非等時距MGM（1，m）模型在高速公路沉降預測中的應用

羅 杰

（1.湖南有色測繪院有限公司，湖南 長沙410129）

非等時距MGM（1，m）模型在高速公路沉降預測中的應用

羅 杰1

（1.湖南有色測繪院有限公司，湖南 長沙410129）

分別以Lagrange插值法和三次樣條曲線法為基礎，利用灰色理論建立高速公路沉降預測的非等時距GM（1，m）模型。分析比較MGM（1，m）與GM（1，1）模型精度，基于非等時距的MGM（1，3）模型沉降預測結果與實測情況吻合較好，擬合與預測精度也比非等時距GM（1，1）的精度高，非等時距的序列轉換采用Lagrange插值函數法和三次樣條曲線法求得，對于此次工程數據采用三次樣條曲線法較Lagrange插值函數法精度高。

高速公路，沉降變形，多變量灰色模型，非等時距

由于地質勘察、室內試驗、土工計算方法存在誤差，同時，實際的地基處理和路基施工進度也與設計的預期安排有所不同，現場發生的沉降量及其過程與初始設計往往存在很大的差異，因此，需要通過分析現場實測沉降資料來預測后期沉降量，必要時還須校核、修改、補充設計，在施工過程中對路基沉降變形進行動態設計和施工控制。工程上大多采用部分實測沉降數據來推算沉降量，主要方法有經驗公式法、三點法、Asao-ka法、灰色系統法、遺傳算法和神經網絡法等[1-3]。本文對灰色系統法在沉降預測中的應用進行了分析。

高速公路的變形監測不能只對單點（或單方向）進行局部分析研究，應該充分利用監測點之間的相關信息。本文應用多變量灰色模型（multi-variable grey model，MGM（1，m）模型），從系統的角度對多變量進行統一描述，能較好地反映系統中各變量之間相互影響的關系，進行建模并預測。MGM（1，m）模型是單點GM（1，1）模型在多點情況下的擴展，而不是GM（1，1）的簡單組合，也不同于GM（1，m）模型。該模型不僅能夠較真實地反映普遍聯系的客觀實際，而且擬合精度較高[2]。通過對非等時距序列的等時距化處理，可以拓寬該模型的使用范圍，使之成為路基沉降預測的有效方法之一。

本文探索了灰色系統理論在沉降預測中的應用。針對工程實踐中沉降觀測資料一般都是不等時間間隔的特點[5-6]，采用Lagrange 插值法和三次樣條曲線法對數據序列進行等時距變換。對不等時距沉降數據建立多變量灰色模型MGM（1，m）進行預測，并且與GM（1，1）模型的預測精度進行比較，結果表明MGM（1，m）與實際沉降量更接近，精度更高。

1 關聯MGM（1，m）數學模型

MGM（1，m）模型的m個參數向量的最小二乘估計為：

當n=1時，MGM（1，n）退化為單一因子或單點序列的GM（1，1）模型。GM（1，n）模型適合于建立系統的狀態模型、各變量動態關系分析以及為高階建模提供基礎，但不太適合于預測，MGM（1，n）模型既可以建模又可以預測。

2 應用實例

2.1 數據介紹

本文利用某高速公路某標段沉降觀測成果驗證上述模型與方法的實用性。后期連續非等間距（180 d）數據13組見表1。

表1 某高速公路某標段沉降實測值

表中前十組數據用來建模，后三組用來檢驗預測精度。首先取道中、道左、道右3個變量，分別用x1、x2、x3表示，以此建立MGM（1，3）模型。

2.2 非等時距時間序列的等時距變換

非等時距時間序列的等時距變換方法有非等時距數列按等時距處理法、內插法（直線插值、Lagrange，牛頓插值）、樣條曲線法等[4]。本文通過Matlab計算，分別采用Lagrange 插值法和三次樣條曲線法對道中、道左、道右沉降量序列進行等時距變換得到兩組不同的建模數據。

2.3 建立模型概述

取等時間間距的1～10組數據，按式（3）建立MGM（1，3）模型，取表1中數據求得L與Y，進一步計算時間響應式，求得后，按照式（7）還原計算即可得擬合預測值。

2.4 模型檢驗

通過Matlab 計算出的模型計算值和實測值，得到殘差向量，即

其中Vi=（Vi(1),Vi(2),…,n；k=1,2,…）。

具體計算結果見表2和表3。

基于Lagrange插值法的MGM（1，3）模型中道中、道左、道右的平均絕對誤差分別為2.5 mm、0.26 mm、0.176 mm，平均相對誤差分別為4.41%、0.51%、0.327%；基于三次樣條曲線法的MGM（1，3）模型中道中、道左、道右的平均誤差分別為2.213 mm、0.225 mm、0.209 mm，平均相對誤差分別為4.02%、0.49%、0.39%。這說明對于本工程數據采用三次樣條曲線法較Lagrange插值函數法精度高。通過計算可得：基于Lagrange插值法的MGM（1，3）模型的C=0.240 3、P=1，精度等級好；基于三次樣條法的MGM（1，3）模型的C=0.230 4、P=1，精度等級也好；GM（1，1）模型的C=0.484 6、P= 0.777 8，精度等級勉強可以。

2.5 MGM（1，3）與GM（1，1）預測模型的比較

對于道中沉降，分別比較MGM（1，3）與GM（1，1）預測模型的擬合、預測精度，三種模型的比較見圖1，道中沉降預測結果見表4。這個結論對于其他類型工程是否合理，還有待進一步驗證。

表2 基于Lagrange插值法的MGM（1，3）模型逐點殘差

表3 基于三次樣條法的MGM（1，3）模型逐點殘差

表4 道中沉降預測結果

圖1 三種模型擬合及沉降預測值曲線

3 結 語

通過對非等時距多變量灰色模型的介紹及其在某高速公路某標段沉降工程實例中的應用，可以得出如下結論：①基于非等時距的MGM（1，3）模型沉降預測結果與實測情況吻合很好，擬合與預測精度也較比非等時距GM（1，1）模型高。說明多變量預報模型MGM（1，m）對該類路面沉降預測是可行的。②非等時距的序列轉換采用Lagrange插值函數法和三次樣條曲線法求得，對于本工程數據，采用三次樣條曲線法較Lagrange插值函數法精度高。

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1672-4623（2017）02-0108-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2017.02.033

2015-06-24。

羅杰，工程師，主要從事測繪工作。