3-RRR并聯(lián)機器人運動學建模與仿真

張乾坤 高 洪

（安徽工程大學，安徽 蕪湖 241000）

并聯(lián)機器人是機械與計算機控制技術的產物[1]，Hunt教授在1978年首次提出把六自由度并聯(lián)機構作為機器人操作器[2]，從而在世界范圍內掀起了對并聯(lián)機器人研究的熱潮。并聯(lián)機器人的國內研究始于1991年，1991年燕山大學黃真教授[3]研制出我國第一臺6自由度并聯(lián)機器人樣機，并且在1997年出版了我國第一部關于并聯(lián)機器人理論與技術的專著。進入21世紀，隨著科研工作者對并聯(lián)機器人認知的不斷加深，少自由度并聯(lián)機器人由于其獨特的結構逐漸受到人們的青睞。少自由度并聯(lián)機器人不僅具有并聯(lián)機器人無累積誤差，精度較高特點還能有效改善并聯(lián)機器人相對于串聯(lián)機器人工作空間小的缺點，因此，針對不同機型，對相關問題的研究仍有必要[4-7]。3-RRR并聯(lián)機器人是一種典型的平面少自由度并聯(lián)機器人，在精密加工、電子制造裝備等領域具有良好的應用前景[8]，以3-RRR并聯(lián)機器人為基礎，還可以構建具有打磨、拾放功能的新型機器人[9]。為此，本文針對3-RRR并聯(lián)機器人，建立其逆解模型，通過MATLAB編程進行運動學仿真，以探求動平臺位姿的變化與主動桿角位移、角速度以及角加速度變化之間的關系。

1 運動學分析

1.1 機構描述

如圖1所示，3-RRR并聯(lián)機器人是由動平臺C1C2C3，機架三角形A1A2A3，主動桿A1B1、A2B2、和A3B3，從動桿B1C1、B2C2和B3C3組成。其中動平臺和機架三角形均為正三角形，主動桿桿長AiBi=l1（i=1，2，3，下同。）從動桿桿長BiCi=l2，O為機架三角形A1A2A3的外接圓中心，其半徑為OAi=R。P為動平臺C1C2C3外接圓中心，其半徑PCi=r。O-XY為固定坐標系，X軸平行于A1A3。αi為主動桿AiBi與固定坐標系X軸正方向的夾角（逆時針為正），βi為從動桿BiCi與固定坐標系X軸正方向的夾角（逆時針為正），θ為C1C3與固定坐標系X軸正方向的夾角（逆時針為正），動平臺與機架三角形之間用串聯(lián)支鏈鏈接，其中每個串聯(lián)支鏈均包含一個主動桿和一個從動桿。主動桿與機架、主動桿與從動桿、從動桿與動平臺之間皆用轉動副連接。

圖1 3-RRR并聯(lián)機器人示意圖

1.2 運動學逆解

3-RRR并聯(lián)機器人動平臺C1C2C3在平面XY內運動，其系統(tǒng)結構參數(shù)具有對稱性，根據(jù)閉環(huán)幾何約束條件我們可以得到：

（1）式分別向X軸Y軸投影，可以得到兩個約束方程：

其中：

令 X＝tan（αi/2），將式（3）化簡得：

其中：

對一元二次方程（5）進行求解，得：

對于3-RRR并聯(lián)機器人的其中一條支鏈，當Bi2－4AiCi>0時，αi有兩個解，對應其分子的“±”，每個主動桿轉角按式（7）計算得到工程中兩種不同的裝配模式，3-RRR并聯(lián)機器人共有三條支鏈，按照排列組合規(guī)律，共有8種裝配模式，依次記為+++模式、++-模式、+--模式、+-+模式、---模式、-+-模式、-++模式、-+-模式。

求式（3）關于時間t的一階導數(shù)，得主動桿的角速度：

圖2 3-RRR并聯(lián)機器人8種裝配模式圖

寫成矩陣形式為:

其中：

再求式（8）關于時間t的一階導數(shù)，得主動桿的角加速度：

其中：

2 運動仿真

使用MATLAB對3-RRR并聯(lián)機器人逆運動學進行仿真，觀察主動桿的運動軌跡。3-RRR并聯(lián)機器人共有8種裝配模式，如圖2所示。

根據(jù)機構學原理，一旦該機構裝配完成，只能以一種裝配模式工作，為此，不失一般性，選擇第一種（+++)模式進行仿真分析，其余裝配模式同理分析即可，不贅述。假設 。動平臺的運動軌跡為：

其中，長度單位為mm；即動平臺在XY平面內以點（0，-30）為圓心，以30 mm為半徑做圓周運動，在仿真時間t=2πs內，動平臺轉角θ范圍為[0，π/9]。

仿真結果如圖3、圖4、圖5所示：

圖3 主動桿角位移圖

圖4 主動桿角速度圖

圖5 主動桿角加速度圖

在（+++）裝配模式下，當動平臺外接圓中心做圓周運動，且其姿態(tài)角θ[0，π/9]時，三個主動桿角位移具有二級連續(xù)性，正因為其角加速度連續(xù)，所以該機構具有良好的動力學特性。

3 結論

基于3-RRR并聯(lián)機器人逆解，可得到主動件運動規(guī)律，通過MATLAB編程和仿真，可得到不同裝配模式下，主動桿角位移、角速度和角加速度的變化規(guī)律，從而判斷其動力學特性優(yōu)劣。

[1]高洪，趙韓.并聯(lián)機器人機構學理論研究綜述[J].安徽工程大學學報，2006，（1）：73-79.

[2]HUNT K H.Kinematic geometry of mechanism[M].CLARENDON，1978.

[3]黃真，孔令富，方躍法.并聯(lián)機器人機構學理論及控制[M].北京;機械工業(yè)出版社，1997.

[4]曹麗亞，崔建昆.3-RRR平面并聯(lián)機器人工作空間邊界求解和靈活性研究[J].機械傳動，2016，（8）：38-42.

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[7]高名旺，張憲民，劉晗.3-RRR高速并聯(lián)機器人運動學設計與實驗[J].機器人，2013，（6）：716-722.

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[9]高洪，張偉，肖平，等.具有大工作空間的四自由度混聯(lián)機器人：201510671336.5[P].2017-05-31.