圓心設(shè)站測設(shè)平曲線的精度分析

羅清松，王濤，盧燚

(1.四川化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程系，四川 瀘州 646005； 2.瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系，四川 瀘州 646005)

圓心設(shè)站測設(shè)平曲線的精度分析

羅清松1*，王濤2，盧燚1

(1.四川化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程系，四川 瀘州 646005； 2.瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系，四川 瀘州 646005)

圓心設(shè)站測設(shè)曲線是近年提出來的道路平曲線測設(shè)方法。基于檢驗該方法測設(shè)結(jié)果的可靠性，對不同精度等級全站儀使用該方法測設(shè)道路平曲線的測設(shè)結(jié)果進行分析，其結(jié)果表明圓心設(shè)站測設(shè)曲線的精度完全滿足現(xiàn)行規(guī)范所規(guī)定的樁位限差要求。

曲線測設(shè)；圓心設(shè)站；平曲線；精度分析

1 引 言

圓心設(shè)站測設(shè)平曲線是由文獻[1]提出的，針對自由設(shè)站極坐標法測設(shè)曲線的一種特殊情況，它是在平曲線圓心上架設(shè)全站儀采用極坐標法一次性完成平曲線的測設(shè)。它不需要自由設(shè)站測設(shè)曲線方法中的坐標轉(zhuǎn)換，而是通過兩次余弦定理和一次正弦定理，建立一個數(shù)學(xué)模型從而計算出放樣的極角和極距，大大減少了計算的工作量。相比其他放樣方法，偏角法存在誤差積累，切線支距法、弦線支距法計算復(fù)雜，使用麻煩，工作量大的特點[2]，圓心設(shè)站測設(shè)曲線的方法具有獨特的優(yōu)勢，例如該方法所用公式具有規(guī)律性，適合計算機及計算器編程；由于放樣各相鄰點之間沒有聯(lián)系，所以放樣點之間沒有誤差積累，提高了放樣點的點位精度。因而本文對該方法放樣精度進行研究，通過不同精度等級的全站儀使用圓心設(shè)站測設(shè)道路平曲線的精度進行分析，驗證該方法測設(shè)結(jié)果是否滿足相關(guān)規(guī)范中的有關(guān)要求。

2 圓心設(shè)站測設(shè)平曲線原理

文獻[1]中所述的圓心設(shè)站測設(shè)平曲線的方法，即為全站儀在圓心上設(shè)站，然后通過后視ZH點(或HZ點)，轉(zhuǎn)角一定的角度(極角μi)，定向后再距離放樣一定的距離(極距di)，則可確定平曲線的中樁點Pi位置，如圖1所示。

圖1 圓心設(shè)站測設(shè)平曲線原理

在圓心設(shè)站放樣帶有緩和曲線的平曲線中樁位置時，將放樣元素計算分為緩和曲線和圓曲線兩部分。其中緩和曲線放樣元素(極距和極角)為：

μi=arcsin(GPisinηi/OPi)

圓曲線放樣元素(極距和極角)為：

di=OPi=R

其中對GO、GPi、ηi、∠OGV的計算已由文獻[1]中做出相應(yīng)介紹，在此不闡述。li為ZH(HZ)點到Pi點的長度，l0為緩和曲線長度，L為曲線總從長度，R為圓曲線半徑。

3 圓心設(shè)站測設(shè)平曲線的精度分析

3.1 極坐標法測設(shè)圓心點精度分析

圓心設(shè)站測設(shè)平曲線的精度分析實質(zhì)為全站儀兩次采用極坐標法放樣圓心點和平曲線中樁點位的縱向和橫向偏差大小的分析。

在放樣圓心點時，可采用極坐標法、雙測站前方交會法等方法進行測設(shè)。本文選擇放樣精度相對較低的極坐標法進行精度分析及參與后續(xù)計算。

如圖2，JD點往往是已知的。如果在JD點架設(shè)全站儀，則可后視平曲線起點(ZH點)或端點(HZ點)，然后根據(jù)現(xiàn)場情況左轉(zhuǎn)或右轉(zhuǎn)180°-α/2(β角，見圖2)，距離放樣R+E便可得出圓心點。當然如果現(xiàn)場有其他控制點，也可以將該控制點作為后視點，極角或極距則可通過簡單的計算得出。

圖2 圓心設(shè)站測設(shè)平曲線精度分析

設(shè)JD點坐標為(XJYJ)、ZH點坐標為(XKYK)、圓心O的坐標為(X0Y0)，JO邊的方位角為αJO，β=(180°-α)/2，D=R+E，如圖1，則：

(1)

將式(1)求全微分得：

(2)

上式由誤差傳播定律可得：

(3)

式中：mX0、mY0——放樣圓心點縱向、橫向誤差；

mD——測距中誤差，即全站儀的標稱測距精度；

mαJO——即全站儀的標稱測距精度mβ；

ρ=206265″

3.2 圓心設(shè)站測設(shè)平曲線的誤差分析

假設(shè)本次放樣(包括平曲線圓心和平曲線中樁點放樣)使用的全站儀標稱測角精度為mβ，標稱測距精度為mD，則由上文放樣圓心點中誤差推導(dǎo)公式可知：

(4)

式中：mXPi、mYPi、mPi——平曲線中樁點Pi縱向誤差、橫向誤差、點位中誤差；

αJO、αOPi——JD點到圓心點、圓心點到平曲線放樣點的方位角；

mdi——全站儀標稱測距精度(式中mD=mdi)；

mαOPi——全站儀標稱測角精度mμi(式中mαJO=mαOPi=mμi)。

4 不同精度等級全站儀測設(shè)精度計算分析

當我們對某個量進行觀測時，總是會受到對中誤差、操作誤差、測角誤差、測距誤差、頻率誤差、大氣折光和地球曲率等的影響。這些影響中的每一個都會引起基本誤差項，而某個量總的測量誤差則是這些影響引起的基本誤差項的總和。如果每個基本誤差項對其總和的影響是均勻的小，那么對某個量進行測量的誤差是服從正態(tài)分布的隨機變量。按照測量誤差理論[4]“絕對值大于二倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率為4.5%，特別是絕對值大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率僅為0.3%”的特性，工程實踐中常取2倍中誤差為測量的樁位偏差。則式(4)可整理為：

(5)

平曲線中樁樁位誤差由圓心點誤差和極坐標法放樣平曲線誤差累積而來，由式(5)可知，影響平曲線放樣點誤差的因子有JO的方位角和長度，OPi的方位角和長度。考慮到平曲線放樣點中誤差影響因子較多，為了便于分析，本文將測設(shè)圓心點的縱橫向誤差的最大值引入平曲線中樁樁位誤差公式中進行分析。文獻[3]和文獻[6]都提出了，放樣點誤差隨著極距的增大而增大，為了控制放樣點誤差，極坐標法放樣距離應(yīng)控制在 500 m以內(nèi)。則選取極距為 500 m，引用該情況下不同精度等級全站儀放樣出的圓心點的縱向和橫向誤差最大值進行后續(xù)分析。依據(jù)《公路勘測規(guī)范》對光電測距儀器的分級標準和當前公路建設(shè)單位常用全站儀類型和精度指標，通過式(3)(D=500 m)可計算出不同精度等級全站儀隨著方位角的變化測設(shè)出的圓心點縱向和橫向偏差(誤差)最大值，如表1所示[6]。

不同精度等級全站儀放樣圓心點的縱向、橫向最大誤差計算結(jié)果 表1

結(jié)合式(5)、表1可得出放樣點Pi的橫向和縱向誤差應(yīng)有以下關(guān)系：

(6)

此處便將(6)式的“小于”號默認為“等于”號(即圓心點縱向和橫向誤差取其最大值)進行后續(xù)分析，則通過該式可以導(dǎo)出不同精度等級的全站儀采用圓心設(shè)站法測設(shè)平曲線的樁位縱向和橫向誤差(偏差)計算公式，如表2所示。

圓心設(shè)站放樣平曲線樁位的縱向和橫向誤差計算公式 表2

從表2的計算公式中可以看出，影響平曲線樁位的縱向和橫向誤差的因素便縮減為兩個，分別為平曲線放樣的測設(shè)距離和方位角。則選取不同的測設(shè)距離和方位角大小計算出不同精度等級全站儀測設(shè)中樁樁位時的縱橫向允許誤差、樁位點位中誤差與測設(shè)距離、方位角間的關(guān)系，如圖3～圖6(圖中X軸為方位角(弧度制)，Y軸為測設(shè)距離(極角)，Z軸為誤差大小)。

《公路勘測規(guī)范》中對放樣點點位及縱向和橫向限差有明確的規(guī)定(以平原微丘高速公路、一級公路為例)，樁位限差不應(yīng)超過以下規(guī)定：

中樁位置中誤差：±5cm

圖3 Ⅰ級全站儀(mD≤±2 mm，mβ≤±1″)測設(shè)平曲線樁位誤差分布

圖4 Ⅰ級全站儀(mD≤±5 mm，mβ≤±2″)測設(shè)平曲線樁位誤差分布

圖5 Ⅰ級全站儀(mD≤±5 mm，mβ≤±5″)測設(shè)平曲線樁位誤差分布

圖6 Ⅱ級全站儀(mD≤±10 mm，mβ≤±5″)測設(shè)平曲線樁位誤差分布

橫向誤差：±5 cm

則從圖3～圖6可以得出：

①表3是根據(jù)圖3～圖6的統(tǒng)計所得。按《公路勘測規(guī)范》規(guī)定的限差要求，使用圓心設(shè)站測設(shè)平曲線時，Ⅰ級全站儀(mD≤±5 mm，mβ≤±5″)的測設(shè)距離應(yīng)控制在 700 m以內(nèi)，Ⅱ級全站儀(mD≤±10 mm，mβ≤±5″)測設(shè)距離應(yīng)控制在 600 m以內(nèi)。但如果使用Ⅰ級全站儀(mD≤±5 mm，mβ≤±2″及mD≤±2 mm，mβ≤±1″)則測設(shè)距離可達 1 km以上，考慮到在使用儀器中其他誤差的影響，也完全能夠滿足《公路勘測規(guī)范》中的各項限差要求。

圓心設(shè)站放樣平曲線中樁誤差統(tǒng)計 表3

②隨著測設(shè)方位角的增大，樁位縱向誤差變化具有余弦函數(shù)規(guī)律；樁位橫向誤差具有正弦函數(shù)規(guī)律。但隨著測設(shè)邊長的增加正余弦函數(shù)的振幅將變小。不同精度等級全站儀有個不同的測設(shè)距離，使得縱橫向誤差的振幅將變得一樣，此時，樁位的縱橫向誤差不受方位角大小的影響，因而為了減少方位角測設(shè)誤差的影響，Ⅰ級全站儀(mD≤±2 mm，mβ≤±1″)、Ⅱ級全站儀(mD≤±10 mm，mβ≤±5″)測設(shè)距離在 400 m左右為宜，Ⅰ級全站儀(mD≤±5 mm，mβ≤±2″)測設(shè)距離在 500 m左右為宜，Ⅰ級全站儀(mD≤±5 mm，mβ≤±5″)測設(shè)距離在 200 m左右為宜。

5 結(jié) 論

本文對圓心設(shè)站測設(shè)道路平曲線的測設(shè)精度進行了分析，結(jié)果表明只要正確規(guī)范的使用不同精度等級的全站儀，圓心設(shè)站法測設(shè)道路平曲線樁位的各項誤差便能完全符合《道路勘測規(guī)范》的限差要求。因而該方法在合適的施工條件下，值得推廣。

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Accuracy Analysis of Surveying and Designing the Curve on the Center

Luo Qingsong1，Wang Tao2，Lu Yi1

(1.Department of Information Engineering，Sichuan Vocational College of Chemical Technology，Luzhou 646005，China； 2.Department of Architecture，Luzhou Vocational Technical College，Luzhou 646005，China)

Surveying and designing the curve on the center is proposed in recent years. Surveying the results of the test method based on reliability，this article indicates that different accuracy obtained in surveying of horizontal curve can meet fully the requirements form of error stipulated in current edition of specifications.

arrangement of curve；survey on the center；horizontal curve；accuracy analysis

1672-8262(2017)01-111-05

P258

B

2016—07—07 作者簡介：羅清松(1990—)，男，助理工程師、助教，研究方向：工程測量、攝影測量等。