傅里葉分布拋物方程法的準三維研究

黃 穎

(南京郵電大學 電磁場與微波技術系，江蘇 南京 210003)

傅里葉分布拋物方程法的準三維研究

黃 穎

(南京郵電大學 電磁場與微波技術系，江蘇 南京 210003)

文章介紹了二維拋物方程的傅里葉分步法，提出了一種基于二維方法的準三維研究方法。將三維圖形分解為兩個二維圖形。首先通過二維方法解決圓錐的主視圖(三角形)和俯視圖(圓形)的電波傳播問題，將主視圖和俯視圖的計算結果分別與參考文獻[5]和HFSS中的模型進行對比，從而驗證其正確性。該方法比二維的研究范圍更廣，同時比直接使用三維公式求解簡單。

電波傳播；拋物方程；傅里葉分步法；準三維

0 引言

拋物方程法(Parabolic Equation,PE)是近年來研究電波傳播常用的一種數值方法。通過對波動方程近似得到關于傳播方向一階導數的拋物型方程[1]。

目前，求解拋物方程的方法主要有傅里葉分步法 (Fourier Split-Step, SSFT)和有限差分分解法(Finite Difference, FD)。SSFT算法和FD算法均為步進迭代計算的方法，但各自有不同的特點。SSFT算法對步進的限制非常寬松，允許相對較大的水平步長，因而計算速度很快，且數值穩定性高。雖然FD算法對于復雜的地表邊界條件的處理比較簡單，但步進會受到電波波長的限制，網格劃分較細，計算速度慢。且FD算法需要大量的矩陣運算，對于計算機硬件也有一定的要求。此外，PE方法是一個定解問題，也就是說，若給出已知的初始場條件和邊界條件，就能夠通過數值算法求得定解。因此在求解遠距離、大范圍的電波傳播問題時，拋物方程主要采用 SSFT 來進行求解[2]。

目前采用SSFT研究大型不規則地面的電波傳播問題都是基于二維。雖然SSFT算法計算速度很快，且數值穩定性高，但二維模型無法反應橫向媒質產生的橫向散射等效應，且三維模型不需要專門尋找三維地形對電波傳播產生反射或繞射的區域，也不需要設置各種傳播機制的判據，因此該方法計算量相對較小，求解精度更高[1-7]。近年來對三維拋物方程電波傳播問題的研究越來越受重視[8-9]，但三維模型的分析求解過程比二維復雜，本文提出一種準三維方法，即通過研究三維圖形的主視圖和俯視圖將三維問題視作兩個二維問題，分別對這兩個二維問題進行研究，最終將其傳播因子數值在相同高度處進行相加，即準三維。

本文首先介紹二維傅里葉分布拋物方程法的求解公式，然后提出用準三維方法研究圓錐形障礙物的電波傳播問題，從視圖的角度將圓錐問題分解為三角形和圓形。將三角形的傳播因子曲線與文獻[5]相比較，驗證其正確性；并通過在HFSS中建立模型驗證圓形障礙物電波傳播的正確性。該方法比二維的研究范圍更廣，同時比直接使用三維公式求解簡單。

1 理論分析

拋物方程是已知源點x=0處的波，求解與其相距不遠處的下一點波的大小。通過步進迭代法可以得到距離x=0處的下一點x+Δx的波動大小近似為：

(1)

其中，u是波幅度，x和z分別表示橫向和縱向(傳播方向)坐標；k0是自由空間中的波數；F代表快速傅里葉變換(FFT)，p表示轉換變量，p=ksinθ中θ是距離水平面的角度；m是由m=n2-1+2z/ae折射指數變換而來，其中n是折射指數，ae是地球半徑[9]。

圖1是利用文獻[5]的參數，將三維模型轉化為二維模型的過程，其中(a)是目標物體圓錐，圓錐的底面是半徑為2.5 km的圓，高是50 m，源的高度為10 m；(b)和(c)分別是圓錐在(x,z)面(主視圖)和(x,y)面(俯視圖)的三角形和圓形。另外，圖1中俯視圖的高度設置為點源處，因此圖1(c)中的半徑為2 km。

對圖1(b)和(c)進行分析時，其計算區域不同，采用相同天線，假設電波在平面地表上傳播，其參數是：頻率為100 MHz、水平極化、垂直波數寬度為10°的高斯天線。迭代步長Δx=50 m，物體表面為理想導體表面，地面近似為平地面。

圖1 模型圖

2 三角形模型的分析

圖1中三角形模型的計算區域是30 km×500 m。計算中使用的天線參數如上節所述。對主視圖中三角形障礙物的電波傳播進行分析計算。

主視圖中的發射天線高度設為10 m。圖2所示是底邊長為5 km，高度為50 m，起點在坐標原點的三角形障礙物電波傳播的偽彩圖。該圖提供了足夠好的傾斜地形采樣。峰值衍射和陰影引起的場變化尖銳，特點正確明顯。

圖2 三角形障礙物電波傳播的偽彩圖

圖3為傳播距離為5 km處的傳播因子圖。

圖3 傳播距離為5 km處的傳播因子

從圖3的曲線可看出本文中的計算結果與文獻[5]的結果非常吻合。

3 圓形模型的分析

俯視圖中發射天線高度設為2.5 km，圓形模型的計算區域是5 km×5 km。其天線的參數與三角形模型的相同。用傅里葉分布拋物方程法得到在傳播距離為5 km處圓形障礙物的傳播因子。

為了驗證使用拋物方程法(PE)計算圓形障礙物電波傳播的正確性，本文利用了HFSS的仿真和計算。在HFSS中建立立方體輻射邊界，使用偶極子天線作為發射源，將圓柱視作障礙物，材質為理想導體，圓柱的高度與立方體的邊長相等，立方體邊界設為輻射邊界。觀察與偶極子天線所在面相對的面的求解線上的傳播因子，來驗證拋物方程法的模型。偶極子天線距離圓柱中心的長度為L，圓柱底面半徑為R，為了與PE方法的尺寸相對應，設定比例大小R/L=r/l=0.8，求解線距離圓柱中心的大小為L，通過HFSS仿真來計算其傳播因子。圖4為圓形障礙物使用拋物方程法得到的偽彩圖。

圖4 PE圓形障礙物的偽彩圖

從圖4可以看出，由于圓形障礙物的尺寸很大，電波在傳播過程中幾乎被障礙物阻擋。

圖5 100 MHz時PE和HFSS的傳播因子比較

圖5為采用PE和HFSS得到的傳播因子示意圖，從圖中可以看出PE和HFSS的結果比較相近，說明使用PE計算圓形障礙物電波傳播的正確性。

將比例大小R/L固定，把天線替換成頻率為300 MHz偶極子天線。圖6為300 MHz時PE方法和HFSS傳播因子。

圖6 300 MHz時PE和HFSS的傳播因子比較

從圖6看出PE和HFSS的曲線數值和趨勢幾乎吻合。根據繞射原理，當頻率越高時波長越短，繞射現象越不明顯，所以300 MHz頻率下的衰減比100 MHz時嚴重，因此，圖6的衰減值比圖5大。其比較結果與理論相符合，所以用傅里葉分布拋物方程法求解的圓形障礙物的傳播因子是合理的。

4 準三維的應用

下面將三角形與圓形的結果相結合來研究準三維圓錐在頻率為100 MHz時的傳播因子。將圖1中的源每抬高1 m得到不同的俯視圖，分別計算不同高度處的半徑以及不同的圓形障礙物的傳播因子，最終將其在圓心處的傳播因子與三角形等同高度處相加，得到圖7所示的準圓錐在0～50 m處的傳播因子示意圖。

圖7 在0～50 m處的準圓錐的傳播因子示意圖

如圖7所示，隨著圓錐的高度增加，俯視圖中圓半徑逐漸減小，衰減值也隨之減小，高度10 m～45 m之間衰減值趨于平穩，當半徑逐漸趨于0時，曲線急劇下降，衰減越少，障礙物對波的阻擋越小。

通過上面的結果可以得出本文提出的準三維的方法可以預測圓錐障礙物在電波傳播中的繞射現象，從而驗證了此方案的可行性。

在用拋物方程法計算三角形障礙物時的總步數是600步，時間為3.921 47 s；計算圓形障礙物時是100步，100 MHz的時間為2.916 79 s，300 MHz的時間為2.383 34 s。仿真代碼是使用MATLAB軟件運行，使用的是2.1 GHz-CPU的個人筆記本。

5 結論

本文提出了一種基于二維拋物方程法的準三維電波傳播方法，將三維圓錐分解為兩個二維的三角形和圓形，并將三角形和圓形的傳播因子的數值在相同高度處相加，得到圓錐的準三維傳播因子。通過對比文獻[5]和HFSS的結果驗證了兩個二維模型的正確性。該方法比二維的研究范圍更廣，同時比直接使用三維公式求解簡單。

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[3] Zhi Chao, GUIZHEN L. Research of the application of the Fourier transform algorithm for parabolic equation in radio wave diffraction[C]. Environmental Electromagnetics, IEEE, 2015:94-96.

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Research of quasi three dimensional of Fourier split-step parabolic equation approach

Huang Ying

(Department of Electromagnetic Field and Microwave Technology, Nanjing University of Posts and Telecommunications, Nanjing 210003,China)

The two-dimensional (2-D) Fourier split-step parabolic equation approach is introduced, and the quasi-three-dimensional (quasi-3-D) wave propagation method based on 2-D is proposed in this paper. The 3-D patterning is divided into two 2-D patterning. The results of the main view (triangle) and the top view (circular) of the cone are calculated by 2-D approach, which are compared with the results of the reference [5] and the HFSS to verify their correctness respectively. The quasi-3-D is more extensive than the 2-D approach, and it is simpler than the direct use of the 3-D formula.

wave propagation; parabolic equation; Fourier split-step; quasi-three-dimensional

TN92

A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2017.03.005

黃穎.傅里葉分布拋物方程法的準三維研究[J].微型機與應用，2017,36(3)：16-18，22.

2016-10-12)

黃穎(1991-)，通信作者，女，碩士研究生，主要研究方向：拋物方程法在電波傳播預測計算中的應用研究。E-mail：1143937804@qq.com。