湖南益陽人，湖南第一師范學(xué)院講師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。

[責(zé)任編輯：胡 偉]