感受數學美
——以微積分為例

文︳劉清之

感受數學美
——以微積分為例

文︳劉清之

數學大師華羅庚曾指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數學。”法國數學家龐加萊認為，“數學家不單單因為數學有用而研究數學；他研究數學還因為喜歡，而喜歡的原因則是因為數學是美麗的！”是的，數學是非常有用而又具有獨特美的一門基礎學科。筆者以微積分為例，和大家分享數學美。

一、簡單美

愛因斯坦曾說，“美，本質上終究是簡單性”。他認為只有借助數學，才能達到簡單的美學標準。在微積分里，函數的極限為符號分別表示當自變量x趨向于a或趨向于∞時，函數（fx）的極限為A；函數y=（fx）的一階導數借助y′或表示，其n階導數可用符號或符號表示；函數（fx）在閉區間[a,b]上的定積分用表示，等等。這些符號形態優美，簡潔明了，為微積分的傳播創造了無障礙條件。

二、聯系美

龐加萊說：“沒有數學這門語言，事物間大多數密切的類似關系將永遠不會被我們發現；我們也無從發現世界內部的和諧。”在微積分里，函數的不定積分與定積分是兩個內涵完全不同的概念。牛頓和萊布尼茨借助積分上限函數搭建了兩者之間的一座橋梁，得到了微積分基本定理F（b）-F（a），從此建立了定積分與不定積分的密切聯系。有了它，各種積分（包括定積分、重積分、曲面積分、曲線積分等）的計算可轉化為求不定積分來解決。這是微積分學史上的一次重大發現，也說明了世間的萬事萬物皆相通的哲理。對于學習者的我們來說，應該付出更大努力去推動探究事物間聯系，以使我們一點點地、越來越好地理解聯系美。

三、抽象美

正如英國數學家羅素所說：“數學，不但擁有真理，而且具有至高的美，是一種冷而嚴格的美。”在我看來，這就是一種抽象美，給人無限的想象空間。如極限就給我們帶來了無限的想象空間，《莊子天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”就是最好的體現。另外，數列的數學定義：設{xn}為一數列，若存在常數a，對任意給定的正數ε，總存在正整數N，當n＞N時，有不等式|xn-a|＜ε，則a為數列{xn}（當n→∞時）的極限。定義里的ε是任意給定的，但要保證不等式成立，我們就一定要理解這個ε無論多么小，不等式也要成立才行。理解這個定義的過程，我們能夠體會到數學的抽象美。

四、應用美

美國數學教育家克萊因對數學美作過這樣的描述：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科技可以改善物質生活，但數學卻能提供以上一切。”微積分作為數學里的重要基礎理論，在物理和經濟學等領域得到了廣泛的應用，取得了輝煌的成就，海王星的發現就是數學理論發揮無比威力的例證之一。

總之，數學美內容豐富，有外在的、內在的，還有應用的。在今后的學習中，我們要對數學美加深認識與思考，發現美、利用美，讓數學這門工具學科更好地為人類服務。

（作者單位：湖南師大附中）