周期顆粒阻尼復合板結構的帶隙特性研究

胡 溧， 楊馳杰， 楊啟梁， 施耀貴

(武漢科技大學 汽車與交通工程學院，武漢 430081)

周期顆粒阻尼復合板結構的帶隙特性研究

胡 溧， 楊馳杰， 楊啟梁， 施耀貴

(武漢科技大學 汽車與交通工程學院，武漢 430081)

首次將顆粒阻尼運用到局域共振型性周期結構中，推導和驗證了周期顆粒阻尼復合結構帶隙的計算公式。通過設計一種周期顆粒阻尼復合板結構并測試該結構的振動傳輸特性，探究周期顆粒阻尼復合結構帶隙特性的結構影響因素及變化規律。結果顯示：①周期顆粒阻尼復合板結構的傳輸特性中會出現一個振動劇烈衰減區，說明周期顆粒阻尼結構具有帶隙特性；②周期配重的板結構帶隙起始頻率會隨著質量的增大而先增大后減小，其中，當配重50 g時帶隙起始頻率最大；③相比較配重同等質量的結構，周期顆粒阻尼結構帶隙均變寬，且最大衰減幅值均變大。④當顆粒阻尼器間距為0 cm、2 cm、4 cm、6 cm時，周期顆粒阻尼復合板結構帶隙寬度分別為100 Hz、170 Hz、230 Hz、400 Hz，帶隙寬度逐漸變大，且最大衰減幅值也逐漸變大。

周期顆粒阻尼；帶隙；質量；損耗因子；間距

工程上，周期性結構出現較早，被大量應用在飛行器、船舶等大型工業設備中，主要用于提高設備的結構強度，改善設備的動力學性能等方面，在應用過程中，很多研究人員對周期結構的振動特性進行了研究和總結。早在70世紀70年代，SEN等[1-2]在對周期性結構中自由振動和強迫振動的一些方法進行總結的過程中發現了在某些周期性結構中會對某些頻帶的振動波產生很大程度的衰減，但并未從理論上說明周期結構的帶隙特性。隨著20世紀80年代，光子晶體被提出，類比光子晶體，KUSHWAHA等[3]第一次提出聲子晶體的概念，并對鎳柱在鋁合金基體中形成的復合介質采用平面波方法計算獲得了在剪切極化方向的彈性波禁帶。在聲子晶體中，密度、阻抗和彈性參數不同的材料按照類似于天然晶體的結構周期性復合在一起[5]。YEH[4]用復合梁加強結構構成周期性結構，用傳遞矩陣法和有限元結合的方法分析了其在高頻段的禁帶特性。XU等[5]用空間諧波方法分析了周期性結構與液體之間振動與聲的相互作用過程。王剛等[6-7]在周期結構的帶隙機理方面進行了探索，舒海生等[8]對聲子晶體串聯組合桿結構的振動帶隙的變化規律進行了研究，但所有這些關于周期性結構的研究中，均未深入研究阻尼材料性對帶隙的影響。對具有阻尼材料的周期性結構的帶隙問題尚待進一步研究。

本文首次將顆粒阻尼結構運用到局域共振型周期結構中，基于有限元法和歐拉梁理論，從理論上推導出周期顆粒阻尼復合結構帶隙的判定公式。設計一種周期顆粒阻尼復合結構并測試該周期結構的振動傳輸特性，探究該周期顆粒阻尼復合結構的帶隙特性及其影響因素，得出該周期顆粒阻尼復合結構的帶隙變化規律。

1 周期顆粒阻尼結構帶隙的理論推導

1.1 帶隙判別公式的確定

所構造周期顆粒阻尼復合結構模型如圖1所示, 結構為薄板上方均布顆粒阻尼器組成。根據Kirchhoff-Love假設，橫向振動情況下的薄板結構可以等效為自由約束狀態下的歐拉-伯努利梁，顆粒阻尼結構可以等效為質量塊、彈簧和阻尼的組合，設質量塊的質量為m，彈簧剛度為k，阻尼系數為c，該周期復合結構的周期常數(即晶格常數)為a，如圖2所示。

圖1 周期顆粒阻尼復合板結構模型Fig.1 Model of composite slab structurewith periodic particle damping

圖2 周期顆粒阻尼復合板結構模型簡化圖Fig.2 The simple model of composite slab structure with periodic particle damping

將圖2所示簡化圖中取如圖3所示復合單元，一個復合單元由兩個長為a/2的梁單元以及一個顆粒阻尼結構組成，其中，顆粒阻尼結構等效為質量塊、彈簧和阻尼的組合，質量塊質量為顆粒阻尼結構的動質量，彈簧剛度為長為a的金屬薄板的彎曲剛度，阻尼系數由顆粒阻尼器的損耗因子體現。

圖3 周期顆粒阻尼復合板結構單元Fig.3 Element of composite slab structure with periodic particle damping

β=

顆粒阻尼結構即為一單自由度吸振器，其附加動剛度矩陣為

復合單元的動力學方程為Kcuc=Fc，式中uc和Fc分別表示復合單元中所有節點的廣義位移向量和廣義力向量。為推導方便，將復合單元的所有節點自由度合成為三部分：左端(L)、中部(I)和右端(R)，故動力學方程可改寫為

(1)

復合單元內部自由度不受外力，即FI=0，即KILuL+KIIuI+KIRuI=0，化簡可得

(2)

將式(2)代入式(1)可得

(3)

uR=e-iqauL

(4)

FR=-e-iqaFL

(5)

式中:q表示Bloch波矢。將式(4)代入式(3)第一行得

(6)

將式(5)代入式(3)第二行得

(8)

將式(6)代入式(8)可得

(9)

(10)

1.2 能帶結構計算算例

為了驗證帶隙解析表達式的正確性，任意選取一組周期復合結構的參數計算出能帶結構，得出第一帶隙所處位置，并與實驗結果進行對比。選取周期結構參數如下：金屬薄板選取Q195鐵板，其彈性模量E=2.12×1011N/m2，密度ρ=7.69×103kg/m3,b×h=0.12 m×0.001 3 m=1.56×10-4m2(此處b為金屬薄板的寬度，h為金屬薄板的厚度，I=bh3/12=2.25×10-11m4)，a=0.06 m，得到周期結構的等效模型中k=4.85×105N/m，取m=65 g，理論計算模型為無限周期結構，為了方便理論計算和對比，取η=0。由式(10)計算可得該周期結構能帶結構如圖4所示，計算所得第一帶隙為340～582 Hz。

圖4 周期結構能帶結構圖Fig 4 Energy band of the periodic structure

1.3 實驗驗證

對采用相同參數的復合結構進行實驗：金屬薄板選取Q195鐵板，通過彈性繩水平懸掛，薄板長×寬×厚=0.5 m×0.12 m×0.001 3 m，配重為45 g金屬塊，粘結在20 g容器上方，容器通過粘結劑與薄板粘結，如圖5(a)所示。實驗采用Test.Lab測試系統，如圖5b所示 ，薄板結構采用彈性繩懸掛，處于自由狀態，激勵采用0～1 280 Hz寬頻白噪聲，施加在薄板結構左端中間位置，響應拾取點位于薄板結構右端中間位置，輸出響應的頻譜與激勵信號的頻譜相比即可得到復合結構的振動傳輸特性，如圖6所示，結構的傳輸特性中，帶隙頻帶范圍內的衰減為10 dB以上[10]。

圖5 周期顆粒阻尼復合板結構和Test.Lab測試系統Fig.5 Composite slab structure with periodic particle damping and Test.Lab system

圖6 45 g配重結構試驗振動響應曲線Fig.6 Testing vibration response curve of structure with 45 g mass

從圖6中可知：45 g配重的薄板結構第一帶隙為324～580 Hz。對比計算結果與實驗結果可知：第一帶隙帶寬相差5.8%，第一帶隙起始頻率相差4.9%。計算結果與實驗結果基本一致，但還存在一定誤差，誤差來源：理論計算時所采用的模型為無限周期結構，而實驗結構為有限周期結構。由此可見，前文推導的周期顆粒阻尼復合結構帶隙計算的解析表達式是正確的。

由周期顆粒阻尼復合結構帶隙計算的解析表達式可得，結構的帶隙受到結構參數：阻尼器質量、顆粒阻尼器阻尼系數(即顆粒阻尼器損耗因子)和晶格常數(即顆粒阻尼器間距)的影響，為了探究周期顆粒阻尼結構帶隙隨三個結構參數的變化規律，進行了三組振動傳輸特性試驗。

2 質量對結構帶隙影響規律的探究

2.1 試驗對象

為了探究質量對結構帶隙的影響，對如下粘有不同配重的四種薄板結構進行了振動傳輸特性測試：顆粒阻尼器容器與10 g配重、顆粒阻尼器容器與30 g配重、顆粒阻尼器容器與50 g配重和顆粒阻尼器容器與70 g配重，試驗結構如圖5(a)所示，試驗裝置如圖7所示。

圖7 試驗裝置Fig.6 Testing device

2.2 試驗結果分析

試驗測得的四種不同配重薄板結構的振動響應曲線如圖8所示。從圖中可以看出：10 g配重的薄板結構帶隙為282～565 Hz；30 g配重的薄板結構帶隙為278～585 Hz；50 g配重的薄板結構帶隙為323～596 Hz；70 g配重的薄板結構帶隙為234～556 Hz。結果表明，周期配重的薄板結構帶隙的起始頻率會隨著質量的增大而先增大后變小，其中，當配重50 g時帶隙起始頻率最大。

圖8 不同配重結構試驗振動響應曲線Fig.8 Testing vibration response curve of struture with different mass

3 損耗因子對結構帶隙影響規律的探究

3.1 試驗對象

為了探究顆粒阻尼器損耗因子對結構帶隙的影響，對四組不同質量配重-顆粒材料結構進行了振動傳輸特性試驗測試及對比。選取四種結構如下：①對比裝有10 g顆粒材料或10 g配重的結構的振動傳輸特性；②對比裝有30 g顆粒材料或30 g配重的結構的振動傳輸特性；③對比裝有50 g顆粒材料或50 g配重的結構的振動傳輸特性；④對比裝有70 g顆粒材料或70 g配重的結構的振動傳輸特性，配重結構如圖5所示，填充顆粒材料的結構如圖9所示。

3.2 試驗結果分析

試驗測得的四組結構振動響應曲線如圖10所示。

振動傳輸特性如表1所示。結果表明，相比較配

重同等質量的結構，周期顆粒阻尼結構的帶隙均變寬，且結構傳輸特性最大衰減幅值均變大。

圖9 周期顆粒阻尼試驗結構Fig.9 Testing structure with periodic particle damping

圖10 不同質量配重-顆粒阻尼試驗振動響應曲線Fig.10 Testing vibration response curve of structure with different mass or particle damping

帶隙最大衰減幅值10g配重282～565Hz-35．2dB顆粒材料275～580Hz-39．3dB30g配重278～585Hz-43．2dB顆粒材料265～580Hz-48．7dB50g配重323～596Hz-45．8dB顆粒材料279～615Hz-50．6dB70g配重234～556Hz-50．6dB顆粒材料257～657Hz-56．9dB

4 顆粒阻尼器間距對結構帶隙影響規律的探究

4.1 試驗對象

為了探究間距對復合結構帶隙的影響，對顆粒阻尼器(裝有70 g顆粒材料)間距分別為0 cm、2 cm、4 cm和6 cm的四種結構(如圖8所示)進行了振動傳輸特性試驗測試。

4.2 試驗結果分析

試驗測得的四種不同配重薄板結構的振動響應曲線如圖11所示。從圖中可以看出：顆粒阻尼器間距為0 cm的薄板結構帶隙為496～596 Hz，最大衰減幅值為-29.1 dB；顆粒阻尼器間距為2 cm的薄板結構帶隙為270～440 Hz，最大衰減幅值為-39.1 dB；顆粒阻尼器間距為4 cm的薄板結構帶隙為235～465 Hz，最大衰減幅值為-44.7 dB；顆粒阻尼器間距為6 cm的薄板結構帶隙為257～657 Hz，最大衰減幅值為-56.9 dB。結果表明，當顆粒阻尼器間距增大時，顆粒阻尼周期結構帶隙寬度分別為100 Hz、170 Hz、230 Hz、400 Hz，帶隙寬度逐漸變大，且結構傳輸特性最大衰減幅值逐漸變大。

圖11 不同間距顆粒阻尼試驗振動響應曲線Fig.11 Testing vibration response curve of struturewith different interval particle damping

5 結 論

首次將顆粒阻尼應用于基于聲子晶體的周期結構中，研究了周期顆粒阻尼結構的帶隙特性，從理論上推導了周期顆粒阻尼結構帶隙計算的解析表達式，得出周期顆粒阻尼結構帶隙的影響因素。通過對比試驗結果可知：

(1)周期顆粒阻尼結構的傳輸特性中會出現一個振動劇烈衰減區，說明了周期顆粒阻尼結構具有帶隙特性，且結構的帶隙受到結構參數：質量、顆粒阻尼器阻尼系數(即顆粒阻尼器損耗因子)和晶格常數(即顆粒阻尼器間距)的影響；

(2)周期配重的薄板結構即帶隙的起始頻率會隨著質量的增大而先增大后變小，其中，當配重50 g時帶隙起始頻率最大；

(3)相比較配重同等質量的結構，周期顆粒阻尼結構帶隙均變寬，且結構傳輸特性最大衰減幅值均變大；

(4)當顆粒阻尼器間距增大時，顆粒阻尼周期結構帶隙寬度分別為100 Hz、170 Hz、230 Hz、400 Hz，帶隙寬度逐漸變大，且結構傳輸特性最大衰減幅值逐漸變大。

從實驗測試的結果來看，周期顆粒阻尼復合板結構帶隙處于可聽聲的低頻范圍內。后續可以將其應用于汽車NVH方面，對于抑制低頻范圍內車廂的空腔共鳴會產生顯著的效果，具有較強的工程實踐意義。

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Band gap features of a composite slab structure with periodic particle damping

HU Li, YANG Chijie, YANG Qiliang, SHI Yaogui

(School of Automobile and Traffic Engineering, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China)

Particle damping was firstly used in periodic structures with local area resonances. The band gap calculation formula of composite structures with periodic particle damping was derived and validated. Through designing a composite slab structure with periodic particle damping and measuring its vibration transmission features, the influence factors and change laws of the band gap features for the composite structure with periodic particle damping were studied. The results showed that ① a vibration acute attenuation area appears in the vibration transmission features of the composite structure with periodic particle damping, so the composite structure with periodic particle damping has the band gap features; ② the band gap starting frequency of a slab structure with periodic mass increases at first and then decreases with increase in mass; when the mass is 50 g, the band gap starting frequency of the structure is the maximum; ③ compared with a structure with an equal mass, the band gap of the structure with periodic particle damping is wider and the maximum attenuation amplitude value is larger; ④ when the space between particle dampers is 0 cm, 2 cm, 4 cm and 6 cm, respectively, the band gap width of the slab structure with periodic particle damping becomes larger gradually, they are 100 Hz, 170 Hz, 230 Hz, and 400 Hz, respectively, and the maximum attenuation amplitude value becomes larger gradually.

periodic particle damping; band gap; mass; loss factor; space between

國家自然科學基金(51105283)

2015-09-09 修改稿收到日期：2016-01-14

胡溧 男，博士，教授，1977年3月生

楊馳杰 男，碩士生，1992年4月生

TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.013