圓錐曲線頂點曲率半徑的物理解法

吳曉松

(重慶市涪陵第五中學 重慶 408000)

圓錐曲線頂點曲率半徑的物理解法

吳曉松

(重慶市涪陵第五中學 重慶 408000)

用數(shù)學方法的曲率半徑公式可以求出各類圓錐曲線在其頂點處的曲率半徑，但是真要具體求解的話需要涉及對變量的一階求導和二階求導，從而使得曲率半徑的表達式看起來比較繁雜，為此撇開數(shù)學的角度，從純物理的方法來求解圓錐曲線頂點處的曲率半徑．

圓錐曲線 曲率半徑 物理解法

下面就用這種求速度和加速度的物理方法來求解圓錐曲線頂點處的曲率半徑．

1 橢圓頂點的曲率半徑

x=acost

y=bsint

在頂點(a,0)處的線速度就是y方向的分速度，即

在頂點(a,0)處的法向加速度就是x方向的加速度，即

故

同理，在頂點(0，b)處的線速度就是x方向的分速度，即

在頂點(0，b)處的法向加速度就是y方向的加速度，即

故

2 雙曲線頂點的曲率半徑

在頂點(a,0)處的線速度就是y方向的分速度，即

頂點(a,0)處的法向加速度就是x方向的加速度，即

故

3 拋物線頂點的曲率半徑

拋物線的標準方程為：y2=2Px，現(xiàn)構(gòu)造一個賦予物理含義的參數(shù)方程．若一個質(zhì)點在x方向做初速度為零，加速度an=4P的勻加速直線運動，在y方向做v=2P的勻速直線運動．即

y=vt=2Pt

那么該質(zhì)點的合運動軌跡便為拋物線了．顯然在t=0時刻其頂點(0，0)處的曲率半徑為

4 結(jié)束語

本文先把圓錐曲線的標準方程換成了一組賦予物理含義的參數(shù)方程，再通過參數(shù)方程求得其在頂點處的線速度v和法向加速度an，然后利用勻速圓周運動向心加速度的公式，巧妙地求得了圓錐曲線在其頂點處的曲率半徑．顯然用這種物理方法比用數(shù)學方法更加清晰和簡潔，并且物理意義凸顯．值得說明的是用本文的方法還可以求出其他一些曲線在某些特殊位置處的曲率半徑，關(guān)鍵就在于怎樣去合理構(gòu)建一組簡潔且具有物理意義的參數(shù)方程．

2016-07-13)