古塔變形的數學分析

摘 要：古塔受到長年累月的各種外力因素影響后，容易發生各種變形，通過對古塔建立各種變形模型，以便對其變形情況進行詳細的分析，為其保養、修復等工作提供必要的理論依據。

關鍵詞：古塔變形；扭曲；數學模型

中圖分類號：O242.1 文獻標識碼：A收稿日期：2016-09-18

作者簡介：馮英華（1977—），男，山東壽光人，濰坊科技學院副教授，碩士，研究方向：數學教育。

考慮到古塔可能的各種變形情況，本文從古塔的傾斜程度、彎曲程度、扭曲程度等變形情況進行分析。在分析之前，管理部門通過委托測繪公司在近30天的時間里對古塔進行了四次定點測量，得到了系列數據。

1.塔的傾斜情況

由于古塔最初是垂直于地面的，該塔的傾斜情況即是偏離了原來的位置有多少，根據每層的測量數據求出古塔各層的中心點坐標，這些中心點中的大多數點所在的空間直線即為傾斜直線。

先利用MATLAB軟件畫出第一次測量年份各層中心點的散點圖（見下圖），可以看出其大致排列在一條空間直線上，我們設擬合函數為：

x=az+b

y=cz+d

其中a、b、c、d為待定系數。利用Matlab可求出該空間直線的方程為：

x=0.0107z+566.6336

y=-0.0072z+522.7259

該直線的方向向量為s={0.0107， -0.0072，1}，地面的法向量為n={0，0，1}，這兩向量之間的夾角即為傾斜角θ。

cosθ= ≈0.99917

則arccosθ≈0.012896，即這一年的傾斜角為0.738886度。

同理可求得其他年份的傾斜直線、傾斜角。

2.分析古塔的彎曲情況

我們可以用塔的中心點的彎曲情況來表示塔的彎曲變形情況，由于中心點彎曲變形，直接利用Matlab進行擬合空間曲線難度較大，考慮到塔的中心點大多在塔中心的傾斜線所在的垂面內，所以可以在此垂面內重新建立平面直角坐標系，將空間曲線擬合問題轉化為平面內的曲線擬合問題，用第一層的中心點為坐標原點，假定各層的中心點都能投影在古塔傾斜直線的投影所成的那條直線上（個別中心點偏離引起的誤差忽略不計），并以該直線為軸，以第一層的中心點為坐標原點，平行于軸的直線為軸建立一個新的直角坐標系，則可以得到各觀測點在新坐標系下的坐標。

然后我們在該坐標系內利用Matlab擬合出中心點彎曲形成的曲線形式，為了找出更為合適的曲線方程，我們分別進行了第二次、第三次、第四次和第五次的曲線擬合判斷分析。

通過對四次測量中對應的中心點的擬合，可以看出第五次擬合已經非常精確，更能夠比較精確地體現出古塔的彎曲程度。同時考慮到建筑物在自然條件下通常上半部分比下半部分彎曲程度更大，所以我們選用擬合程度更好的第五次曲線。

設擬合函數為：

y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f

根據Matlab程序運行可得每個測量年份的古塔彎曲擬合曲線。

利用曲率公式K= ，可得各層中心點的曲率。

從計算結果得出如下結論：在這四次測量中曲率從第一層逐漸變小，中間略有波動，彎曲程度較小，從第十層往上彎曲程度逐漸變大。

3.分析古塔的扭曲情況

物體因受到外力作用而扭曲變形，相對于原來位置而發生的改變程度稱為扭曲度。在扭曲過程中，物體上的點投影到坐標水平面上，點的投影相對于原來位置點的投影發生變化而形成的投影曲線稱為扭轉曲線。扭轉曲線上在一點處的曲率稱為該點的扭曲度。扭曲度的大小反映了物體的扭轉程度。

我們用古塔的中心點來研究古塔的扭曲情況，將各層中心點投影到xoy平面上，投影點所形成的曲線的彎曲情況即為古塔的扭曲情況。

根據投影點坐標和Matlab可擬合出測量年份的二次曲線并求得方程。

利用曲率公式K= ，可得各中心點的曲率。

由于測量次數比較少，在擬合古塔變形趨勢時，擬合度不高。隨著以后測量次數的增加，需進一步修正變形趨勢的曲線。

參考文獻：

[1]王文波.數學建模及其基礎知識詳解[M].武漢：武漢大學出版社，2007.

[2]何祝斌，苑世劍，滕步剛，等.多曲率旋轉殼體液壓脹形實驗研究[J].塑性工程學報，2003（5）.