圓在生活中的應用

文/鄧革周

圓在生活中的應用

文/鄧革周

圓是初中數學的重要內容，其相關知識在生活中的應用廣泛，現舉數例加以說明.

一、足球射門問題

例1在足球比賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向對方球門MN進攻．當甲帶球沖到A點時，乙隨后沖到B點，如圖1所示，此時甲是自己直接射門好，還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好呢？為什么？（不考慮其他因素）

分析：誰射門好，關鍵看這兩個點各自對球門MN的張角的大小，張角越大，射中的機會就越大．

解：迅速回傳乙，讓乙射門較好．在不考慮其他因素的情況下，如果兩個點到球門的距離相差不大，要確定較好的射門位置，關鍵看這兩個點各自對球門MN的張角的大小，張角越大，射中的機會就越大.

如圖1所示，∠A＜∠MCN=∠B，即∠B＞∠A，也就是B處對MN的張角較大，在B處射中的機會要大些．

點評：本題考查同弧所對的圓周角相等的應用.

圖1

二、扳手張開問題

例2如圖2，正六邊形的螺帽邊長為a，這個扳手的開口b至少應是（用含a的代數式表示）（）

解：如圖3，連接OC，OD，過點O作OH⊥CD于點H，則∠COD=60°，△OCD是等邊三角形.

由等腰三角形三線合一可知，

點評：本題考查正多邊形和圓的知識，構造一個由半徑、半條邊、邊心距組成的直角三角形，熟練運用銳角三角函數是解題的關鍵．

圖2

圖3

三、雨刷掃過的面積問題

例3當汽車在雨天行駛時，司機為了看清楚道路，要啟動前方擋風玻璃上的雨刷器．圖4是某汽車的一個雨刷器轉動的示意圖，雨刷器桿AB與雨刷CD在B處固定連接（不能轉動），當桿AB繞A點轉動90°時，雨刷CD掃過的面積如圖4所示，現量得：CD=80cm，∠DBA=20°，AC=115cm，DA=35cm，試從以上信息中選擇所需要的數據，求出雨刷掃過的面積．

解：由題意可知△ABD≌△AB′D′，△ACD≌△AC′D′，

大扇形半徑AC=115cm，小扇形半徑AD=35cm，且圓心角都為直角，所以雨刷CD掃過的面積為

圖4

答：雨刷掃過的面積為3000πcm2．

點評：雨刷CD掃過的面積就是一個大扇形面積與小扇形面積的差，需分清楚哪些數據是有用的，哪些是沒用的．根據扇形的面積公式計算．

四、車輛直角拐彎問題

例4車輛轉彎時，能否順利通過直角彎道的標準是：車輛是否可以行使到和路的邊界夾角是45°的位置（如圖5中②的位置），例如，圖6是某巷子的俯視圖（從上方往下看），巷子路面寬4m，轉彎處為直角，車身為矩形ABCD，當CD與DE、CE的夾角都是45°時，連接EF，交CD于點G，若GF的長度至少能達到車身寬度，則車輛就能通過.

（1）試說明長8m，寬3m的消防車不能通過該直角彎；

（2）為了能使長8m，寬3m的消防車通過該彎道，可以將轉彎處改為圓弧（分別是以O為圓心，以OM和ON為半徑的弧），具體方案如圖9，其中OM⊥OM′，請你求出ON的最小值．

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

解：（1）消防車不能通過該直角彎．

理由如下：如圖8，作FH⊥EC，垂足為H，

∴消防車不能通過該直角彎.

（2）如圖9，若C、D分別與M′、M重合，則△OGM為等腰直角三角形，

設ON=x，連接OC，在Rt△OCG中，

OG=x+3，OC=x+4，CG=4，由勾股定理得OG2+CG2=OC2，

即（x+3）2+42=（x+4）2，解得x=4.5．

答：ON至少為4.5m．

點評：本題考查垂徑定理的應用.把實際問題轉化為數學問題并構造出等腰直角三角形是解題的關鍵．

五、井蓋直徑測量問題

例5如圖10，現需測量一井蓋（圓形）的直徑，但只有一把角尺（尺的兩邊互相垂直，一邊有刻度，且兩邊長度都長于井蓋半徑）．請配合圖形，用文字說明測量方案，寫出測量步驟．（要求寫出兩種測量方案）

圖10

圖11

解：解法一：如圖11（1），把井蓋卡在角尺間，可測得AB的長度，記井蓋所在圓的圓心為O，連接OB、OC，由切線的性質得OB⊥AB，OC⊥AC，又AB⊥AC，OB=OC，則四邊形ABOC為正方形，那么井蓋半徑OC=AB，這樣就可求出井蓋的直徑，直徑為2AB.

解法二：如圖11（2），把角尺頂點A放在井蓋邊緣，記角尺一邊與井蓋邊緣交于點B，另一邊交于點C（若角尺另一邊無法達到井蓋的邊上，把角尺當直尺用，延長另一邊與井蓋邊緣交于點C，度量BC的長即為直徑.

解法三：如圖11（3），把角尺當直尺用，量出AB的長度，取AB中點C，把角尺頂點與C點重合，一邊與CB重合，讓另一邊與井蓋邊緣交于D點，延長DC交井蓋邊緣于E，度量DE長度即為直徑.

解法四：如圖11（4），把井蓋卡在角尺間，記錄B、C的位置，把角尺當作直尺用，可測得BC的長度.記圓心為O，作OD⊥BC，D為垂足，由垂徑定理得BD=DC=BC，且∠BOD=∠COD.由作圖知∠BOC=90°，∴∠BOD=×90°=45°，在Rt△BOD中，BO=，這樣就可求出井蓋的半徑，進而求得直徑.

點評：這是一個方案設計的開放性問題，綜合性強，設計方法靈活，要充分利用所給工具的特征，并結合圓的相關知識選擇測量方法.