“統計與概率”，我們勢在必得

“統計與概率”，我們勢在必得

伍銀平

統計與概率在中考的選擇題、填空題和解答題中都有可能出現，主要考查統計、概率的概念和一些簡單的計算.

例1（2016·鹽城）下列調查中，最適宜采用普查方式的是（ ）.

A.對我國初中學生視力狀況的調查

B.對量子科學通信衛星上某種零部件的調查

C.對一批節能燈管使用壽命的調查

D.對“最強大腦”節目收視率的調查

【分析】調查方式的選擇需要將普查的局限性和抽樣調查的必要性結合起來，具體問題具體分析.普查結果準確，所以在要求精確、難度相對不大、實驗無破壞性的情況下應選擇普查方式，當考察的對象很多或考察會給被調查對象帶來損傷破壞，以及調查經費和時間都非常有限時，普查就受到限制，這時就應選擇抽樣調查.

解：對初中學生視力狀況的調查，人數太多，調查的工作量大，適合抽樣調查，故A選項錯誤；對量子科學通信衛星上某種零部件的調查，關系到量子科學通信衛星的運行安全，必須全面調查，故B選項正確；對一批節能燈管使用壽命的調查具有破壞性，適合抽樣調查，故C選項錯誤；對“最強大腦”節目收視率的調查，人數較多，不便測量，應當采用抽樣調查，選項D錯誤.故本題應選B.

【點評】本題考查了抽樣調查和全面調查的區別，選擇普查還是抽樣調查要根據所要考察的對象的特征靈活選用.一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大時，應選擇抽樣調查；對于精確度要求高的調查，事關重大的調查，往往選用普查.

例2（2016·福州）下表是某校合唱團成員的年齡分布：

年齡（歲）頻數1 3 5 1 4 1 5 1 5 x 1 6 1 0 -x

對于不同的x，下列關于年齡的統計量不會發生改變的是（ ）.

A.平均數、中位數 B.眾數、中位數

C.平均數、方差 D.中位數、方差

【分析】由頻數分布表可知后兩組的頻數和為10，即可得知總人數，結合前兩組的頻數知出現次數最多的數據及第15、16個數據的平均數，可得答案.

解：由表可知，年齡為15歲與年齡為16歲的頻數和為x+10-x=10，則總人數為：5+15+ 10=30，故該組數據的眾數為14歲，中位數為：（14+14）=14歲，即對于不同的x，關于年齡的統計量不會發生改變的是眾數和中位數，故選B.

【點評】本題主要考查頻數分布表及統計量的選擇，由表中數據得出樣本總數是根本，熟練掌握平均數、中位數、眾數及方差的定義和計算方法是解題的關鍵.

例3（2016·巴中）下列說法正確的是（ ）.

A.擲一枚質地均勻的正方體骰子，骰子停止轉動后，5點朝上是必然事件

B.審查書稿中有哪些學科性錯誤適合用抽樣調查法

C.甲乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們成績的平均數相同，方差分別是s甲2=0.4，s乙2=0.6，則甲的射擊成績較穩定

D.擲兩枚質地均勻的硬幣，“兩枚硬幣都是正面朝上”這一事件發生的概率為

【分析】由隨機事件和必然事件的定義得出A錯誤；由統計的調查方法得出B錯誤；由方差的性質得出C正確；由概率的計算得出D錯誤.

解：擲一枚質地均勻的正方體骰子，骰子停止轉動后，5點朝上不是必然事件，是隨機事件，選項A錯誤；審查書稿中有哪些學科性錯誤適合用全面調查法，選項B錯誤；甲乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績的平均數相同，方差分別是s甲2=0.4，s乙2=0.6，則甲的射擊成績較穩定，選項C正確；擲兩枚質地均勻的硬幣，“兩枚硬幣都是正面朝上”這一事件發生的概率為，不是，選項D錯誤.故選C.

【點評】本題考查了求概率的方法、全面調查與抽樣調查、方差的性質以及隨機事件與必然事件.熟記方法和性質是解決問題的關鍵.

例4（2016·廣州）某個密碼鎖的密碼由三個數字組成，每個數字都是0～9這十個數字中的一個，只有當三個數字與所設定的密碼及順序完全相同時，才能將鎖打開.如果僅忘記了所設密碼的最后那個數字，那么一次就能打開該鎖的概率是（ ）

【分析】最后一個數字可能是0～9中任一個，總共有十種情況，其中開鎖只有一種情況，利用等可能事件概率公式進行計算即可.

解：∵共有10個數字，∴一共有10種等可能的選擇，∵一次能打開鎖的只有1種情況，∴一次能打開該鎖的概率為.故選A.

【點評】此題考查了概率公式的應用.注意概率等于所求情況數與總情況數之比.

例5（2016·臺灣）甲箱內有4顆球，顏色分別為紅、黃、綠、藍；乙箱內有3顆球，顏色分別為紅、黃、黑.小賴打算同時從甲、乙兩個箱子中各抽出一顆球，若同一箱中每球被抽出的機會相等，則小賴抽出的兩顆球顏色相同的概率為（ ）.

【分析】畫出樹狀圖，得出共有12種等可能的結果，顏色相同的有2種情形，即可得出結果.

解：樹狀圖如圖所示：

共有12種等可能的結果，顏色相同的有2種情形，故小賴抽出的兩顆球顏色相同的概率.故選B.

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合于兩步或兩步以上完成的事件.注意概率等于所求情況數與總情況數之比.

例6（2016·北京）調查作業：了解你所住小區家庭5月份用氣量情況.

小天、小東和小蕓三位同學住在同一小區，該小區共有300戶家庭，每戶家庭人數在2-5之間，這300戶家庭的平均人數為3.4.

小天、小東、小蕓各自對該小區家庭5月份用氣量情況進行了抽樣調查，將收集的數據進行了整理，繪制的統計表分別為表1、表2和表3.

表1 小天抽樣調查小區4戶家庭5月份用氣量統計表（單位：m3）

表2 小東抽樣調查小區15戶家庭5月份用氣量統計表（單位：m3）

表3 小蕓抽樣調查小區15戶家庭5月份用氣量統計表（單位：m3）

根據以上材料回答問題：

小天、小東和小蕓三人中，哪一位同學抽樣調查的數據能較好地反映出該小區家庭5月份用氣量情況，并簡要說明其他兩位同學抽樣調查的不足之處.

【分析】這是一道解答題，它涉及抽樣調查、分析數據以及運用統計的觀念來解決問題的能力.

解：小天調查的樣本容量較少；小東抽樣調查的數據中，家庭人數的平均值為（2×3+3× 11+4）÷15=2.87，遠遠偏離了平均人數3.4，所以他的數據抽樣有明顯問題；小蕓抽樣調查的數據中，家庭人數的平均值為（2×2+3×7+4×4+ 5×2）÷15=3.4，說明小蕓的抽樣數據質量較好，因此小蕓的抽樣調查的數據能較好地反映出該小區家庭5月份用氣量情況.

【點評】統計思想與統計觀念是解決這類問題的關鍵，而平均數、加權平均數等知識是解決這類問題的基礎.

例7（2016·蘇州）在一個不透明的布袋中裝有三個小球，小球上分別標有數字-1、0、2，它們除了數字不同外，其他都完全相同.

（1）隨機地從布袋中摸出一個小球，則摸出標有數字2的小球的概率為________；

（2）小麗先從布袋中隨機摸出一個小球，記下數字作為平面直角坐標系內點M的橫坐標，再將此球放回、攪勻，然后由小華再從布袋中隨機摸出一個小球，記下數字作為平面直角坐標系內點M的縱坐標，請用樹狀圖或表格列出點M所有可能的坐標，并求出點M落在如圖所示的正方形網格內（包括邊界）的概率.

【分析】本題已明確是求等可能事件的概率，因此，可用等可能事件的概率公式進行求解.

解：（1）從布袋中摸出一個小球，小球標有的數字可能出現的結果有3種，即-1、0、2，并且它們出現的可能性相等.恰好為標有數字2的小球（記為事件A）的結果有1種，所以P（A）=

（2）小麗先從布袋中隨機摸出一個小球，記下數字作為點的橫坐標，再將此球放回、攪勻，然后由小華再從布袋中隨機摸出一個小球，記下數字作為點的縱坐標，可用下列樹狀圖表示：

由樹狀圖可知，點M的坐標的結果有9種，即（-1，-1）、（-1，0）、（-1，2）、（0，-1）、（0，0）、（0，2）、（2，-1）、（2，0）、（2，2），并且它們出現的可能性相等.點M恰好落在正方形網格內（包括邊界）的結果有6種，即（-1，-1）、（-1，0）、（0，-1）、（0，0）、（0，2）、（2，0），所以P（M）=

【點評】概率求解題，關鍵是要把它設置成等可能下的概率事件，然后用枚舉的方法，可用樹狀圖，有時也可用表格把所有等可能事件的結果表示出來，并找出符合題目要求的情況，最后運用等可能概率的計算公式求出結果.

（作者單位：江蘇省南京市寧海中學分校）