課堂教學要突出重點、分解難點
——切線長定理教學片段與反思

江蘇省海門市證大中學 張 杰

課堂教學要突出重點、分解難點
——切線長定理教學片段與反思

江蘇省海門市證大中學 張 杰

課堂教學一直是我們教研的重要內容之一，我們強調課堂必須要以學生為主體，讓學生自覺主動地體驗知識的生成過程，在實踐中探索、發現新知。教師則是課堂的總導演，必須具備組織能力和協調能力，要對教學內容有全局意識，對學生的探究過程適時引導。下面，筆者展示一節新授課“切線長定理”的部分教學片段及教后反思，與各位同仁交流。

一、教學片段展示

【片段一】探究切線長定理。

問題：過圓外一點P作已知圓O的切線，可以作幾條？怎么作？

師：如何過圓上一點P作已知圓O的切線？

生A：連接OP，過點P作OP的垂線l，l就是過點P的切線。

師：很好！過圓O外一點P可以作幾條呢？

學生動手操作，兩分鐘后展示學生的作品。

生B：可以作兩條。我是用直尺繞點P旋轉，當直尺和圓只有一個交點時，就是圓的切線，上下各有一條。

B同學一邊說，老師一邊在黑板上輔助演示。

師：非常好！同學們還有其他作法嗎？

生C：我是以OP為直徑作一個圓M，圓M與圓O有兩個交點A，B，直線PA和直線PB就是要作的切線。

師：你上來示范一下。

生C在黑板上作出圖象。

師：D同學，你覺得他的作法對嗎？

生D：我覺得是對的，因為直徑OP所對的圓周角是直角，所以∠PAO和∠PBO都是直角，所以PA、PB就是切線。

師：B同學通過旋轉直尺，找到“只有一個交點”的情況，方法非常好，但不夠精確。 C同學依據切線的判定定理，利用尺規作圖就比較精確。我們為兩位同學鼓掌……

師：下面，我們繼續探究圖形中有哪些相等的線段和相等的角。先獨立思考，然后小組交流。（約5分鐘后，完成的小組陸續舉手）

師：E同學，你們小組探究到了哪些相等的線段和相等的角？

生E：我們得到了：OA=OB、PA=PB和∠PAO=∠PBO，∠APO=∠BPO，∠AOP=∠BOP。 我們是通過折紙的方法將圖沿直線OP對折，發現直線兩側完全重合。

師：其他小組有補充的嗎？

生F:可以通過證明全等三角形得到。因為PA和PB是圓O的兩條切線，所以OA⊥AP，OB⊥BP。又因為OA=OB，OP=OP，所以△AOP≌△BOP，所以對應邊、對應角相等。

師：非常棒！我們把線段PA、PB的長叫作點P到圓的切線長，剛才我們探究發現的PA=PB和∠APO=∠BPO就是切線長定理（板書課題“切線長定理”）。請同學們用語言描述切線長定理。

生G：過圓外一點到圓的兩條切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（教師板書）

【片段二】探究三角形的內切圓。

思考：如何在三角形的內部作一個圓，且圓與三角形的三邊都相切？請同學們試一試！

老師巡視學生的作圖情況后，發現學生只作了一個三角形，然后就愣在那邊，只有生H作好了。

師：H同學，你是怎么作的？

生H：我不會作。我是先作圓，再作與圓相切的三角形的。

聽完生H的作法，同學們都笑了。

師：把你作好的圖借我們用一下。（投影生H的作品）

師：同學們，這個圓的圓心有什么特征？

生：到三邊的距離相等。

師：這個距離是圓的……

生：半徑。

師：圓心還有什么特征嗎？

生I：是三角形內角平分線的交點。

同學們聽了生I的發言，都很驚訝，隨即恍然大悟。

師：J同學，你認為生I的說法正確嗎？

生J：正確。根據剛才的切線長定理，就能得到圓心和頂點的連線是內角的平分線。

師：非常好！現在我們要作的圓的圓心和半徑都確定下來了，下面，請同學們自己動手完成思考題。

二、教學反思

1.新知探究要精心預設，突出重點

教師在進行每一章節的新課教學時，都要提前熟悉全章節的內容，對整章的知識有一個全局把握。教師要對每一節新知內容需要哪些舊知識了如指掌，先學知識要為后續知識做準備，要協調好各小節內容，將各小節內容有機組合。教師要明確每小節內容的重點知識，教學時要圍繞重點知識預設探究活動，切不可因前期工作準備不充分，而使課堂生成內容偏離教學重點，影響正常教學。 “片段一”中，教師先引導學生對“過圓外一點作圓的切線的作圖方法”進行探究，再利用作好的圖形探究切線長定理，整個探究過程都是學生自主完成，教師只是引領者，充分體現了學生的主體地位。然而，在觀課交流活動中，觀課老師認為，將探究“過圓外一點作圓的切線的作圖方法”放在本節課值得商榷。本節課的重點是切線長定理的探究、證明及應用，雖然教師預設的探究活動體現了知識的生成，但已經影響了本節重點知識的正常教學。如果將“過圓外一點作圓的切線的作圖方法”放在上一節課進行探究生成，為本節課探究“切線長定理”做好準備，那么，本節課就可以專心探究切線長定理，這樣就可以更好地突出本節課的重點。片段一可改為:在復習引入中，直接讓學生過圓外一點作已知圓的切線，然后讓學生直接利用作好的圖形探究切線長定理，既達到了復習的效果，又能快速切入正題。

2.問題設置要緊扣學情，分解難點

教師既要對每節知識的難點內容有清醒的認識，還要結合不同的學情設定不同的難點，教學時要“因生而異”，要提前預設好遞進式問題，設置大部分學生“跳一跳”就能解決的問題。教師要做學生的學習伙伴，在保證學生主體地位不動搖的基礎上適時地引導、點撥，才能夠激發學生的主體意識。在觀課交流活動中，觀課老師對“探究三角形內切圓”的探究活動也提出了寶貴意見。片段二中，生H雖然走了“旁門左道”，卻為教師解了圍。顯然，教師在預設“思考”時，并沒有考慮到學生的學情，而是照搬書本的“思考”。其實，書本在解決“思考”時也是用了“假設法”，假設內切圓已經作好，再探究內切圓的圓心和半徑，最后才得到作圖方法的。生H“歪打正著”，教師“借題發揮”，也算圓滿。最后大家提出的修改建議就是先讓學生作一個三邊與已知圓都相切的三角形，在此基礎上引導學生從分析圓的圓心和半徑的特征入手，解決“思考題”。

教學質量的提高必須從提高課堂效率開始，這就需要教師正確把握教學內容的重難點，認真研究學情，教學時才能做到突出重點，分解難點。

[1]李庾南.自學·議論·引導教學論[M].北京：人民教育出版社，2013.

[2]蔡錦花.切線長定理教學與反思[J].中學數學，2008（03）.