論線性規劃在求解最值中的應用

余安娜

在高中數學的學習過程中，求解最值是一大重點和難點，也是每年高考的一大熱點，題型和方法多種多樣。而利用線性規劃求解最值也是我們常運用的一種較簡單的手段，它需要學生建立數形結合，轉化與化歸的思想，而且還能體現學生的綜合分析能力，邏輯思維能力以及解決實際問題的能力，故本文就對利用線性規劃求解最值問題進行淺析。

（題型一）求與目標函數有關的最值問題：

當目標函數的關系式如（）時，可把目標函數變形為

，則目標函數表示斜率為，上的截距為的直線l，然后通過平移尋找最優解.一般步驟如下：（1）作出可行域；（2）平移目標函數的直線系，根據截距求出最優解.

例1. 已知實數x、y滿足 則求目標函數z=x-2y的最小值. 【解析】畫出滿足不等式組的可行域如下圖：

目標函數化為：-z，畫直線及其平行線，可知當此直線經過點A時，-z的值最大，z的值最小，解方程組得到A點的坐標為（3，6），所以，z的最小值為：3-2×6=-9。

（題型二）求比值的最值問題：

當目標函數形如時，可把z看作是動點與定點連線的斜率，這樣目標函數的最值就轉化為連線斜率的最值。

例2 設實數滿足，則求的最大值.

【解析】畫出不等式組所確定的平面區域如下圖，

表示兩點確定的直線的斜率，要求z的最大值，即求可行域內的點與原點連線的斜率的最大值.由上圖可以看出直線的斜率最大，故為與的交點，即A點.

∴.故的最大值為.

（題型三）求與距離有關的最值問題：

當目標函數形如時，可把z看作是定點與動點距離的平方，這樣目標函數的最值就轉化為距離平方的最值。

例3.已知，求的最小值.

【解析】作出可行域如下圖：

并求出頂點的坐標，而表示定點到可行域內任一點的距離的平方，過定點作直線的垂線，易知垂足在線段上，故z的最小值是.

（題型四）求與截距有關的最值問題：

例4.不等式組表示的平面區域面積為81，求的最小值.

【解析】由可行域的面積為81求出，作出可行域如下圖：

令，則此式變形為，z可看作是動拋物線在y軸上的截距，當此拋物線與相切時z最小，故聯立方程組，得到方程，，得到答案。

利用線性規劃思想去理解高中數學中一些求最值問題，實際上是對數形結合思想的提升，是從一個新的角度對求最值問題的理解，對于學生最優化思想的形成是非常有益的。