題海無邊，反思是舟
——解題反思：撥開迷霧見晴天

江蘇省連云港市贛榆一中 賀小健

題海無邊，反思是舟
——解題反思：撥開迷霧見晴天

江蘇省連云港市贛榆一中 賀小健

羅增儒說：“數學學習中發生數學的地方都無一例外地充滿著數學解題活動。”學數學離不開解數學題，解題是學習數學的重要手段與途徑，解題就是讓學生學習新知、發展智力、提高能力，高考也正是通過解題來考查學生的數學能力和學習效果。高中三年，解數學題占據了學生大半時間，解題無數，可面對高考數學區區數題，卻誠惶誠恐，常有會而不對、對而不全、撓破腦袋也無計可施的現象。誠然原因眾多，我們必須承認：高考試題是學科專家千挑萬選、精編細研、深思熟慮創造而出的，考生平時解題若不千思萬想、深學細究，注定是高考的炮灰。筆者認為：數學解題必須反思且有法可循。

一、什么是解題反思

美國數學教育家波利亞在《怎樣解題》一書中將解題分為四個階段：“弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧”。其中，“回顧”就是我們現在所指的解題反思。解題反思就是對解題活動的反思，它是對解題活動深層次的再思考，不僅僅是對數學解題的一般性回顧和重復，更是探究數學解題活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等。其目的是認識問題的本質，通過解有限道題去學會和領悟那種解無限道題的數學機智，最終提高學習者的解題能力。

二、高中生解題反思的現狀與原因

筆者曾對本校高一高二年級學生做隨機抽樣問卷調查，問卷的設計主要依據反思能力的內涵，調查高中生解題過程中在計劃、評價和自我調控等能力方面的行為反應。

從調查統計結果來看，高中學生的解題反思大多是淺層次的、低水平的、不自覺的或是被動的。習題教學中，多以教師講授為主，教師只給學生介紹已“成形”的解題方法、思路、過程，即側重求解的結果，而不重視其求解方法的形成過程分析，不重視思路產生的基礎分析。學生的解題反思多數是為了檢查一下自己的結果與標準答案是否一致，根本沒有進一步把問題進行深入分析，探討延伸。他們認為找到數學問題的正確解法并理解其中的邏輯關系就是學會解題，多數人沒有在解題完成后反思回顧解題過程，對其中的矛盾和方法進行歸納和總結，并進行一題多解、一題多變、舉一反三的探尋，即便有些學生意識到歸納、總結的必要，但欠缺相關的策略和方法而使總結只是表面，沒有實際的意義。

三、解題反思內容分類

1.反思解題涉及的相關觀念

首先，反思對題意的理解。解題的第一個環節就是理解題意，即解題者對題目信息進行搜集與加工的過程，它是問題求解的前提，筆者認為：學生能對數學問題中的文字、圖形進行重新表述，即是對問題有了整體把握。其次，反思問題中涉及的數學概念。高中數學概念是抽象的， 但問題中涉及的數學概念是具體的， 反思能加深對這個概念的理解。

2.反思解題過程中體現出來的關系

首先，反思數學問題中所涉及的知識間的關系。在對數學問題進行反思時， 可以歸納出問題中所隱藏著的關系，以此來豐富認知結構中的關系網絡。其次，反思這道數學問題與相近數學問題之間的關系。通過這些比較，我們就可以對相類似的數學問題有更深入的認識和理解。最后，反思解題策略與數學問題之間的關系。在學習過程中，可能會學到多種解題策略， 但在具體的某個問題中，常常只需要一個或兩個解題策略就足夠。因此，有必要歸納出解題策略與具體數學問題中的哪些特點有著更為直接的聯系，從而感悟出具體的解題策略與某一類數學問題之間的聯系。

3.反思解題中涉及的問題解決策略

首先，反思解題中涉及的數學思想方法。這主要是要體會出數學思想方法是怎樣被運用到解題過程中的。其次，反思解題中涉及的思維模式。解題的思維模式主要有：波利亞模式、奧加涅相模式、舍費爾德模式。在學習過程中， 我們總會有意或無意地形成自己的思維模式。這些思維模式可能是學習別人的，也可能自己形成。反思的目的是優化自己的思維模式，解題策略的形成不是一蹴而就的，要靠長期的學習、反思和總結。

四、解題反思如何訓練

為了讓學生更容易養成解題反思的習慣，可讓學生解題后對自己提三個問題：

問題1：我是怎樣解這個問題的

“怎樣解”其實是在問“怎樣利用已有的知識解決問題”。回答這個問題需要學生先清楚已知條件是什么，問題和解答過程中用到的核心知識和方法有哪些。反思自己的解題思路，總結解題規律，發現自己在解題中暴露出的知識能力的缺陷，在題旁寫出摘要。

問題2：我是怎樣想到這樣解的

這個問題的回答有兩個要點：①題目和解題過程存在哪些產生式？希望學生通過分析找出更多的產生式，這些產生式可以是正向的，也可以是逆向的，還可以是變式的。找產生式可以從條件出發，也可以從結論出發。學生在這個過程中可以聯系到更多的知識，建立更為密集的關系網，同時由這些產生式也更容易發現其他的解法。②解題過程涉及什么解題策略？著重于解題時涉及的思想方法和思維模式。這個要點的用意是讓學生先有這樣的意識，當他有了一定的積累后，才會更容易關注解題策略。

問題3：我有什么新收獲

這個問題的目的包含以下三點：①獲得更多知識間的聯系。不是邏輯意義上的聯系， 而是通過類比、合情推理得到的聯系， 甚至是個人直覺上的聯系。這些聯系正確與否不重要，隨著學習的深入，對這些聯系的認識也會更進一步，對于不正確的聯系也就可以得到修正。②歸納解這類問題的一般思路。強調歸納的一般思路是個人化的東西，在其他人看來，它可能是錯誤的， 但對于個人來說是有意義的，即使是錯誤的，也可以從后續學習中得到修正。③收集解題和反思過程產生的新想法。

題海戰術中，學生做題，馬不停蹄、痛苦不堪，卻不知解題反思的價值，不知解題反思的策略，實為憾事。古人云：工欲善其事，必先利其器。解題反思正是渡過茫茫大海的巨輪，撥開重重迷霧，到達成功的彼岸。

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