一類含有分數階導數的參數激勵振動問題

葛志新, 陳咸獎, 陳松林

(1.安徽工業大學 數理學院,安徽 馬鞍山 243002; 2.安徽工業大學 商學院, 安徽 馬鞍山 243002)

一類含有分數階導數的參數激勵振動問題

葛志新1, 陳咸獎2, 陳松林1

(1.安徽工業大學 數理學院,安徽 馬鞍山 243002; 2.安徽工業大學 商學院, 安徽 馬鞍山 243002)

研究了一類具有分數階導數阻尼的參數激勵振動問題。對含有由 Riemann-Liouville 定義的分數階導數的Mathieu振動方程構造漸近解。利用多重尺度法,在激勵參數取不同值的情況下,求得漸近解, 得到分數階指數對解的影響。

多重尺度; 分數階導數; 參數激勵; 過渡曲線

振動現象是生活中常見的現象,也是學術界研究的熱點話題,如NAYFEH[1]研究的自由振動、 非齊次項激勵和參數激勵下的各種受迫振動問題的漸近解及共振情況。劉燦昌等[2]研究的參數激勵非線性振動時滯反饋最優化控制振動問題的穩定性等,他們研究問題的導數都用整數階導數描述。隨著數學的發展,分數階導數逐漸進入學者們的視野,學者們發現分數階導數更能準確描述記憶性材料的導數特性。學者們開始研究具有分數階導 數阻尼的振動情況,如陳林聰等研究非齊次項激勵的振動問題。學者們對用分數階導數 描述外阻尼的參數激勵的振動問題研究較少,且在文獻[3-5]中使用諧波平衡法對分數階阻尼Mathieu方程進行研究的。本文將在文獻[6-15]的基礎上研究含有參數激勵的分數階導數振動問題,對用分數階導數來描述阻尼的Mathieu方程的解用多重尺度法求得漸近解,并研究分數階導數對解的影響。

考慮

(1)

式中:δ為激勵參數;0<ε?1;0<α<1;n為>1的正整數。

1 第一種情況: 不接近于

引入多重尺度T0=t,T1=εt,則

(2)

(3)

設

u(t)=u0(T0,T1)+εu1(T0,T1)+…

(4)

把式(2)～式(4)代入式(1)中,得

(δ+εcosnt)(u0(T0,T1)+εu1(T0,T1)+…)=0 (5)

令式 (5) 中ε同次冪相等, 得

所以,

式中,cc為其前面項的共軛復數項,又

這里cosnt=cosnT0, 所以

(6)

(7)

把式(7)化簡, 得

(8)

把式(8)虛實部分開,并化簡得

(9)

(10)

由式(9)和式(10)得當ω,α為定義域內常數時,ρ為指數性衰減, 運動是有界的,原問題的漸近解可表示為

ρe-i(θ+ωT0)+O(ε)=2ρcos(θ+ωt)+O(ε)

其中,

其中,C1,C2由初值決定,可以發現α對原問題的影響在振幅與頻率上,振幅變化規律如圖1所示, 且當α一定時,振幅指數性衰減。由此可以得到在一定的條件下u的變化曲線,如圖2所示。

圖,當ρ(0)=1時,y～α曲線,y為u(t) 的振幅Fig.θ(0)=0,ρ(0)=1,here y is the amplitude of the u(t)

圖2 當,ρ(0)=1時, u～t曲線Fig.,ε=0.1,θ(0)=0, ρ(0)=1

2 第二種情況

設A(T1)=ρeiθ,可以得到

化簡得

(12)

把式(12)虛實部分開, 得

(13)

(14)

令χ=2θ+2ω1T1, 則式(13)和式(14)轉化為

(15)

(16)

由式(15)和式(16)得

即

可以發現決定過渡曲線的表達式為

若ω≈1,則

因此,ω1隨α的增大而增大, 如圖3所示。

圖3 曲線ω1～αFig.3 The curve is about ω1～α

所以過渡曲線為

α對過渡曲線的影響在ε項上,并且過渡曲線隨著α的增大而向右移,如圖4和圖5所示。

圖4 當ε=0.1 時, δ～α曲線Fig.4 The curve is about δ～α as ε=0.1

圖5 當ε=0.01 時, δ～α曲線Fig.5 The curve is about δ～α as ε=0.01

為了研究漸近解,引入變換A=Be-iω1T1,并代入式(11), 得

(17)

令B=Br+iBi,則式(17)可轉化為

(18)

(19)

尋找式(18)和式(19)中形如Br=breγ1T1,Bi=bieγ1T1的解。把Br=breγ1T1,Bi=bieγ1T1代入式(18)和式(19),得

(20)

(21)

求式(20)和式(21)的非零解。由式(20)和式(21)關于未知數br,bi的系數行列式為0, 得

從而

把式(22)代入式(20)得

即

(23)

把式(23)及變換A=Be-iω1T1,B=Br+iBi,Br=breγ1T1,Bi=bieγ1T1代入(4),得

u=(Br+iBi)ei(ωT0-ω1T1)+(Br-iBi)e-i(ωT0-ω1T1)+…

即

也就是

從而得到u的近似表達式, 即

(24)

其中,a1,a2由初始條件確定,由解可知α對解的影響在振幅上。令

(25)

ρ2=

(26)

(27)

ρ4=

(28)

可得到一定條件下α對ρi(i=1,2,3,4)的影響,如圖6和圖7所示。同時我們也能得到u的曲線圖,如圖8所示。

圖6 εt=1，n=2，ω≈1，ω1=-cosπα22時，ρ1～α，ρ3～α曲線Fig．6Thecurvesareaboutρ1～α，ρ3～αasεt=1，n=2，ω≈1，ω1=-cosπα22圖7 εt=1，n=2，ω≈1，ω1=-cosπα22時，ρ2～α，ρ4～α曲線Fig．7Thecurvesareaboutρ2～α，ρ4～αasεt=1，n=2，ω≈1，ω1=-cosπα22圖8 ε=0．1，n=2，ω≈1，ω1=-cosπα22，α=12，u(0)=0．5，u′(0)=-0．5時，u(t)～t曲線Fig．8Thecurveisaboutu(t)～tasε=0．1，n=2，ω≈1，ω1=-cosπα22，α=12，u(0)=0．5，u′(0)=-0．5

3 結 論

u(t)=2ρcos(θ+ωt)+O(ε)

(29)

其中,

(30)

(31)

式中,a1,a2由初始條件決定,分數階指數只對解的振幅有影響,振幅指數型增大。

2.1.5 鎂。2012年全市葉片鎂平均含量為2.93 g/kg(表1)，說明煙臺市果園鎂素嚴重不足。低土壤pH或高鉀可能會造成葉片鎂含量低。蘋果收獲前落果或果樹枝條缺少花芽、細弱的結果短枝都與缺鎂有關。施用含鎂的石灰、顆粒鎂或硫酸鎂，以及葉片噴施六水硫酸鎂都有較好的效果。

通過對含有分數階導數的 Mathieu振動方程解析漸近解的研究,我們明確了該方程的振動規律包括周期、振幅、頻率.這個研究為我們進一步研究含有分數階導數的 Mathieu振動方程其他性質,如穩定性、極限環、分叉等提供了依據。參 考 文 獻

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A class of parametric excitation vibration problems with fractional derivative

GEZhixin1,CHENXianjiang2,CHENSonglin1

(1.School of Mathematics & Physics, Anhui University of Technoloy, Ma’anshan 243002,China; 2.School of Economics, Anhui University of Technology, Ma’anshan 243002, China)

A class of parametric excitation vibration problems with fractional derivative damping was studied. First of all, the asymptotic solution of the Mathieu vibration equation of the fractional derivative defined by the Riemann-Liouville was structured. In the case of different values of excitation parameters, asymptotic solutions were obtained by the method of multiple scales. The influence of fractional order index on the asymptotic solution was obtained.

multiple scales; fractional derivative; parametric excitation; transition curve

安徽省高校自然科學研究重點項目(KJ2016A084)

2015-12-07 修改稿收到日期：2016-01-21

葛志新 女，碩士, 實驗師，1970年10月生

陳咸獎 男，碩士, 副教授，1970年7月生 E-mail:chenxianjiang@sina.com

O175.14

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.04.014