光柵衍射中明暗條紋的分析探討

孫紅輝+++王紅霞+++許佳婷

【摘要】光柵衍射是波動光學中重要的教學內容，本文結合課堂教學實踐，從加強教學效果和便于學生接受與理解的角度出發，用振幅矢量合成法來分析衍射明、暗條紋的產生及條紋特征，以期對光柵衍射教學提供一些有益的借鑒。

【關鍵詞】光柵衍射 ?明暗條紋 ?矢量合成法

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）35-0149-01

引言

在波動光學中，光柵衍射是非常重要的教學內容，它是光的干涉和衍射現象的綜合反映，也是波動光學理論、技術、應用的典范，使學生加深理解和區分干涉和衍射的物理含義。本文結合教學實踐，就光柵衍射教學中明、暗條紋的分布及條紋特征進行探討。

1.光柵衍射定性分析

根據惠更斯—菲涅爾原理，光柵上每條縫產生強度相同彼此相干的子波光束。設想光柵上只留下一條縫，其余的全遮住，此時屏上會呈現單縫衍射條紋及光強分布，實際上，無論留下哪一條縫，屏上的單縫衍射條紋和光強分布都是一樣的。當開兩縫時，衍射光在屏上彼此完全重疊，注意：這種疊加是相干疊加。隨著縫數增加，干涉條紋變得越來越細銳，由于參與多縫干涉的每一束光線都是單縫所產生的衍射光，因此，多縫干涉光強分布，必然受單縫衍射光強分布的調制。所以光柵衍射實際上是光柵每條單縫的衍射光再進行相干疊加而產生的，以上是光柵衍射的定性分析。

2.光柵衍射明、暗紋定量分析

對光柵衍射明、暗紋公式的推導，運用振幅矢量合成法是比較合適的，學生對矢量多邊形加法比較熟悉，且矢量畫圖形象直觀。平行光垂直照射N條縫的光柵，每條縫沿各方向衍射光強度是一樣的，設衍射角為？茲的一組平行光在Q點相干疊加，其合振幅等于N條子波在該點光振幅矢量之和。因此，可利用矢量多邊形法分析N條子波的相干疊加，不涉及復雜的數學運算，不需計算合矢量大小，只需判斷什么情況下合矢量的模最大或最小，直觀簡單，學生容易理解。

相干疊加結果取決于光程差，光柵上相鄰兩縫光束光程差為d sin？茲，d為光柵常數，相應的相位差為？啄=2？仔d sin ？茲/？姿，任意相鄰兩縫光束光程差和相位差都相等。多縫干涉結果可用N個相位差相同、振幅大小相等的光振幅矢量疊加表示，也就是說：Q點光波合振幅A可表示為N個光振幅為A0的矢量之和。由矢量多邊形加法，將N個矢量依次首尾相連做出矢量圖，如圖1所示，相鄰兩矢量夾角等于相位差？啄，從第一個矢量始端指向最后一個矢量末端的有向線段就是合矢量，顯然當？啄=2k？仔時，A=NA0，此時合振幅最大，多縫干涉加強產生主極大明紋。由？啄=2k？仔可得到下式：

d sin ？茲=k？姿 ? ? k=0，±1，±2… （1）

圖1 主極大明紋形成 ? ? ? ? ? ? ? 圖2光柵暗紋的形成

這就是光柵方程，表明光柵上任意相鄰兩縫光束的光程差都滿足了相干加強的條件，此時合振幅最大，產生主極大明紋。

再分析多縫干涉暗紋情況，暗紋即光振幅合矢量為零。衍射角為？茲時，相位差為？啄=2？仔d sin？茲/？姿由矢量合成圖2可知，當N個矢量依次首尾相連形成一個閉合多邊形時，合矢量大小為零， 也就是N個光振幅合成為形成暗紋。形成閉合多邊形時，夾角N？啄必然等于2？仔整數倍。因此，產生暗紋條件是：

N（a+b）sin ？茲=m？姿 ? ? m=±1，±2…，m≠kN ? （2）

公式中m取值要注意：原則上m取任意整數，但當m等于N 的整數倍時，暗紋公式將變成明紋的光柵方程，因此，m應取不等于kN 的整數。由m取值可知，在0 、N 兩個主極大明紋之間，m取N -1個值，說明在兩相鄰主極大明紋之間存在N -1個暗紋。條紋是明暗相間的，N-1條暗紋之間必有N-2條次極大明紋，次極大明紋的光強遠小于主極大明紋。

3.衍射條紋特征解釋

根據光柵衍射明、暗條紋公式，可以解釋條紋 “細、亮、疏”的特點。“細”體現在主極大明紋半角寬度上，設k級主極大明紋衍射角為？茲k，k級明紋外側相鄰暗紋對應的衍射角為？茲k+△？茲k，k級明紋和相鄰暗紋對應的衍射角之差稱為k級明紋的半角寬度，用△？茲k表示，△？茲k大小就決定明紋的“細”度。主極大明紋衍射角滿足光柵方程，而暗紋衍射角？茲k+△？茲k滿足暗紋公式，則有：

d sin ？茲k=k？姿 （3）

Nd sin（？茲k+△？茲k）=m？姿=（kN+1）？姿 （4）

（4）式中m取多少呢？，？茲k+△？茲k略大于？茲k，式中右邊應略大于Nk？姿，m 取整數，顯然，m=kN+1，兩式聯立求解，可得半角寬度：

△？茲k=■ （5）

顯然，縫數N越大，△？茲k越小，譜線也越“細”。再看“亮”，“亮”體現在明紋強度上，主極大明紋合振幅為A=NA0，光強與振幅平方成正比，即I=N2I0，其光強是單縫在該方向衍射光強的N2倍，因此，主極大明紋顯得很“亮”。 “疏”體現在主極大明紋的間距上，考查相鄰k和k+1級主極大明紋，設k級明紋對應衍射角為？茲k，k+1級明紋對應的為？茲k+1，則有：d sin ？茲k=k？姿和d sin ？茲k+1=（k+1）？姿成立，兩式聯立得：

sin ？茲k+1-sin ？茲k=■ （6）

由（6）式可知，光柵常數d越小，衍射角分得越開，條紋間距越大，分布就越稀“疏”。以上分析圓滿解釋了光柵衍射條紋“細、亮、疏”的特點，這種特征有利于光波波長的精確測量，光譜分析中的光譜儀就是基于光柵衍射的原理制成的。

結束語

運用振幅矢量合成法求光柵衍射的明、暗紋公式不涉及過多的數學運算，借助矢量畫圖分析明、暗紋的形成條件，只需判斷什么情況下合矢量的模為最大或最小即可，非常直觀和簡單，使學生更加易于理解和掌握明、暗紋公式及條紋的特征，從而取得良好的教學效果。

參考文獻：

[1]馬文蔚等， 物理學[M]，北京：高等教育出版社，2015.

[2]吳百詩， 大學物理[M]，西安交通大學出版社，2009.