高中數學三角函數解題常見誤區及正確解題方案

山東省青島市58中學高三七班 趙 桐

高中數學三角函數解題常見誤區及正確解題方案

山東省青島市58中學高三七班 趙 桐

在新課改這個改革前提下，教育部對高中數學學科的教學提出了新的要求，但是沒有動搖三角函數在高中數學學科中的中心地位，它不僅是教學重點，同時也是高考出題的熱點題型。文章針對高中數學三角函數解題常見誤區及正確解題方案進行分析，希望能夠有效促進高中數學成績的提升。

一、對三角函數的概念掌握得不牢靠，不會平移

學生們因為升入高中以后，學習任務比小學與初中更多，因此學生在對數學學科開展學習的時候，很多概念掌握得不夠牢靠，特別是在三角函數的學習中，三角函數有著諸多變形題目，其中一類是平移類題目，通常為已知一個三角函數，然后根據題目的要求，將函數圖象沿著x軸或y軸的平移，求平移后的三角函數。對于此類題目，同學們不能在頻繁的變化過程中抓住函數圖象平移的本質，導致不能準確地按照平移公式來求解答案，抑或是求解答案出錯。針對此類題目，最關鍵的核心方法是將已知的三角函數化為可以處理的“標準”形式，以不變應萬變。

A.y（cosx+4）-2cosx=-10 B. y（cosx-4）-2cosx=-10

C. y（cosx+4）-2cosx=10 D. y（cosx-4）-2cosx=10

二、馬虎粗心，忽略了題目中三角函數的名稱

很多學生在做高中數學習題的時候，并不是不會，而是由于自己本身粗心大意和馬虎造成的，例如在做題的時候沒有注意到習題中三角函數的名稱等問題。

例2：已知cosα＜cosβ，且兩角在同一象限，則下列命題成立的是（）

A.若兩角在第一象限，則sinα＞sinβ

B.若兩角在第二象限，則tanα＜tanβ

C.若兩角在第三象限，則sinα＜sinβ

D.若兩角在第四象限，則tanα＞tanβ

為了解析這道題，要求熟練掌握一整個周期內在不同象限的正弦函數、余弦函數、正切函數的增減性。同在第二象限，正切函數與余弦函數的增減性相反（正切函數為單調遞增，余弦函數為單調遞減），所以B選項錯誤；在第三象限，正弦函數與余弦函數增減性相反（正弦函數為單調遞減，余弦函數為單調遞增），所以C選項錯誤；在第四象限，余弦函數與正弦函數增減性相同（同為單調遞增），D選項錯誤。教師可以首先教學生畫出函數圖象，例如：y=sinx,y=cosx,y=tanx，然后再教會學生在不同的象限內不同的三角函數的增減性，可以給學生用圖象分析三角函數的增減性，這樣可以使學生靈活地、熟練地掌握知識。

三、沒有注意到三角函數的圖象產生變化

三角函數具有周期性，并且三角函數是連續的，這就意味著三角函數在所求區間內基本不是單調的。由此，對于三角函數的變形，涉及定義域的改變而求值域的問題，就不能簡單地將定義域的端點代入而求值域。學生一般常出錯的原因就是沒有很好地掌握三角函數的圖象和三角函數變化的情況，避免此類情況發生的方法是要熟練掌握三角函數的圖象，理解三角函數的增減性，學生要重點掌握三角函數單調性的特點，可以通過繪制圖象形象直觀地看到走勢。

若不能理解三角函數的單調性，就不能準確找到極值點，也就不可能找到答案，錯誤的答案通常是ymax=1，所以值域是

四、三角函數的性質應用得不夠靈活

在我們實際高中數學三角函數解題過程中，可以遇到很多的題目，例如題目字數本身很少，已知條件看起來很少等，這樣的題目讓很多同學摸不著頭腦，束手無策。實際上，造成這樣問題的原因是同學不能牢記三角函數的性質，比如sin2α+cos2α=1這些適用于一切情況，當然也適用于一切題目的隱藏條件。解決這樣問題的方法主要從兩點入手，一方面是要求學生們要認真熟記這些公式，另一方面是學生們要記得在沒有思路的時候，首先一定要想想這些熟記的公式，結合這些公式去重新搜尋已知條件，然后解答三角函數的習題。

例4：sinα＋sinβ=-1，則對于任意實數n，sin（2n+1）α+cos（2n+1）β=（）

A.0 B.1 C.0或1 D.-1

針對這道題，就需要用到三角函數隱藏的公式sin2α+cos2α=1，聯立已知等式與這個萬用等式，用圖解的方式，可以得到2組解{-1,0}，{0，-1}，所以答案顯而易見是D。

以上這四個方面就是高中學生在學習關于三角函數方面解答問題中常常會出現的幾個誤區，首先就是學生對三角函數的概念掌握得不牢靠，其次是學生馬虎粗心，忽略了題目中三角函數的名稱，還有就是沒有注意到三角函數的圖象產生變化，最后就是三角函數的性質應用得不夠靈活。針對這四個方面，我們也有針對性地提出了避免學生進入這幾種誤區的方法與策略，希望能夠為學生們提供幫助，為教師在教學過程中提供參考。

為了使教學效果不斷得到優化，高中數學教師應該通過學生的做題情況，不斷進行鉆研和總結，幫學生避免走入解題誤區，穩固學生基礎知識，著重講解考試的重難點，教學生把握知識與知識之間的聯系，提高學生的運算與求解能力。學好三角函數不僅對學生的數學成績有所幫助，還能夠增強學生數學方面的素養，提高學生的數學水平，為學生以后的發展奠定基礎，為國家培養數學方面的人才。