導數法解決單調性問題的幾點提示

導數法解決單調性問題的幾點提示

■山東省棗莊二中 趙 峰

利用導數解決函數的單調性問題比利用函數的單調性定義簡捷,但在應用中應注意以下幾點。

一、注意準確理解函數的單調性與導數正負的關系

設函數y=f(x)在區間(a,b)內可導,如果恒有f'(x)＞0,則函數f(x)在(a,b)內是增函數;如果恒有f'(x)＜0,則函數f(x)在(a,b)內是減函數。

應該指出的是,對于可導函數f(x)來說,f'(x)＞0是f(x)在(a,b)上為單調增函數的充分不必要條件,f'(x)＜0是f(x)在(a,b)上為單調減函數的充分不必要條件。如f(x)=x3在R上為增函數,而f'(0)= 0,在x=0處不滿足f'(x)＞0。

二、不能忽略定義域

A.(0,1)

B.(0,1)和(-∞,-1)

C.(0,1)∪(-∞,-1)

D.(0,+∞)

剖析：本題中函數f(x)的定義域為(0,+∞),而在求解過程中,因忽視定義域導致錯解。

正解：由題意知函數f(x)的定義域為(0,+∞)。

點評：用導數研究函數的單調性時,往往易忽視函數的定義域,造成所求單調區間不正確的現象,因此一定要記住在函數的定義域范圍內研究函數的性質。

三、多個同單調區間不能盲目用并集符號相連

函數f(x)=2x3-6x2+7的單調遞增區間是_____。

解析：解不等式f'(x)＞0,可求單調遞增區間。

由f'(x)=6x2-1 2x＞0,可得x＞2或x＜0,故函數的單調遞增區間是(-∞,0)和(2,+∞),或寫出(-∞,0),(2,+∞)。

點評：當函數的同一單調性的區間不唯一時,不能盲目利用“并集”符號把區間并起來,可以用逗號或“和”字連接。取并集后,集合就是一個整體,區間的端點處的大小和函數單調性保持一致。

四、注意分清條件區間與單調區間

若函數f(x)=x3-m x2+2m2-5的單調遞減區間是(-9,0),求m。

剖析：沒看清楚條件,若告訴f(x)在(-9,0)上單調遞減,則上述解法是正確的,這與告訴遞減區間是(-9,0)是不一樣的。

點評：已知函數f(x)在某個區間上的單調性求參數和已知函數f(x)的單調區間求參數是不一樣的,前者說明某個區間是函數單調區間的子集,而后者說明這個區間即為函數的單調區間。

(責任編輯 徐利杰)