壩基面受力狀態的有限元計算誤差影響分析

程帥+李守義+司政+杜占科+李萌+郝曉飛

摘要：有限元數值計算在水利工程中運用廣泛，其計算精度和計算誤差是需要考慮和控制的重要問題，對其進行研究可為有限元法在水利設計和復核中提供技術支撐。以重力壩為研究載體，根據壩體荷載合力值與有限元計算的壩基面內力值（壩基面應力積分值）的平衡條件，分析有限元應力計算誤差的影響因素，提出減小誤差的措施。研究結果表明：在同一受力狀態下，提取應力的對象不同計算誤差不同，需針對所研究的問題及誤差控制要求合理選擇相應提取應力的對象；將緊接壩體的薄層地基保持與壩體相同的模型尺寸和約束條件，可充分減小壩基面有限元應力計算誤差；合理選擇模型網格尺寸、地基模擬范圍、應力提取路徑的條數、提取點間距，可在不消耗過量的計算資源和時間下滿足精度要求。研究成果可為控制類似結構的有限元計算誤差提供參考。

關鍵詞：水工結構工程；有限元法；誤差分析；壩基面；受力狀態

中圖分類號：TV314文獻標志碼：A文章編號：1672-1683（2017）01-0179-07

Abstract：Finite element numerical calculation is widely used in hydraulic engineering.Its accuracy and error is one of the important problems that need to be considered and controlled.Studies on this issue can provide technical support for the FEM in the design and check of hydraulic engineering.Gravity dam was used as the object of research.The factors influencing the error in finite element stress calculation were analyzed by comparing the resultant load value of the gravity dam with the internal force value of the dam base surface from finite element calculation （integral value of stress of dam base surface）.The results showed that extracting the stress from different objects results in different finite element calculation error，even under the same stress state.It is necessary to select the proper object to extract the stress from according to the research goal and error control requirements.The error can be greatly reduced by making the thin-layer foundation adjacent to the dam the same size and in the same constraint condition as the dam body.Proper determination on mesh size，simulation range of foundation，number of paths to extract the stress，and spacing of extracting points can meet the required precision without overly consuming resources or time.The results can provide reference for controlling the finite element calculation error in similar projects.

Key words：hydraulic structure engineering；finite element method；error analysis；dam base surface；forced state

隨著計算機技術及數值分析方法的迅速發展，有限元數值計算在各個領域得到了越來越廣泛的應用[1-2]。近幾年，有限元法在水利工程中正發揮著重要作用，特別是大中型水利工程中有限元的應用已經相當廣泛[3-5]。目前，對于復雜水利工程中的有限元計算結果，在沒有試驗數據和標準答案的情況下，如何判斷其正確性，如何用所掌握的信息對設計進行完善和修正，如何控制其計算精度和計算誤差，這些問題沒有得到很好的解決。這也是為何至今利用有限元軟件進行有限元分析的水工建筑物或水力模型僅作為水利工程設計參考和復核，并未給出設計或檢驗標準的原因之一。

影響有限元計算精度的因素很多，Jin[4]，Mirzabozorg[5]，Kennedy[6]，Natarajan[7]等都針對提高有限元計算精度開展了很多研究。國內已有學者對其中的部分因素進行了探討。虞皓影[8]、張國新[9]等在利用有限元分析結構穩定性中指出邊界計算范圍、應力積分方法等因素對計算結果影響較為敏感，并各自提出了減小有限元計算誤差的方法。鄒超英等[10]通過對拱壩進行應力分析，研究了有限元單元類型、自由度數量、單元階次等因素與能量誤差的關系。網格密度也是一個影響計算精度的因素，李濤等[11]、章春亮等[12]等指出，有限元求解模型中所有關鍵性區域的網格劃分水平決定整個有限元模型的計算結果精度，理論上單元數量的增多，結果的精確度就會提高，并收斂于真實解。單元類型及網格劃分方法對有限元計算精度也有一定影響，姬賀炯等[13]、Cavin等[14]、張麗媛等[15]分別對這些因素進行了研究，為相應結構的有限元計算誤差提供了理論依據。然而，對于大體積水工結構的模擬，網格劃分過密，會消耗大量的資源和時間，需確定相應網格尺寸來兼顧計算效率和精度。此外，運用有限元分析結構受力狀態、穩定性等問題時，通常需要選擇整體結構中的不同對象來提取計算截面的應力，選擇不同的提取應力對象，同一受力位置的有限元計算誤差不同，而在既定的應力提取對象下應力路徑的范圍及疏密程度也會影響其計算精度。目前，在大體積水工結構的有限元計算中，針對上述幾點影響因素及誤差影響分析方面的研究甚少。

壩基面作為壩體的薄弱控制面，該部位的受力狀態對分析壩體穩定性等問題有很大影響。本文以重力壩為研究載體，根據力學平衡條件得出壩基面有限元計算結果的誤差，對同一位置不同提取應力對象下有限元計算值的偏差及其原因進行了分析，提出了減小誤差的措施，考察了網格尺寸大小、地基模擬范圍、應力路徑條數、應力點間距等因素對壩基面有限元計算誤差的影響。研究結果可為分析導墻、閘墩、廠房、擋土墻等類似工程結構的有限元計算誤差提供依據。

1 研究資料

1.1 研究對象概況

本文研究主要依托某水利樞紐工程中一重力壩壩段開展。該工程屬Ⅱ等大（2）型工程，攔河壩為混凝土重力壩，最大壩高75.97 m，壩頂寬度7.0 m，上游壩面鉛直，下游壩坡1∶0.8，最大壩底寬度60.74 m。正常蓄水位450 m，死水位440 m，下游正常尾水位405 m，壩前淤沙高程389.3 m。

1.2 荷載施加

本文在進行有限元計算時，考慮的荷載有：自重、上下游靜水壓力、揚壓力、浪壓力、泥沙壓力。

1.3 材料參數

不同材料的計算參數取值見表1。

2.1 有限元模型

本文采用ANSYS有限元軟件對某一重力壩壩段進行分析，壩段寬18 m，整體有限元計算模型包括壩體與基礎巖體。基巖的模擬范圍取矩形區域，基巖邊界值：深度方向均取152 m，約為2倍壩高，左、右岸方向與壩段同寬，上下游方向取2倍壩高（在研究地基范圍影響時分類考慮）。模型整體坐標系的原點設在壩踵右側底部，沿水流方向指向下游為X軸正方向；沿高度方向鉛直向上為Y軸正方向；垂直水流方向指向右岸為Z軸正方向。整體模型網格剖分基本采用8結點六面體實體單元，壩基緊接壩體10 m范圍內網格尺寸與壩體相同，壩基其它區域網格尺寸較大，中間10 m厚度的槽型區域通過四面體單元進行過渡。整體有限元計算模型見圖1。

2.2 計算假定

根據重力壩、廠房等類似結構的特點及其相關研究成果[16-18]，本文在三維有限元靜力計算中，做如下假定。

（1）壩段間設置有橫縫，因此各方案下壩段獨立承受荷載，壩段間無相互作用。

（2）充分考慮壩體的材料分區，在靜力計算中假定壩體混凝土是線彈性的，地基為均勻無質量彈性體，二者皆滿足彈性力學基本假定。

（3）由于橫縫作用，在計算模型中壩體兩側無約束，地基巖體上下游面及左右側面考慮法向約束，基巖底面考慮三向約束（在研究邊界約束影響時分類考慮）。

2.3 研究方法

分析截面受力狀態，需對應力進行曲面積分以得到建基面截面內力[19-21]。由以上計算模型和資料，施加荷載，得到有限元應力計算結果。選取上部壩體結構或下部地基結構作為應力提取對象，沿著壩軸線方向取N條路徑，并選定每條路徑的提取點間距，提取建基面上的法向應力和切向應力，按式（1）沿建基面進行積分后得到法向和切向力的合力。

式中：σy，τxy為提取的各點法向和切向應力；Fy，Fs為法向和切向力的合力值。

根據力學平衡原理計算出外荷載合力值與有限元計算得出的內力值作對比，按式（2）分析其相對誤差。

式中：F0為外荷載合力值；Fi為有限元計算的內力值。

采取一系列方案得到有限元計算結果，根據各方案相對誤差分析壩基面受力狀態的有限元計算誤差影響因素，研究減小誤差的措施。

3 研究內容與結果分析

3.1 提取應力對象的影響

分別選取上部壩體結構和下部地基結構為應力提取對象，提取壩基面上的法向和切向應力，積分得合力值與外荷載合力值對比，計算其相對誤差見表2。

由表2可知，有限元計算結果中，提取應力的對象不同，法向力和切向力都有所變化，且誤差不同，法向力誤差對于應力提取對象的敏感度小于切向力誤差。選擇下部地基結構作為應力提取對象計算誤差偏大，法向力誤差超過5%，切向力誤差甚至達到12.3%。在實際分析中，需合理選擇提取應力的對象，才能保證計算結果的精確性。由于壩基面部位對分析壩體穩定性等問題極為關鍵，且某些問題中必須以下部地基結構作為提取應力的對象，以下分析選擇下部地基作為提力對象時誤差過大的原因。

由地基與壩體交接面的特點可知，這種上下偏差較大的現象可能是由于材料屬性變化、模型尺寸突變、邊界約束條件的不同等因素造成的。現針對以上幾種可能的影響因素做以下六種方案進行研究：方案①：原始計算模型，材料、尺寸、邊界約束都不變；方案②：將地基的材料屬性變為與壩體相一致，其它條件不變；方案③：將地基范圍的X方向長度取為與壩體相等，其它條件不變；方案④：地基范圍不變，在緊接壩體部位一個單元厚度處地基與壩體X方向長度相等，且約束不變；方案⑤：在地基的原約束基礎上，將建基面向下一個單元厚度的地基約束去掉，使其與壩體的約束條件相一致，地基其他邊界約束不變；方案⑥：地基范圍不變，在緊接壩體部位一個單元厚度處地基與壩體X方向長度相等，且無約束，其它條件不變。各方案的模型、材料及邊界約束示意圖見圖2。

根據圖2中各種方案，建立相應的有限元計算模型，施加荷載，分別以上部壩體結構和下部地基結構作為提取應力的對象，壩基面上的法向和切向力的相對誤差計算結果見圖3。

由圖3可知，選擇下部地基結構誤差較大，其中法向力誤差在2.8%～6.5%之間，切向力誤差在0.3%～27.9%之間；選取上部壩體結構計算相對較精確，其中法向力誤差在1.7%～3.5%之間，切向力誤差在0.7%～1.5%之間。切向力誤差變幅較法向力更大，其中下部切向力誤差對方案的選取最為敏感，變幅最大。

由方案①和②可知，雖然將壩體與地基的材料屬性取為一致，但其上下切向應力值相差依然很大，下部切向力誤差都在10%以上，故造成這種誤差的原因并非材料屬性的變化所致。由方案③和④可知，兩種不同地基范圍下，在壩基面處模型尺寸均無突變，但上下切向應力相差依然很大，下部切向力誤差達到28%，可知造成這種誤差的原因并非模型尺寸突變所致。方案⑤和⑥驗證是否為邊界約束條件的影響，方案⑤中解除了建基面向下一個單元厚度的地基約束，誤差值并未減小，下部切向應力依然有12%，各項誤差與方案①相近。方案⑥中緊接壩體部位一個單元厚度處地基與壩體X方向長度相等，且無約束，使此處一小部分地基的約束條件和模型尺寸皆與壩體相一致，這種情況下，地基面上、下部的法向力和切向力誤差都達到最小，上部和下部提取的力幾乎相等，法向誤差減小至1.7%，切向誤差減小至0.3%。

上述六種方案充分說明：造成壩基上部與下部的所提取力的較大偏差的原因，不是材料屬性變化所致，而是模型尺寸突變和邊界約束條件變化的雙重原因所致。故為充分減小有限元計算誤差，建議將緊接壩體很小厚度范圍（一個單元尺寸）內的薄層地基保持與壩體同寬且不做任何約束，即保持與壩體具有相同的模型尺寸和約束條件。

3.2 網格尺寸的影響

為研究壩體網格尺寸與地基網格尺寸對計算精度的影響，現設置A、B兩組方案見表3。其中A組方案中地基網格尺寸固定為10 m，研究壩體網格尺寸由10 m減小至1 m時的計算誤差；B組方案中壩體網格尺寸固定為1 m，研究地基網格尺寸由10 m減小至1 m時的計算誤差。計算結果見圖4。

由圖4可知，網格尺寸的大小會影響計算精度。壩體網格尺寸的變化對計算誤差的影響更為敏感，結果與文獻[11]中關鍵區域的網格劃分水平決定整個有限元計算結果精度的觀點相吻合。當壩體與地基的網格尺寸同為10 m時，法向力誤差達到7.45%，切向力誤差達到2.61%，隨著壩體網格尺寸的減小，計算誤差也隨之減小，計算精度越精確。當網格尺寸減小到一定程度以后，對計算結果準確性的提高就很小，且會導致計算耗時大幅度增加。當壩體網格尺寸為2 m時，法向誤差降至2.41%，切向誤差降至0.63%。地基的網格尺寸對計算結果影響甚微，當壩體網格尺寸固定為1 m時，地基網格尺寸由10 m減小至1 m，計算誤差都維持在一個相對穩定的水平。綜合考慮計算機耗時和計算精度的影響，在水利工程中大體積結構模擬中，地基網格尺寸取為10 m，結構網格尺寸取為2 m，即可滿足分析要求。

3.3 地基范圍的影響

為分析地基模擬范圍對計算精度的影響，分C、D兩組方案進行研究，各方案取值如表4所示（表中H為壩高）。其中C組方案中地基深度方向（Y向）保持2倍壩高不變，研究上下游方向（X向）地基范圍由壩踵和壩趾分別向上、下游延伸不同長度時壩基面合力的計算誤差；D組方案中X向地基范圍分別向上、下游延伸2倍壩高不變，研究Y向地基不同深度范圍下的壩基面合力值的計算誤差。計算結果見圖5。

由圖5可知：地基范圍的不同會導致計算精度的不同。X方向地基范圍的變化對計算誤差的影響更為敏感。Y方向地基深度保持2倍壩高不變，隨著X方向地基范圍的增大，計算誤差整體上呈減小趨勢，法向誤差在X方向地基范圍增大時，也會出現略微的增大現象，當X方向地基范圍由壩踵和壩趾分別向上游和下游延伸2倍壩高及以上時，法向誤差會控制在2.8%以下，切向誤差會控制在0.85%以下。地基Y方向的范圍對計算結果的誤差影響較小，當X方向地基范圍由壩踵和壩趾分別向上游和下游延伸2倍壩高不變時，地基深度范圍由0.2倍壩高增加至1倍壩高時，隨深度的增加誤差略有減小，當深度大于1倍壩高時，計算誤差雖有所偏差，但浮動較小，法向誤差在2.8%左右，切向誤差在0.85%左右。

考慮到地基范圍過大會造成模型單元與節點數目的成倍增加，需要更多的計算資源和時間。故建議在類似工程的模擬中，X方向地基范圍由壩踵和壩趾分別向上游和下游延伸2倍壩高，Y方向地基深度取為2倍壩高。

3.4 應力路徑條數及應力點間距的影響

以上是針對有限元應力計算的誤差影響分析。在確定的應力計算結果下，壩基面的合力計算值也會有不同的精度，這是由于計算合力時應力積分路徑條數與應力點間距的選取不同而造成的，現通過E、F兩組方案分析這兩個因素對壩基面合力值計算的誤差影響，各方案設置見表5（表中B為壩段寬度，L為路徑總長度）。其中，E組方案在相同的應力點間距下（0.01L），沿著壩軸線方向取不同的應力路徑條數，分析應力路徑條數對計算精度的影響；F組方案固定路徑條數（B/2），分析不同應力點間距下計算誤差的影響。各方案計算結果見圖6。

由圖6可知，應力提取路徑的條數，以及每條路徑提取點的間距，對計算精度有一定的影響。同一提取點間距，隨著路徑條數的增多，計算誤差會減小，當條數大于B/2時，法向力誤差可控制在2.6%以內，切向力誤差可控制在1.0%以內，且繼續增多路徑精度的提高效果不明顯。在同一提取路徑條數（B/2）下，當提取應力點間距過大時，為負偏差（標準值小于計算值），間距過小時，為正偏差（標準值大于計算值）。隨著應力提取點間距的減小，計算誤差會由負到正逐漸增大，最后會處于一個穩定狀態，當間距小于0.01 L時，法向力誤差可控制在2.0%以內，切向力誤差可控制在0.9%以內。

由以上結果可知，應力路徑條數取B/2即可滿足分析要求。綜合考慮計算精度和計算工作量，提取應力點間距取為0.006 25L～0.02L為宜。

4 結論

（1） 在不同提取應力的對象下，壩基面受力的有限元計算值不同，且計算誤差不同。選擇上部壩體結構作為研究對象計算誤差較小，地基面上的法向應力誤差對于提力對象的敏感度小于切向應力誤差。在類似工程中，需針對所研究的結構及誤差控制要求合理選擇相應提取應力的對象。

（2） 在有限元計算模型中，將緊接壩體很小厚度范圍（一個單元尺寸）內的薄層地基保持與壩體相同的模型尺寸和約束條件，可充分減小有限元計算誤差。其中法向誤差可控制在2.0%以內，切向誤差可控制在0.5%以內。

（3）對類似大體積水工結構進行模擬并分析其受力狀態時，綜合考慮計算精度、計算資源和時間、工作效率等因素，結構網格尺寸取為2 m，地基網格尺寸取為10 m，地基范圍在上下游方向向兩側延伸2倍建筑物高度，深度方向取為2倍建筑物高，即可在不消耗過量的計算資源和時間下滿足精度要求；應力路徑條數取B/2即可滿足分析要求，應力點間距取為0.006 25L～0.02L為宜。

考慮到影響有限元計算精度的因素很多，如模型本身的結構誤差、階次誤差，荷載分布的簡化，材料本構模型選取等，各個因素是相互關聯，共同作用的。此外，亦可通過其他方法評價有限元計算結果精度，如對比試驗數據、觀察應力等值線圖、核算關鍵節點位移等。這些規律還有待于進一步研究。本文以經典彈性力學為基礎，視混凝土和地基材料為均質連續體，通過對比有限元應力計算值與外荷載合力值，論述了部分影響壩基面受力狀態計算誤差的因素，所得結論適用于水利工程中的大體積混凝土結構，可滿足實際工程的分析需求，對類似工程具有一定的指導意義。

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