電容器能量的3種求法*

鄭世燕*

(泉州師范學院物理與信息工程學院 福建 泉州 362000；淡江大學物理系 臺灣 新北 25137)

電容器能量的3種求法*

鄭世燕*

(泉州師范學院物理與信息工程學院 福建 泉州 362000；淡江大學物理系 臺灣 新北 25137)

分別利用電容器的能量公式、電場的能量公式以及電荷系的靜電能公式求出一般電容器所儲存的能量．

電容器能量 電場能量 靜電能

電容器是一種容納電荷的器件．任何兩個彼此絕緣且相隔很近的導體(包括導線)間都構成一個電容器，對一個孤立導體也可以認為它和無限遠處的另一導體組成一個電容器[1，2]．電容器帶電時具有能量，文獻[1]和[2]中給出電容器的能量是它充電時由電源供給的，進而得到電容器的能量公式為

(1)

式中W，Q，U及C分別表示電容器的能量、所帶的電荷量、相應的電壓及電容．

以平行板電容器為例，電容器的能量也可認為是儲存在電容器內的電場之中，即電場的能量

(2)

式中we，V，ε0，εr，ε，D及E分別表示電場的能量體密度、電容器的體積、真空中的電容率、相對電容率、電容率、電位移矢量及電場強度．

本文在平行板電容器的基礎上將進一步把上述公式應用到一般電容器，如：球形電容器、圓柱形電容器及孤立導體電容器等．文中還將從電荷系的靜電能公式[1]

(3)

給出求解一般電容器能量的第三種方法．上式中q及φ分別表示電容器所帶的電荷量及兩極板各自的電勢．

1 平行板電容器

如圖1所示，該平行板電容器的正對面積為S，兩極板間距為d，板間充滿相對介電常量為εr的電介質，所帶電荷量為Q.

圖1 平行板電容器

(4)

(5)

則由公式(1)及(4)可得出平行板電容器的能量為

(6)

由公式(2)及(5)也可得到平行板電容器的能量為

(7)

最后由公式(3)，同樣可得到平行板電容器的能量為

(8)

顯然，3種方法得到的結果是一致的．

2 球形電容器

一球形電容器如圖2所示，其內外球的半徑分別為R1和R2，兩球間充滿相對介電常量為εr的電介質.

圖2 球形電容器

其電容為

(9)

當電容器帶有電荷量Q時，根據高斯定律可得兩板間的電場強度為

(10)

兩極板間的電勢差為

(11)

此時，可用與上面類似的方法求出帶有電荷量Q的球形電容器所儲存的能量分別為

(12)

(13)

(14)

3 圓柱形電容器

一高度為l的同軸圓柱形電容器半徑分別為R1和R2，如圖3所示，兩極板間充滿相對介電常量為εr的電介質.

圖3 圓柱形電容器

其電容為

(15)

當電容器帶有電荷量Q時，兩板間的電場強度為

(16)

兩極板間的電勢差為

(17)

同理可求出帶有電荷量Q的圓柱形電容器所儲存的能量分別為

(18)

(19)

(20)

4 孤立導體電容器

以一個在充滿相對介電常量為εr的電介質空間中的半徑為R的孤立導體球面(帶電荷量為Q)為例，其電容為

(21)

周圍空間的電場強度為

(22)

電量所在處的電勢為

(23)

同理根據公式(1)～(3)及公式(21)～(23)可分別求出孤立帶電球面電容器的能量如下

(24)

(25)

(26)

5 結束語

通過以上推導，可以清晰看到公式(1)～(3)分別以電容、電場強度及電勢為主要物理量求出一般電容器所儲存能量的3種求法．在解題中可根據具體已知條件而運用相應的公式求解，這對于提高學生解題能力是有益的．

1 張三慧. 大學基礎物理學(第二版 下冊).北京: 清華大學出版社,2007

2 趙凱華，陳熙謀. 電磁學(第二版 上冊).北京: 高等教育出版社,1998

ThreeMethodsforCalculatingtheCapacitorEnergy

Zheng Shiyan

[CollegeofPhysicsandInformationEngineering,QuanzhouNormalUniversity,Quanzhou,Fujian362000;DepartmentofPhysics,TamkangUniversity,NewTaipeiCity25137,Taiwan(R.O.C.) ]

By using the energy formula of capacitor,the energy formula of electric field and the electrostatic energy formula of charge system, the energy stored in the capacitor is calculated.

capacitor energy;electric field energy;electrostatic energy

**泉州師范學院青年人才基金資助的課題．課題批準號：201604作者簡介：鄭世燕(1979- ),女,碩士,副教授,主要從事熱力學統計物理方面的研究.

2016-07-13)