隨機微分方程在圖像恢復中的應用

崔蕊

摘 要：圖像在傳送、保存、應用過程中受實際因素影響時，會出現圖像不清晰的現象。但是在實際應用中，我們需要辨識度高和清晰程度高的圖像，因此需要對不清晰圖像恢復方法進行研究。在圖像恢復模型中，偏微分方程的模型居多，利用費曼一卡茨公式可以建立偏微分方程與隨機微分方程的關系，所以文章采取隨機微分方程對圖像進行恢復。

關鍵詞：隨機微分方程；熱方程；灰度圖像

一、引言

圖像是指各種圖形和影像的總稱。在傳送、保存、應用圖像過程中受實際因素影響，就會出現圖像不清晰的現象。但在實際生活中，人們希望能夠得到高質量的圖像，因此有必要對圖像復原領域進行研究，從而在圖像應用時得到高質量的圖像。圖像恢復包括很多方法，本文主要研究灰度圖像的復原問題。

雖然在圖像復原領域偏微分方程模型應用廣泛，但在圖像復原中應用偏微分方程模型仍有很多弊端，本文利用費曼—卡茨公式在偏微分方程與隨機微分方程之間建立關系，以解決相關問題。本文用隨機微分方程的方法對噪聲圖像進行濾波，使圖像滿足人們的需要。

二、 噪聲圖像的數學模型

定義u：D→R2是初始采集的灰度圖像，u0：D→R2是帶有高斯噪聲的圖像（即傳輸過程中得到的不清晰圖像），可以這樣表示：u0=u+η，其 中η代表高斯白噪聲。圖像復原問題等價于已知u0，以此為條件復原初始采集的灰度圖像u。用隨機微分方程構造的模型為圖像復原提供一個新思路。

筆者利用費曼—卡茨公式在偏微分方程與隨機微分方程之間建立關系，建立了隨機微分方程模型。

三、隨機微分方程模型的熱方程解法

圖像復原問題等價于對圖像進行濾波，高斯濾波過程等價于求解熱方程的初值解，利用費曼—卡茨公式構造圖像復原模型，二維高斯函數與污染圖像卷積的結果是圖像復原之后的結果。定義X過程是反射型隨機過程。可以用下式表示：

五、圖像復原質量的評價標準

目前針對圖像恢復模型的優良度的評價還沒有達成統一標準，本文列舉以下兩條評價方法。

1.圖像邊緣和紋理細節的保留能力

我們利用圖像邊緣和紋理細節來辨別圖像，所以需要了解圖像邊緣和紋理細節，如果經過恢復模型處理后的圖像邊緣于不清晰，細節不完整，從整體上看，圖像就會被損壞，這個模型就不值得應用。所以，可利用圖像的界限和細節的保留度來考量模型的優良度。

2.模型的穩定性和計算復雜性

利用隨機微分方程與偏微分方程方法都可以對被高斯噪聲污染的圖像進行濾波，達到去噪的目的，說明兩種模型對污染圖像的濾波過程都有效。從評價方式來說，由于偏微分方程中的熱擴散模型采用相同的擴散速度來平滑圖像，導致圖像邊緣不清晰，不能保留邊界，因此，隨機微分方程的方法優于偏微分方程。

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