基于對數(shù)灰關聯(lián)度及IOWGA算子的組合預測方法及應用

胡文權，葛文，唐旭，徐長虹，崔逍

(1.寧波市測繪設計研究院，浙江 寧波 315402； 2.寧波諾丁漢大學，浙江 寧波 315100)

基于對數(shù)灰關聯(lián)度及IOWGA算子的組合預測方法及應用

胡文權1*，葛文1，唐旭2，徐長虹1，崔逍1

(1.寧波市測繪設計研究院，浙江 寧波 315402； 2.寧波諾丁漢大學，浙江 寧波 315100)

針對傳統(tǒng)組合模型建模準則單一、權值固定不變的缺陷，引用最優(yōu)加權組合建模理論，在誘導有序加權幾何平均(IOWGA)算子的基礎上，結合對數(shù)灰關聯(lián)度，研究了一種改進的IOWGA算子的組合模型。其核心思想是以對數(shù)灰關聯(lián)度為準則，基于單一模型各時刻擬合、預測的精度高低進行有序賦權。文中對優(yōu)性組合的判定方法及組合模型預測效果評價準則亦進行了研究。將組合模型應用到寧波市某路基沉降預測中，取得了良好的效果，提高了預測精度，驗證了模型的有效性。

對數(shù)灰關聯(lián)度；IOWGA算子；組合模型；沉降預測

1 引 言

有序加權平均(OWA)算子是一種集結信息算子，它能有效地集結數(shù)據(jù)信息。自美國學者Yager提出該算子后，相關研究得到了國內(nèi)外專家的高度重視。目前，理論研究和實際應用較多的是誘導有序加權幾何平均(IOWGA)算子[1]和誘導有序加權調(diào)和平均(IOWHA)算子[2]。基于此類算子的組合模型，主要考慮依據(jù)單一預測方法在不同時刻的擬合、預測精度進行有序賦權，此種建模方法可以避免因權值不變而導致精度降低、與實際不符等缺陷。

國內(nèi)外學者研究的組合模型[3]大都以誤差平方和最小作為建模準則。近年來，依據(jù)相關性指標而建立的組合模型得到了越來越多的應用。本文采用相關性指標對數(shù)灰關聯(lián)度[4]作為優(yōu)化準則，由此建立的組合模型的預測值更接近實際值，事實證明，用它作為優(yōu)化準則具有可行性，將其應用到沉降預測中，提高了預測精度，得到了良好的預測結果。

2 基于對數(shù)灰關聯(lián)度的IOWGA算子的組合模型的構建

2.1 IOWGA算子

定義1令

(1)

定義2設(，，…，)為n個二維數(shù)組，令：

IOWGAw(，，L)

(2)

沉降預測中常以預測精度ait作為預測值xit的誘導值并與之組成二維數(shù)組，，…， 。將預測精度序列a1t，a2t，…amt按大小順序排序，設a-index(it)是第i個大的預測精度的下標。據(jù)定義2可知：

(3)

其中，t=1，2，…，N，則稱式(3)為沉降量的組合預測值。IOWGA算子綜合考慮了各單一模型精度時高時低的特點，充分利用了其有用信息。

對式(3)兩邊取對數(shù)，得到：

(4)

xa-index(it)=lnxt-lnxa-index(it)

(5)

由式(4)和式(5)可得：

(6)

N期總的組合預測對數(shù)誤差平方和S為：

(7)

因此，基于IOWGA算子的組合預測模型的公式可表示如下：

(8)

根據(jù)上述定義的組合預測對數(shù)誤差信息方陣，上式可簡記為：

(9)

其中，R=(1，1，…1)T。據(jù)矩陣論相關理論可知，若上述的組合對數(shù)誤差信息矩陣E為正定矩陣，則上式存在唯一最優(yōu)解[9]：

L*=E-1R/RTE-1R

(10)

2.2 基于對數(shù)灰關聯(lián)度的IOWGA算子的組合模型

為了進一步挖掘IOWGA算子在組合建模時的優(yōu)勢，本文試圖將相關性指標中的對數(shù)灰關聯(lián)度和IOWGA算子相結合，根據(jù)大小排序后的單項預測值加權計算組合預測值，實際建模時，以預測精度作為誘導變量且以對數(shù)灰關聯(lián)度作為建模準則，構建一種基于對數(shù)灰關聯(lián)度的IOWGA算子的組合模型。令

(11)

式(11)中，γi為第i種預測方法預測值與實際值對數(shù)序列的灰色關聯(lián)度，γ為組合預測值與實際值對數(shù)序列的灰色關聯(lián)度。上式中的ρ為分辨系數(shù)，取值范圍為：ρ∈(0，1)，通常可取ρ=0.5。

組合預測信息矩陣為：

(12)

由et和上式定義的對數(shù)灰關聯(lián)度定義式，式(11)可改寫為：

(13)

分析上式可知對數(shù)灰關聯(lián)度γ可由以權系數(shù)L=(l1，l2，…，lm)T為自變量的函數(shù)表示，簡記為γ(L)。據(jù)灰色關聯(lián)度的相關原理可知，對數(shù)灰色關聯(lián)度γ是判斷組合方法有效的重要指標，其值越大表示組合預測方法越有效。對數(shù)灰關聯(lián)度與IOWGA算子相結合的組合模型的組合權值可由下列表達式[10]求出。

(14)

該模型是一個非線性規(guī)劃模型，利用相關優(yōu)化軟件可以求解各單項預測方法的加權系數(shù)。

2.3 最優(yōu)組合模型

(15)

若γ(L)>γmax，則所組建的模型為優(yōu)性組合預測，若γ(L)<γmin，則所組建的模型為劣性組合預測，若γmin≤γ(L)≤γmax，則所組建的模型為非劣性組合預測。實際預測中根據(jù)上述定義判斷組合模型的優(yōu)劣性。

3 組合預測評價準則

對模型預測效果的評價同樣是一項重要的工作。預測精確性主要反映了預測的準確度，實際中常采用以下幾種誤差評價準則來評定組合預測的精度和準確度[11]。

(1)均方誤差(MSE)

(16)

(2)預測誤差平方和(SSE)

(17)

(3)平均絕對誤差(MAE)

(18)

(4)平均絕對百分比誤差(MAPE)

(19)

(5)均方百分比誤差(MSPE)

(20)

4 實例及分析

某市的一段高速公路于2012年6月建成，為了解其軟土路基沉降變化情況，在道路兩側及中間布設沉降監(jiān)測點。按一定周期監(jiān)測其沉降量。

本文采用沉降變化顯著的監(jiān)測點作為研究對象，取其初始階段的19期數(shù)據(jù)進行擬合、預測，其中選取前15期數(shù)據(jù)作為模型建立的依據(jù)，對后4期數(shù)據(jù)進行預測并將其與實際監(jiān)測值對比分析。

分別采用雙曲線法及灰色預測法兩種單一模型進行擬合、預測。其兩種單一模型都是軟土路基沉降預測[12]中常用的模型。

雙曲線法的表達式：

(21)

式中：S0—原始沉降量(t=0)；St—t時刻的沉降量；t—時間間隔；α、β—由實測值求得的系數(shù)。由前15期數(shù)據(jù)可得雙曲線模型為：

St=34.48+t/(1.255+0.03t)。據(jù)得出的表達式，計算監(jiān)測點每期的沉降數(shù)據(jù)。前15期數(shù)據(jù)擬合值如表1所示，后4期數(shù)據(jù)預測值如表2所示。

單一模型擬合值與實際值對比 表1

單一模型預測值與實際值對比 表2

根據(jù)預測方法的預測精度及對應的預測值可組成二維數(shù)組，，…，t=1，2，…15，根據(jù)式(2)可計算各時刻IOWGA算子的組合預測值。據(jù)式(14)可得基于對數(shù)灰關聯(lián)度的組合模型表達式為：

解算上述非線性規(guī)劃問題，可得：

l1=0.7762，l2=0.2238

表明建立組合模型時，預測精度高的模型權值為 0.776 2，精度低的模型權值為 0.223 8。

由表1和表2的數(shù)據(jù)結果可知，各單一模型的預測精度時高時低，都包含有用信息，故建立組合模型時，不可依據(jù)模型種類賦權，應根據(jù)模型各時刻擬合、預測的精度賦權。根據(jù)式(3)，可得出各時刻組合預測值如表3所示。

組合預測值 表3

根據(jù)單一模型及組合模型的殘差信息計算各預測模型的精度評價指標值如表4、表5所示。

模型擬合精度評價指標 表4

模型預測精度評價指標 表5

根據(jù)表1、表2、表3中的數(shù)據(jù)繪制擬合、預測曲線圖如圖1所示。

圖1 模型預測曲線圖

由表1、表2、表3和圖1可知，組合模型的預測值更接近實測值，曲線預測趨勢與實測值曲線更吻合，更加符合實際情況。由表4、表5模型精度評價值可知，組合模型擬合、預測階段的誤差評價值均小于單一模型，表明組合模型能有效提高預測精度。

單一模型在不同時刻精度有高有低，表明每一個單一模型都包含有沉降量的有用信息。實例表明，基于對數(shù)灰關聯(lián)度及IOWGA算子的組合預測方法，充分考慮到在不同時間節(jié)點單一模型預測精度不同的特點，并以對數(shù)灰關聯(lián)度為建模準則，此種建模方法能夠有效利用各模型的有用信息。

計算單一模型及組合模型的對數(shù)關聯(lián)度值分別為：γ1=0.882 6，γ2=0.699 1，γIOWGA=0.910 5。由最優(yōu)組合模型的定義可知，組合模型為優(yōu)性組合。

5 結 論

(1)基于對數(shù)灰關聯(lián)度及IOWGA算子的組合模型依據(jù)各時刻的擬合、預測精度進行有序賦權，克服了傳統(tǒng)方法的缺陷，提高了預測精度，有效利用了模型的有用信息。實例證明，由此建立的組合模型的預測值更接近實際值。

(2)對數(shù)灰關聯(lián)度是相關性指標的一種，將它作為優(yōu)化準則不僅豐富了模型組建方法而且具有可行性。

(3)模型評價準則是組合模型的重要一方面，本文介紹的幾種模型評價準則能全面反應模型預測效果的好壞。

(4)由優(yōu)性判定準則可知，組合模型的對數(shù)灰關聯(lián)度值最大，表明由此建立的組合模型是優(yōu)性組合模型。

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Based on Combined Forecasting Methods and Application of Gray Association and IOWHA Operators

Hu Weiquan1，Ge Wei1，Tang Xu2，Xu Changhong1，Cui Xiao1

(1.Ningbo Institute of Surveying & Mapping，Ningbo 315042，China； 2.The University of Nottingham Ningbo China，Ningbo 315100，China)

The traditional combination of modeling guidelines for single weights fixed defects，citing the optimal weighted combination of theoretical modeling，the induced ordered weighted geometric mean (IOWGA) operator based on the combination of gray association study a combination of an improved model IOWGA operator. Its core idea is based on gray association guidelines，each time fitting based on a single model，the level of accuracy of prediction orderly empowerment. Excellent article on composition and method for determining the effect of a combination of model predictive evaluation criteria also studied. The combined model is applied to Ningbo City，a subgrade settlement prediction，and achieved good results，to improve the prediction accuracy，to verify the validity of the model.

on the gray association；IOWHA operator；combined model；predict settlement

1672-8262(2017)01-129-06

O221，TU196

A

2016—08—31 作者簡介：胡文權(1988—)，男，助理工程師，主要從事城市基礎測量及數(shù)據(jù)處理工作。 基金項目：寧波市自然科學基金(2015A610116)