“三位數(shù)的連續(xù)退位減法”教學(xué)研究報(bào)告

文︳長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)第一小學(xué)數(shù)學(xué)組瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

“三位數(shù)的連續(xù)退位減法”教學(xué)研究報(bào)告

文︳長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)第一小學(xué)數(shù)學(xué)組瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

一、問題

人教版三年級(jí)上冊(cè)第四單元“三位數(shù)的連續(xù)退位減法”是學(xué)生在學(xué)習(xí)了兩位數(shù)減兩位數(shù)的退位減法和整百、整十的三位數(shù)減三位數(shù)的減法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容，同時(shí)它也是減法教學(xué)的節(jié)點(diǎn)。通讀教材，把握教學(xué)要求，我們認(rèn)為這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：不但要求學(xué)生從兩位數(shù)減法的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)學(xué)習(xí)三位數(shù)的減法，而且要求學(xué)生掌握減法計(jì)算的通法，進(jìn)行多位數(shù)的減法計(jì)算。從教材編排上看，三位數(shù)的減法只是將原有的兩位數(shù)改成三位數(shù)而已，看似非常簡(jiǎn)單的一個(gè)內(nèi)容，學(xué)生在計(jì)算時(shí)卻頻繁出錯(cuò)，這種情況一直困擾著眾多教師。是什么原因使得學(xué)生在計(jì)算中頻繁出錯(cuò)呢？我們又該如何幫助學(xué)生解決計(jì)算中遇到的問題，切實(shí)提高計(jì)算技能呢？為此，我們數(shù)學(xué)組針對(duì)這一內(nèi)容進(jìn)行了一些思考與實(shí)踐。

1.教學(xué)實(shí)踐中的問題與原因分析

為了切實(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，以及在計(jì)算中存在的問題，我們從三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了64名學(xué)生進(jìn)行了教學(xué)前測(cè)，以下是前測(cè)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)表。

題次題目計(jì)算正確粗心忘記退位①435-322 98.4% 1.6%②654-128 78.1% 9.4% 7.8% 4.7%③435-86 68.8% 6.3% 20.2% 4.7%④403-158 40.6% 1.6% 43.8% 14%計(jì)算錯(cuò)誤會(huì)算理，計(jì)算錯(cuò)誤不會(huì)算理，計(jì)算錯(cuò)誤

從調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，學(xué)生在未學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時(shí)，三位數(shù)不退位的減法計(jì)算正確率是98.4%，然而在三位數(shù)退一位的減法計(jì)算時(shí)，正確率下降到78.1%，特別是被減數(shù)中間有0的連續(xù)退位減法計(jì)算，正確率僅為40.6%。通過對(duì)學(xué)生的問卷進(jìn)行分析，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要存在以下兩個(gè)問題。

（1）學(xué)生忘記退位。

計(jì)算435－86時(shí)，個(gè)位上的5不夠減，需要向十位上的3借1當(dāng)作10，與個(gè)位上的5合成15，再減6，個(gè)位上得9。計(jì)算十位時(shí)，十位上的3被個(gè)位上的5借去了1，十位上的3先減1，剩下2，2不夠減時(shí)，又要向百位上的4借1當(dāng)作10，和十位上的2合成12，再減8，十位上得4。百位上的4被十位借去了1，百位上是3，所以得數(shù)是349。在計(jì)算435－86=349的過程中，十位的計(jì)算最復(fù)雜，經(jīng)歷了減1（被個(gè)位上的5借去1），在十位上加10（向百位借1）的復(fù)雜過程。學(xué)生在計(jì)算的過程中很容易忘記十位上的3被個(gè)位上的5借去1，十位上沒有先減1就直接計(jì)算，于是出現(xiàn)了如圖1所示的忘記退位的情況。

圖1

在計(jì)算連續(xù)退位減法時(shí)，學(xué)生忘記退位的根本原因是：十位上的退位思維程序復(fù)雜，而且這種思維程序均不能直觀地表示出來，除了用退位點(diǎn)表示后一位借走的1，其他思維過程都需要在大腦中記憶。尤其是看到十位上帶有借位點(diǎn)的3在心里卻要當(dāng)作2才行，這種“表里不一”的現(xiàn)象使得學(xué)生在計(jì)算的過程中很難做到知行合一，因而容易出錯(cuò)。

（2）錯(cuò)誤定義“跨位借”。

計(jì)算403－158時(shí)，個(gè)位上的3不夠減，需要向十位借1，而十位恰好是0時(shí)，學(xué)生很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。計(jì)算個(gè)位時(shí)，學(xué)生認(rèn)為十位上的0表示一個(gè)也沒有，個(gè)位無法向十位借到1，于是索性向百位上的4借1。借得百位上的1又恰與二年級(jí)“借1當(dāng)10”的經(jīng)驗(yàn)相吻合，學(xué)生于是將百位上借得的1與個(gè)位上原有的3合成13，再減8，個(gè)位上得5。計(jì)算十位時(shí)，十位上是0，也不夠減，十位上的0也向百位上的4借1，十位上的0與百位上借得的1合成10，再減5，十位上得5。百位上的4被個(gè)位和十位都借去了1，所以百位上只剩下2，再減1，百位上得1。這樣一來，學(xué)生在計(jì)算時(shí)出現(xiàn)了如圖2所示的“跨位借”情況。

圖2

學(xué)生出現(xiàn)“跨位借”的主要原因是：學(xué)生不僅不知道如何處理這類十位上是0的情況，還受到二年級(jí)已經(jīng)有的“借位”和“借1當(dāng)10”經(jīng)驗(yàn)的影響，并不知道“借1當(dāng)10”的意義。“借1當(dāng)10”指的是個(gè)位不夠減時(shí)，向十位借得1，就在個(gè)位上加10；當(dāng)十位不夠減時(shí)，十位向百位借得1，就在十位上加10。而并非這類學(xué)生所想的，個(gè)位跨過十位直接向百位借得的1，在個(gè)位上也只當(dāng)作10，卻不知道百位上的1表示10個(gè)十或是100個(gè)一。正是因?yàn)槎昙?jí)“借1當(dāng)10”經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移，學(xué)生才出現(xiàn)了這類“跨位借”的錯(cuò)誤。

2.教學(xué)對(duì)策

通過以上分析，我們不僅了解了學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，還掌握了學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題。因此，在本節(jié)課的教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問題——

（1）在學(xué)生已有的兩位數(shù)減法計(jì)算經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上進(jìn)行三位數(shù)的減法學(xué)習(xí)。

在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生學(xué)習(xí)了兩位數(shù)減兩位數(shù)的退位減法以及整百、整十的三位數(shù)減三位數(shù)的減法，能熟練地列豎式計(jì)算，有了退位減法計(jì)算及“借1當(dāng)10”的經(jīng)驗(yàn)。因此，在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，遷移學(xué)習(xí)三位數(shù)的減法，這樣既可以降低本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的難度，又能夠溝通三位數(shù)減法與兩位數(shù)減法之間的聯(lián)系，讓學(xué)生進(jìn)一步理解減法計(jì)算之間的通性，也為后續(xù)學(xué)習(xí)多位數(shù)的減法打好鋪墊。

（2）總結(jié)口訣，提醒學(xué)生不要忘記退位。

為了解決學(xué)生在計(jì)算連續(xù)退位減法時(shí)總是忘記退位而頻繁出錯(cuò)的問題，實(shí)際教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生經(jīng)歷連續(xù)退位減法的計(jì)算過程，獲得在計(jì)算中因忘記退位導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤的教訓(xùn)；接著，教師適時(shí)創(chuàng)編口訣“頭上有點(diǎn)就減1”，提醒學(xué)生在計(jì)算過程中看到退位點(diǎn)就要退位，從而提高計(jì)算的正確率。

（3）借助直觀形象的演示，幫助學(xué)生理解“借1當(dāng)10”的意義，避免出現(xiàn)“跨位借”的現(xiàn)象。

學(xué)生有“借1當(dāng)10”的經(jīng)驗(yàn)但并不理解“借1當(dāng)10”的意義。學(xué)生在計(jì)算被減數(shù)十位上是0的三位數(shù)減法時(shí)，讓個(gè)位跨過十位向百位借1，并對(duì)“借1當(dāng)10”進(jìn)行草率的推廣，從而出現(xiàn)了“跨位借”的情況。教師直觀形象地演示個(gè)位如何向十位上的0借1的過程，能夠讓學(xué)生弄清楚“借1當(dāng)10”的意義，避免在計(jì)算中出現(xiàn)“跨位借”的情況。

按照以上思路，我們進(jìn)行了如下的教學(xué)嘗試。

二、實(shí)踐

1.遷移兩位數(shù)減兩位數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，嘗試三位數(shù)的減法計(jì)算。

師：今天我們一起來學(xué)習(xí)筆算減法。之前我們學(xué)習(xí)了兩位數(shù)的筆算減法，考考你們，看你們掌握得怎么樣。（板書：435－18=）請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手算一算，并思考，列豎式要注意什么？該如何進(jìn)行計(jì)算？

生：列豎式時(shí)相同數(shù)位要對(duì)齊，從個(gè)位算起。

（學(xué)生獨(dú)立完成計(jì)算）

師：很多同學(xué)已經(jīng)完成了計(jì)算，我們一起來計(jì)算。首先計(jì)算個(gè)位，個(gè)位上是5減8，不夠減，怎么辦呢？

生1：向前一位借1。

師：個(gè)位向誰(shuí)借1呢？

生1：個(gè)位向十位借1。

師：在減法豎式計(jì)算時(shí)，不夠減向前一位借，為了便于記憶，我們通常使用借位點(diǎn)，表示個(gè)位向十位借了1。那個(gè)位向十位借得的1，在個(gè)位上表示多少個(gè)一呢？

生2：個(gè)位向十位借得的1，在個(gè)位上表示10個(gè)一。

師：個(gè)位向十位借得了10個(gè)一之后，個(gè)位上是多少呢？是怎么得到的？

生3：個(gè)位上是15，因?yàn)閭€(gè)位上原有5個(gè)一，又向十位借得了10個(gè)一，就合成了15個(gè)一。

師：說得真好，個(gè)位上就是15-8=7，所以個(gè)位上的得數(shù)是7。算完個(gè)位再算十位，被減數(shù)的十位上是幾呢？

生4：十位上是2。

師：我就納悶了，被減數(shù)的十位上分明是3，怎么說成是2呢？

生5：因?yàn)閭€(gè)位向十位借走了1。

師：你是怎么知道的？

生5：十位上有借位點(diǎn)。

師：是的，剛才計(jì)算個(gè)位時(shí)，個(gè)位向十位上的3借了1，就要減1，十位上只剩下2。像這種情況，我們就說要退位1。（板書：退位）十位上是2減1等于1，十位上的得數(shù)是1。接下來算百位，百位上就是4，所以435－18=417。你做對(duì)了嗎？舉手示意一下。（學(xué)生全部舉手）

師：很好，像這樣，遇到不夠減時(shí)，需要向前一位借1，本位就需要退位的減法，看來你們都會(huì)計(jì)算了。

設(shè)計(jì)意圖：由于前測(cè)的調(diào)查結(jié)果表明學(xué)生在學(xué)習(xí)三位數(shù)的減法之前已經(jīng)具備一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，完全有能力對(duì)三位數(shù)的退位減法進(jìn)行探究；且教材中小精靈的提示語(yǔ)“怎樣列豎式？”是為了讓學(xué)生回顧豎式計(jì)算時(shí)相同數(shù)位要對(duì)齊，我們?cè)诮虒W(xué)這一內(nèi)容時(shí)，對(duì)教材進(jìn)行了調(diào)整，將教材編排的例題1計(jì)算435－322改為435－18，更有利于學(xué)生理解豎式計(jì)算時(shí)相同數(shù)位要對(duì)齊這一原則。

2.總結(jié)口訣“頭上有點(diǎn)就減1”，提醒學(xué)生記得退位。

師：剛才你們已經(jīng)會(huì)計(jì)算三位數(shù)的退位減法，老師這里還有一個(gè)難度更大的計(jì)算，（板書：435－86=）你們還能像剛才那樣非常輕松地解決嗎？

學(xué)生獨(dú)立完成，教師展示學(xué)生忘記退位的典型錯(cuò)誤：435－86=359。

師：你們和他的答案相同嗎？（大部分學(xué)生搖頭表示不一樣）我們也一起算一算，如果他計(jì)算錯(cuò)誤，幫他找找錯(cuò)誤的原因，好嗎？

師：列豎式要注意，相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位算起。個(gè)位上是5減6，不夠減，怎么辦呢？

生6：得向十位借1。十位上的1與個(gè)位上原來的5合成15，個(gè)位就是15－6=9，個(gè)位上的得數(shù)是9。

師：很好，再算十位，十位上又怎么算？

生7：十位是2，2減8不夠減，得向百位借1再計(jì)算。

師：請(qǐng)等一下，十位上分明是3，為什么你說是2？

生7：因?yàn)閭€(gè)位向十位借了1，十位需要退位，所以十位就是3－1=2。

師：哦，是的。十位上的退位點(diǎn)提醒我們需要退位。十位上是2減8又不夠減，得向百位借1再計(jì)算。究竟怎么算呢？

生8：十位向百位借得1，與十位上原有的2合成12。十位上就是12－8=4，所以十位上的得數(shù)是4。

師：最后就得計(jì)算百位了，百位上怎么計(jì)算？

生9：百位上是3。

師：你是怎么知道的？說說你的理由。

生9：百位上的4退位1，就是3。

師：通過剛才的計(jì)算，我們可以得到435－86= 349。現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們幫剛才這位結(jié)果是359的同學(xué)找找看，他錯(cuò)在哪里了，并幫他找到出錯(cuò)的原因。

生10：他計(jì)算時(shí)十位上出錯(cuò)了。個(gè)位向十位借了1，十位上忘記退位了。

師：是的，我們?cè)谟?jì)算過程中一定要記得退位。剛才老師說，計(jì)算435－86比計(jì)算435－18難，你覺得難在哪里？

生11：在計(jì)算435－86時(shí)，個(gè)位和十位均需要向前一位借1。

師：說得很好，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的連續(xù)退位減法。（板書課題：連續(xù)退位減法）你們都知道怎樣計(jì)算連續(xù)退位減法了嗎？請(qǐng)你們動(dòng)筆試一試。

板書：

844－21353－123354－66480－85

133－74261－52278－75406－102

（學(xué)生獨(dú)立練習(xí)并核對(duì)答案）

師：大家都算對(duì)了嗎？你們有沒有發(fā)現(xiàn)，我們?nèi)菀壮鲥e(cuò)的都是這些需要退位的地方。（學(xué)生點(diǎn)頭表示同意）那老師教你一個(gè)小竅門，掌握了它，估計(jì)你以后就再也不會(huì)出錯(cuò)了。在計(jì)算時(shí)一看到這些數(shù)字頭上有借位點(diǎn)，馬上減1。也就是“頭上有點(diǎn)就減1”。

設(shè)計(jì)意圖：主動(dòng)暴露學(xué)生的錯(cuò)誤，加深學(xué)生對(duì)這一錯(cuò)誤的印象，再通過總結(jié)口訣“頭上有點(diǎn)就減1”強(qiáng)化正確的退位方式。

3.計(jì)數(shù)器直觀演示個(gè)位如何借1。

師：剛才我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了連續(xù)退位減法，不知道你們掌握得怎么樣，我這里有一個(gè)比較難的問題想考考你們。（板書：403－158）

（生獨(dú)立計(jì)算，師展示錯(cuò)誤答案：403-158=255）

師：這位同學(xué)的計(jì)算正確嗎？我們也一起來算一算。豎式計(jì)算要注意相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位算起，個(gè)位上是3減8，不夠減，怎么辦呢？

生12：得向十位借1。

師：向十位借1，會(huì)遇到困難嗎？十位能借到嗎？

生12：借不到。

師：是啊！十位上是0，那怎么辦呢？

生13：可以向百位借。

師：百位上不是0，那肯定能借到。那從百位借1之后，十位上是幾呢？

生：10、9。

師：到底是幾呢？我們可以借助計(jì)數(shù)器幫助理解。（計(jì)數(shù)器演示：個(gè)位不夠減，向十位借；十位是0，向百位借，十位向百位借1，百位退1，十位加10，如圖3、圖4）現(xiàn)在十位上有10個(gè)十了，可以借給個(gè)位了，借1給個(gè)位，十位上是幾呢？接下來該怎么算？

圖3

圖4

生14：十位上是9。個(gè)位從十位借1，與個(gè)位上的3合成13，（師演示，如圖5）13－8=5，個(gè)位上的得數(shù)就是5。十位上就是9－5=4。

圖5

師：算得很對(duì)。那百位上該怎么算呢？結(jié)果是多少？

生15：百位上是3－1=2。所以正確的答案是245。

師：很好，現(xiàn)在請(qǐng)大家觀察一下，剛才老師說“頭上有點(diǎn)就減1”，那0上有點(diǎn)就是幾呢？

生16：0上有點(diǎn)就是9。

師：是的，0上有點(diǎn)看作9。（板書）其實(shí)，不僅需要看作9，還要記得向前一位借1。

設(shè)計(jì)意圖：在教學(xué)被減數(shù)中間有0的減法時(shí)，學(xué)生學(xué)會(huì)如何處理被減數(shù)中間有0的情況并理解“借1當(dāng)10”的意義是本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)。教師利用計(jì)數(shù)器進(jìn)行直觀演示，使學(xué)生清楚地看到個(gè)位如何向十位上的0借得1的過程，理解“借1當(dāng)10”的意義，從而避免出現(xiàn)“跨位借”的現(xiàn)象。

三、討論

1.對(duì)總結(jié)口訣的思考。

在連續(xù)退位減法的教學(xué)中，很多學(xué)生很難做到知行合一，因忘記退位而頻繁出錯(cuò)，因此老師們會(huì)創(chuàng)編計(jì)算口訣，利用這些口訣提醒學(xué)生退位，從而提高學(xué)生的計(jì)算正確率。我們?cè)诮虒W(xué)本節(jié)內(nèi)容時(shí)，為了避免學(xué)生忘記退位導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤，也創(chuàng)編了“頭上有點(diǎn)就減1”的口訣，從而提醒學(xué)生要退位。從教學(xué)效果來看，學(xué)生的正確率得到了提高。由此可以看出，運(yùn)用口訣輔助教學(xué)有利于化解教學(xué)中的一些難點(diǎn)問題。

但是，有些口訣缺乏延續(xù)性，使得學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生誤解。在教學(xué)三位數(shù)的連續(xù)退位減法時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了“跨位借”的情況，我們從教材及教師的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)“跨位借”的原因是，學(xué)生在二年級(jí)學(xué)習(xí)兩位數(shù)退位減法時(shí)，教師過于強(qiáng)調(diào)“不夠減就向前一位借1”和“借1當(dāng)10”，使學(xué)生形成了思維定式。

綜上所述，口訣對(duì)計(jì)算教學(xué)而言，可以化解一些教學(xué)難點(diǎn)，同時(shí)也存在一定的缺陷。當(dāng)學(xué)生因?yàn)榭谠E的負(fù)遷移產(chǎn)生錯(cuò)誤時(shí)，我們不能一味地責(zé)怪學(xué)生，而應(yīng)該關(guān)注教材，研究學(xué)生學(xué)過哪些與之關(guān)聯(lián)的知識(shí)，思考教師在教這些關(guān)聯(lián)知識(shí)時(shí)的教學(xué)路徑，進(jìn)而從中尋找出解決問題的方法。

不僅在計(jì)算教學(xué)中如此，在人教版教材三年級(jí)上冊(cè)第15頁(yè)例題4（如圖6所示）用加法估算解決問題的教學(xué)中，學(xué)生也不會(huì)使用估算正確地解答（如圖7所示）。我們從教材及教師的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不會(huì)將239估算成230的根本原因是，教師在教學(xué)二年級(jí)下冊(cè)第91頁(yè)例題10中過于強(qiáng)調(diào)用四舍五入法求近似數(shù)。諸如此類問題，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)引起重視。

圖6

圖7

2.計(jì)算教學(xué)需要注意的兩個(gè)問題。

（1）正確看待問題情境在計(jì)算教學(xué)中的價(jià)值。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求學(xué)生能夠結(jié)合具體情境，解決實(shí)際問題。創(chuàng)設(shè)一個(gè)好的問題情境引入教學(xué)無疑是有利于教學(xué)的，但是在計(jì)算教學(xué)中，有些老師一味地渲染問題情境，致使學(xué)生提出了很多與本節(jié)課教學(xué)無關(guān)的問題。教師在處理這些無關(guān)問題時(shí)沖淡了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)“如何計(jì)算”，降低了教學(xué)效率。也有教師將計(jì)算教學(xué)重點(diǎn)傾向于問題解決，花費(fèi)大量的時(shí)間從情境中得出一個(gè)算式，脫離了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)“如何計(jì)算”。綜上所述，在計(jì)算教學(xué)中，情境一定要為教學(xué)服務(wù)，不能因?yàn)閯?chuàng)設(shè)情境而脫離教學(xué)目標(biāo)。

（2）計(jì)算教學(xué)中應(yīng)保證學(xué)生有充足的練習(xí)時(shí)間。

計(jì)算是一種技能，是需要時(shí)間來訓(xùn)練的。在計(jì)算教學(xué)中，給學(xué)生留有充足的時(shí)間進(jìn)行課堂練習(xí)是很有必要的。在教學(xué)中，教師該怎樣才能勻出充足的時(shí)間給學(xué)生練習(xí)呢？事實(shí)上，在教學(xué)某些重難點(diǎn)內(nèi)容時(shí)，當(dāng)學(xué)生無論如何都探究不好時(shí)，教師應(yīng)充分發(fā)揮其主導(dǎo)作用，以通俗的講解代替學(xué)生的合作探究，這樣便可以節(jié)約大量的時(shí)間，將勻出的時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)，從而達(dá)到良好的教學(xué)效果。

（執(zhí)筆：高業(yè)波、李暉、劉慧、羅鳳、易楊、徐旺、李闖）