懸索橋主纜線形計(jì)算和繪圖實(shí)用方法

熊 安 書

(廣州地鐵設(shè)計(jì)院有限公司，廣東 廣州 510010)

懸索橋主纜線形計(jì)算和繪圖實(shí)用方法

熊 安 書

(廣州地鐵設(shè)計(jì)院有限公司，廣東 廣州 510010)

以懸索橋設(shè)計(jì)為研究對(duì)象，介紹了懸索橋主纜中跨與邊跨懸鏈線的理論公式，并闡述了懸索橋主纜線形的計(jì)算及繪圖方法，指出實(shí)際工程中，在吊索集中荷載作用下，主纜線形會(huì)發(fā)生變化，為防止變形過大，設(shè)計(jì)應(yīng)考慮主纜的重力剛度要求。

懸索橋，懸鏈線，主纜線形，繪圖方法

懸索橋設(shè)計(jì)首先要畫出主纜線形才能進(jìn)行建模試算，而根據(jù)懸鏈線理論公式直接畫出主纜線形并不容易，尤其是三跨懸索橋邊跨主纜受邊界條件影響，線形計(jì)算更加復(fù)雜，懸鏈線理論公式需要重新推導(dǎo)，以下從易到難逐步介紹主纜線形計(jì)算和繪圖實(shí)用方法。

1 懸鏈線方程

一質(zhì)量均勻分布的繩兩端懸掛時(shí)繩子所表示的曲線為懸鏈線，假設(shè)一個(gè)無限長的質(zhì)量均勻分布的繩子在重力作用下自然下垂。設(shè)繩底端受到拉力為T0，線密度為ρ，重力加速度為g。如圖1所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)繩對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=f(x)，對(duì)于橫坐標(biāo)從0～x這一段的繩，設(shè)質(zhì)量為m，長度為L，受重力為G，受頂端拉力大小為T，該力傾斜角為θ，該段繩受三力平衡：T，G，T0，畫出受力示意圖，有G/T0=tanθ。

經(jīng)推導(dǎo)(過程略)可得：懸鏈線方程為y=kcosh(x/k)-k，其中，k=T0/ρg。

2 懸索橋中跨主纜線形計(jì)算與繪圖實(shí)用方法

懸索橋中跨主纜無應(yīng)力線形為懸鏈線，實(shí)際工程設(shè)計(jì)方案之初，由于尚未計(jì)算，T0未知，甚至主纜粗細(xì)待定、主纜線密度未知，參數(shù)k未知，則無法直接利用懸鏈線公式計(jì)算懸鏈線坐標(biāo)，但通過設(shè)定塔高、主纜垂度，則主纜線形是確定的，即此時(shí)懸鏈線方程中k為常數(shù)。

1)以主纜中跨中點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，已知主纜與橋塔理論交點(diǎn)為(x1，y1),即為懸鏈線方程的一組解，在EXCEL中以k為變量，先任意輸入一常數(shù)(如1.0)，按懸鏈線公式求出x=x1時(shí)對(duì)應(yīng)的y，然后利用EXCEL中單變量求解功能，設(shè)定y目標(biāo)值為y1，以k為變量，即可求出k值。

2)按第一步求出的k值，在EXCEL中x以任意間距(如1 m)為步長增加，求出對(duì)應(yīng)y值，形成坐標(biāo)點(diǎn)，并復(fù)制到剪貼板，打開CAD，利用PLINE命令，在輸入欄“粘貼”坐標(biāo)數(shù)據(jù)，即可自動(dòng)連續(xù)畫出中跨半跨懸鏈線。

3)示例：結(jié)合某25 m+70 m+25 m三跨人行懸索橋，主纜中跨垂度9 m，以主纜中跨中點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，中跨主纜與塔理論交點(diǎn)為(35,9)，在EXCEL中以k為變量，先任意輸入一常數(shù)(如1.0)，按懸鏈線公式求出x=35對(duì)應(yīng)的y，然后利用EXCEL中單變量求解功能，設(shè)定y目標(biāo)值為9，以k為變量，即可求出k=69.504 590 51；在EXCEL中x以1 m間距，求出對(duì)應(yīng)y值，形成坐標(biāo)點(diǎn)。

EXCEL計(jì)算表格如表1所示。

表1 EXCEL計(jì)算表(一)

將EXCEL中坐標(biāo)數(shù)據(jù)復(fù)制到剪貼板，打開CAD，利用PLINE命令，輸入欄粘貼坐標(biāo)，即可自動(dòng)連續(xù)畫出中跨半跨主纜線形圖，如圖2所示。

3 邊跨懸鏈線方程

懸索橋邊跨主纜由于邊界條件變化，是非標(biāo)準(zhǔn)的懸鏈線方程，詳細(xì)推導(dǎo)過程如下：

設(shè)邊錨固點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，該點(diǎn)受主纜軸向錨固力T0，與水平方向夾角為θ0，實(shí)際工程應(yīng)用中該θ0需要設(shè)計(jì)事先擬定，故為已知，作為求解懸鏈線線形的輸入?yún)?shù)(見圖3)。

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，tanθ=dy/dx，而G=mg=ρgL，故(ρgL+T0×sinθ0)/(T0×cosθ0)=dy/dx，ρgL=T0×cosθ0×dy/dx-T0×sinθ0。

對(duì)上式取微分，得ρg×dL=T0×cosθ0×d2y/dx，而dL=(dx2+dy2)1/2=[1+(dy/dx)2]1/2×dx，代入得：

ρg[1+(dy/dx)2]1/2=T0×cosθ0×d2y/dx2=T0×cosθ0×d(dy/dx)/dx，令dy/dx=P，則：

ρg(1+P2)1/2=T0×cosθ0×dP/dx，ρg/(T0×cosθ0)×dx=dP/(1+P2)1/2。

對(duì)兩側(cè)取積分，得∫ρg/T0×cosθ0×dx=∫dP/(1+P2)1/2。

ρgx/(T0×cosθ0)=sinh-1P+C1，P=sinh(ρgx/(T0×cosθ0)-C1)。

dy/dx=sinh(ρgx/(T0×cosθ0)-C1)。

當(dāng)x=0時(shí)，dy/dx=tanθ0，代入得sinh(-C1)=tanθ0，由已知的θ0即可求出C1。

故dy=sinh(ρgx/(T0×cosθ0)-C1)×dx。

再次積分，得y=(T0×cosθ0)/ρg×cosh(ρgx/(T0×cosθ0)-C1)+C2。

當(dāng)x=0時(shí)，y=0，故0=(T0×cosθ0)/ρg×cosh(-C1)+C2。

C2=-(T0×cosθ0)/ρ×cosh(-C1)。

設(shè)k=(T0×cosθ0)/ρg，則懸鏈線方程為y=kcosh(x/k-C1)-k×cosh(-C1)。

4 懸索橋邊跨主纜線形計(jì)算與繪圖實(shí)用方法

1)先擬定主纜錨固端與水平方向夾角θ0，通過公式sinh(-C1)=tanθ0利用EXCEL中單變量求解功能，反求出C1。

2)以主纜錨固點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，已知主纜與塔理論交點(diǎn)為(x1，y1),即為懸鏈線方程的一組解，在EXCEL中以k為變量，先任意輸入一常數(shù)(如1.0)，按懸鏈線公式y(tǒng)=kcosh(x/k-C1)-k×cosh(-C1)求出x1對(duì)應(yīng)的y，然后利用EXCEL中單變量求解功能，設(shè)定y目標(biāo)值為y1，以k為變量，即可求出k值。

3)按求出的k值，在EXCEL中x以一定步長間距(如1 m)，

求出對(duì)應(yīng)y值，形成坐標(biāo)點(diǎn)，并復(fù)制到剪貼板，打開CAD，利用PLINE命令，在輸入欄“粘貼”坐標(biāo)，即可自動(dòng)連續(xù)畫出邊跨懸鏈線。

4)示例：結(jié)合某25 m+70 m+25 m三跨人行懸索橋，主纜邊跨25 m、垂度12 m，以主纜錨固點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，主纜與塔理論交點(diǎn)坐標(biāo)為(25,12)，擬定主纜錨固端與水平方向夾角θ0=20°，通過公式sinh(-C1)=tanθ0，利用EXCEL中單變量求解功能，反求出C1=-0.356 381 301；在EXCEL中以k為變量，先任意輸入一常數(shù)(如1.0)，按懸鏈線公式y(tǒng)=kcosh(x/k-C1)-k×cosh(-C1)求出x=25對(duì)應(yīng)的y，然后利用EXCEL中單變量求解功能，設(shè)定y目標(biāo)值為12，以k為變量，即可求出k=117.823 903 8；在EXCEL中x以1 m間距，求出對(duì)應(yīng)y值，將x,y組合生成坐標(biāo)點(diǎn)。

EXCEL計(jì)算表格如表2所示。

表2 EXCEL計(jì)算表(二)

將EXCEL中坐標(biāo)數(shù)據(jù)復(fù)制到剪貼板，打開CAD，利用PLINE命令，在輸入欄粘貼坐標(biāo)，即可自動(dòng)連續(xù)畫出邊跨主纜線形圖，并與第2節(jié)中跨主纜線形組合生成全橋主纜線形圖(如圖4所示)。

5 結(jié)語

1)本文介紹了懸索橋主纜中跨、邊跨懸鏈線理論公式，并詳細(xì)介紹了主纜線形計(jì)算與繪圖實(shí)用方法。2)實(shí)際工程中，在吊索集中荷載作用下，主纜線形會(huì)發(fā)生變化，為分段懸鏈線，為防止變形過大，設(shè)計(jì)會(huì)考慮主纜一定的重力剛度要求。

[1] 邢富沖.懸鏈線馳垂度計(jì)算方法[J].數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)知，2004，34(11)：19-20.

The practical calculation and drawing method of the cable alignment of the cable in the suspension bridge

Xiong Anshu

(GuangzhouMetroDesignInstituteCo.,Ltd,Guangzhou510010，China)

Taking the suspension bridge design as the research target, the paper introduces theoretical formula of major cable medium-span and literal-span catenary of suspension bridge, describes main cable configuration and drawing methods of suspension bridge, and finally points out that: the main cable configuration will change under the concentrated hoisting cable action in actual engineering. Therefore, it is necessary to taking major cable gravity and rigidity demands into consideration in the design in order to preventing extra deformation.

suspension bridge, catenary, main cable configuration, drawing method

1009-6825(2017)01-0172-02

2016-10-30

熊安書(1973- )，男，高級(jí)工程師

U448.25

A