一種利用子結(jié)構(gòu)綜合技術(shù)的模型修正方法

王 陶， 何 歡,2， 閆 偉，陳國平,2

(1.機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210016；2.南京航空航天大學(xué) 振動(dòng)工程研究所, 南京 210016)

一種利用子結(jié)構(gòu)綜合技術(shù)的模型修正方法

王 陶1， 何 歡1,2， 閆 偉1，陳國平1,2

(1.機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210016；2.南京航空航天大學(xué) 振動(dòng)工程研究所, 南京 210016)

提出了基于改進(jìn)自由界面子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法的結(jié)構(gòu)模型修正方法。首先給出了一種改進(jìn)的自由界面子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法，該方法通過構(gòu)造一組與系統(tǒng)低階模態(tài)加權(quán)正交的向量集，有效地解決了含有剛體模態(tài)時(shí)系統(tǒng)剩余柔度矩陣的求解問題。然后利用攝動(dòng)法對(duì)每個(gè)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行攝動(dòng)，并計(jì)算靈敏度，通過子結(jié)構(gòu)綜合技術(shù)得到由攝動(dòng)量表示的綜合系統(tǒng)方程和靈敏度方程，給出了基于靈敏度分析的修正計(jì)算方法。該方法僅需對(duì)綜合方程進(jìn)行修正，極大的減縮了待修正問題的計(jì)算規(guī)模，提高了修正效率。最后，以典型數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的有效性。

自由界面；子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合；攝動(dòng)法；模型修正

有限元模型修正技術(shù)是用來提高有限元模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性的有效方法。縱觀模型修正技術(shù)近幾十年的發(fā)展，主要可以分為矩陣型修正和參數(shù)型修正兩大類，由于采用參數(shù)型修正后的修正量物理意義明確，修正后的模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)程度大，因此是當(dāng)今主流的模型修正方法。

參數(shù)型模型修正問題通常被轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題進(jìn)行處理[1-2]，通過在優(yōu)化過程中不斷迭代更新靈敏度矩陣和修正參數(shù)來完成修正過程。然而，隨著當(dāng)今工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，機(jī)械結(jié)構(gòu)日漸趨于大型化、復(fù)雜化，進(jìn)而導(dǎo)致有限元模型的規(guī)模也越發(fā)龐大。采用傳統(tǒng)方法進(jìn)行修正，勢(shì)必需要在靈敏度分析過程中付出高昂的計(jì)算代價(jià)。為此，在迭代修正這一環(huán)節(jié)中，部分學(xué)者借鑒在優(yōu)化設(shè)計(jì)與可靠性分析中倍受重視的代理模型技術(shù)，使用代理模型來代替直接的有限元計(jì)算，實(shí)踐證明該方法可有效的解決復(fù)雜模型的分析效率問題。郭勤濤等[3]利用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)測(cè)試的響應(yīng)結(jié)果構(gòu)建了響應(yīng)面模型，論證了基于響應(yīng)面進(jìn)行結(jié)構(gòu)模型修正的可行性。SHYY等[4]對(duì)不同形式的響應(yīng)面擬合精度和效率進(jìn)行了研究，證實(shí)了雙層徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面具有較好的的擬合效果。YANG等[5]用Kriging響應(yīng)面和多目標(biāo)遺傳算法對(duì)大展弦比飛機(jī)進(jìn)行了模型修正，計(jì)算結(jié)果顯示基于響應(yīng)面的模型修正方法能在保證較高精度的基礎(chǔ)上大幅提高計(jì)算效率。

然而基于代理模型的模型修正方法同樣也存在其局限性。代理模型在構(gòu)建過程中不可避免的會(huì)引入近似誤差，而模型修正本身屬于一類不適定性問題，微小的擾動(dòng)可能造成修正結(jié)果與真實(shí)結(jié)果的偏離，因此代理模型的精度將直接決定修正效果。由于代理模型精度受制因素眾多，建模過程對(duì)于研究人員的經(jīng)驗(yàn)依賴較高，因此至今仍沒有統(tǒng)一的高精度建模規(guī)范可供參考，極大的限制了該模型修正方法的推廣。

基于以上原因，很多學(xué)者開始探尋其他高效的修正方法。近些年，部分研究人員將關(guān)注目光重新落在了子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法[6-8]這類傳統(tǒng)模型降階方法上，通過將子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法與模型修正問題相結(jié)合來提高大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)模型的修正效率。王毅等[9]將子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法與模型修正方法結(jié)合對(duì)星箭模型進(jìn)行了修正研究。張美艷[10]提出了一種新的求解特征靈敏度的結(jié)構(gòu)動(dòng)力重分析方法，并將求解特征值靈敏度的方法引入固定界面子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法中，推導(dǎo)出了固定界面子結(jié)構(gòu)綜合模型特征參數(shù)的一階和高階靈敏度綜合方程。侯吉林等[11]提出了一種以局部子結(jié)構(gòu)為修正對(duì)象的約束子結(jié)構(gòu)修正法。通過構(gòu)造出的約束子結(jié)構(gòu)柔度矩陣，運(yùn)用迭代優(yōu)化的方法修正約束子結(jié)構(gòu)模型。WENG等[12]提出了一種子結(jié)構(gòu)模型修正方法，對(duì)采用子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合得到的模型進(jìn)行了靈敏度分析。PAPADIMITRIOU等[13]基于子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法推導(dǎo)出了減縮修正方程，用減縮模型進(jìn)行每個(gè)修正迭代步的計(jì)算，大大提高了模型修正問題的計(jì)算效率。JENSEN等[14]將固定界面法與貝葉斯模型修正方法相結(jié)合，通過一個(gè)框架結(jié)構(gòu)對(duì)所提方法進(jìn)行了驗(yàn)證。以上的研究多為通過固定界面模態(tài)綜合法與模型修正相結(jié)合來提高模型修正的效率。然而在實(shí)際操作中，通常采用實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行修正，而實(shí)驗(yàn)中固定界面的邊界條件實(shí)現(xiàn)起來較為困難。于是開始有研究者嘗試將自由界面模態(tài)綜合法應(yīng)用在模型修正問題中。文獻(xiàn)[15-16]針對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析及常規(guī)的數(shù)值迭代算法運(yùn)算效率較低的問題，提出了在自由界面模態(tài)綜合法基礎(chǔ)上的模型修正方法。

針對(duì)實(shí)驗(yàn)中固定界面不易實(shí)現(xiàn)的問題，本文在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上提出了一種考慮剩余柔度的攝動(dòng)自由界面子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法。這種方法首先將結(jié)構(gòu)分為若干子結(jié)構(gòu)，采用攝動(dòng)法對(duì)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行攝動(dòng)，然后根據(jù)子結(jié)構(gòu)之間的界面協(xié)調(diào)條件推導(dǎo)出了含有模態(tài)參數(shù)攝動(dòng)量的綜合方程，通過減縮后的綜合方程可直接求解出特征值關(guān)于修正變量的靈敏度。由于交界面采用了自由界面的連接方式，所以可以采用實(shí)驗(yàn)室中易于實(shí)現(xiàn)的自由邊界條件的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，將求解出的靈敏度進(jìn)一步代入到優(yōu)化算法中對(duì)機(jī)翼結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行了修正。因?yàn)楸痉椒ㄖ苯俞槍?duì)減縮模型進(jìn)行修正，所以可以有效提高模型修正的效率。

1 子結(jié)構(gòu)攝動(dòng)方程

n自由度無阻尼離散振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為：

(1)

式中M和K∈Rn×n分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，u和f∈Rn分別為廣義位移向量和載荷向量。通過特征值分析可得到系統(tǒng)前l(fā)階模態(tài)向量Φl∈Rn×l。

根據(jù)攝動(dòng)法的思想，當(dāng)結(jié)構(gòu)修正變量參數(shù)發(fā)生小范圍的變化后，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛度、質(zhì)量矩陣也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的改變，假設(shè)結(jié)構(gòu)攝動(dòng)后的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣表示為：

K=K0+ΔK

(2)

M=M0+ΔM

(3)

式(2)和式(3)中K0和M0是原系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，ΔK和ΔM為是原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的攝動(dòng)量。同樣，結(jié)構(gòu)的模態(tài)向量也相應(yīng)改變，即Φl=Φ0l+ΔΦl。

(4)

滿足

(5)

來構(gòu)造一組與系統(tǒng)低階模態(tài)加權(quán)正交的向量集。

(6)

并將式(6)與考慮了攝動(dòng)量的結(jié)構(gòu)模態(tài)向量組代入式(4)和(5)得

φ=

化簡可得

(8)

若只保留一階微量，可得

(9)

式中，Φ0l是原始結(jié)構(gòu)系統(tǒng)前l(fā)階模態(tài)向量，ΔΦl是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)改變后系統(tǒng)前l(fā)階模態(tài)向量改變量。

u=Φβ

(10)

將結(jié)構(gòu)模態(tài)向量代入到結(jié)構(gòu)振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程，可以將方程化簡為：

(11)

其中：

(12)

(13)

(14)

由于系統(tǒng)低階模態(tài)向量和構(gòu)造的加權(quán)正交向量關(guān)于質(zhì)量矩陣正交，則易證明得到：

(15)

再結(jié)合式(5)可以將式(11)化簡為：

(16)

令

(17)

(18)

以上各式中的βl表示結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所要保留的低階模態(tài)坐標(biāo)，βh則表示結(jié)構(gòu)系統(tǒng)需要被縮減的高階模態(tài)坐標(biāo)。

式(16)中的第二式可以表示為：

(19)

將式(19)經(jīng)過Laplace變換后可以得到：

(20)

取式(20)中的一階近似，然后再進(jìn)行Laplace反變換后可以得到：

(21)

將式(21)代入式(10)中，化簡可以得到：

u=(Φ0l+ΔΦl)βl+Gf

(22)

式中G∈Rn×n為剩余柔度矩陣，表達(dá)式如下式：

(23)

這里在求解剩余柔度矩陣G時(shí)，避免了直接對(duì)系統(tǒng)矩陣K求逆的過程，很好地解決了結(jié)構(gòu)在自由-自由狀態(tài)下系統(tǒng)矩陣K不可逆而無法計(jì)算剩余柔度矩陣的問題。

假設(shè)子結(jié)構(gòu)的交界面上有m個(gè)自由度，且不考慮外力載荷的作用，將廣義物理坐標(biāo)按照內(nèi)部坐標(biāo)與界面坐標(biāo)進(jìn)行分塊處理，寫為如下形式：

(24)

將式(24)中的第二式展開進(jìn)行化簡，可以將界面坐標(biāo)表示為：

(25)

式中，Gjj∈Rm×m是結(jié)構(gòu)剩余柔度矩陣與界面自由度uj對(duì)應(yīng)的部分。

2 攝動(dòng)方程的綜合

假設(shè)這里以兩個(gè)子結(jié)構(gòu)a與b的連接為例，根據(jù)以上理論推導(dǎo)，由式(25)可以得到兩個(gè)子結(jié)構(gòu)的界面坐標(biāo)表達(dá)式：

(26)

(27)

由子結(jié)構(gòu)的位移連續(xù)性的協(xié)調(diào)條件和界面力平衡方程可以求解出界面力：

式中

(29)

綜合式(16)以及式(28)，可得系統(tǒng)的綜合方程為

(30)

式中

(31)

(32)

Mab=Mba=0

(33)

(34)

3 子結(jié)構(gòu)綜合模型靈敏度模型修正

3.1 子結(jié)構(gòu)綜合模型的靈敏度

求解子結(jié)構(gòu)綜合模型特征值靈敏度之前，必須先得到的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣對(duì)修正變量參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，表達(dá)式如下：

(35)

式中xj表示結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中第j個(gè)修正變量參數(shù)。

由式(34)可以計(jì)算子結(jié)構(gòu)綜合模型特征值的靈敏度：

(36)

當(dāng)求解子結(jié)構(gòu)綜合模型的靈敏度時(shí)，每個(gè)子結(jié)構(gòu)的修正變量參數(shù)是相互獨(dú)立的，即結(jié)構(gòu)的修正變量xj對(duì)整體系統(tǒng)的影響只與第j個(gè)子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣有關(guān)，與其他子結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)無關(guān)。所以在求解靈敏度的時(shí)候，與修正變量參數(shù)xj沒有關(guān)系的靈敏度都為零。只需計(jì)算與修正變量參數(shù)有關(guān)系的模態(tài)參數(shù)靈敏度。

3.2 子結(jié)構(gòu)綜合模型修正

模型修正可以轉(zhuǎn)化為式(36)所表示的求解修正變量最優(yōu)解的問題

(37)

目標(biāo)函數(shù)E(x)可以通過結(jié)構(gòu)特征量建立的，體現(xiàn)了待修正模型仿真計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值之間的差異。

(38)

式中fai和fsi分別為待修正模型與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)特征量，wi是各特征量的權(quán)系數(shù)，N是特征量數(shù)目。

通過靈敏度分析可以求解出目標(biāo)函數(shù)的梯度向量，確定優(yōu)化迭代的搜索方向，找到在搜索區(qū)間的最優(yōu)步長。

采用優(yōu)化迭代算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)分析，根據(jù)收斂條件判斷是否滿足修正指標(biāo)要求。

4 數(shù)值算例

4.1 某機(jī)翼有限元模型及子結(jié)構(gòu)劃分

如圖1所示的某機(jī)翼結(jié)構(gòu)有限元模型，圖2所示為其的內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖。

為了驗(yàn)證本文所提出方法的有效性，本文中將整個(gè)機(jī)翼結(jié)構(gòu)劃分為兩個(gè)子結(jié)構(gòu)，其中子結(jié)構(gòu)a(如圖3所示)包含548個(gè)殼單元，501個(gè)節(jié)點(diǎn)，總計(jì)3 006個(gè)自由度；子結(jié)構(gòu)b(如圖4所示)包含450個(gè)單元，424個(gè)節(jié)點(diǎn)，總計(jì)2 544個(gè)自由度。其材料屬性如表1所示。

表1 機(jī)翼結(jié)構(gòu)有限元模型材料屬性

圖1 機(jī)翼整體結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Aircraft wing structure

圖2 機(jī)翼模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)Fig.2 Internal wing structure

圖3 機(jī)翼子結(jié)構(gòu)a有限元模型Fig.3 Component a of wing structure

圖4 機(jī)翼子結(jié)構(gòu)b有限元模型Fig.4 Component b of wing structure

Tab.2 Comparison of the eigenvalues from the presented method and the full FEM Hz

首先采用子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法，對(duì)機(jī)翼模型進(jìn)行動(dòng)特性分析，分別提取子結(jié)構(gòu)前10、20和30階低階模態(tài)進(jìn)行子結(jié)構(gòu)綜合，然后與完全有限元模型(FEM)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

從表2可以看出，提取子結(jié)構(gòu)前20階低階模態(tài)進(jìn)行子結(jié)構(gòu)綜合已經(jīng)可以達(dá)到較高的計(jì)算精度。為了使修正結(jié)果更加精確，后文采用提取子結(jié)構(gòu)前30階低階模態(tài)的綜合模型進(jìn)行模型修正。

4.2 機(jī)翼有限元模型修正

這里采用梯度下降法對(duì)模型進(jìn)行修正，其算法的整體流程如圖5所示。

圖5 模型修正算法流程圖Fig 5.The flow chart of model updating

(1)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

采用MSC.Patran/Nastran建模并將其計(jì)算的結(jié)果作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果來對(duì)減縮后的模型進(jìn)行模型修正，因此后文將MSC.Patran中建立的模型稱為實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

這里通過前五階固有頻率來構(gòu)造優(yōu)化分析的目標(biāo)函數(shù)，記機(jī)翼試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷墓逃蓄l率表示為ωs，機(jī)翼減縮模型計(jì)算得到的固有頻率為ωa，則目標(biāo)函數(shù)為：

(39)

式中ωai是機(jī)翼有限元模型的第i階固有頻率，ωsi試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜏y(cè)試的第i階固有頻率。

(2)選擇修正變量

結(jié)構(gòu)修正變量在優(yōu)化迭代的過程中隨著迭代次數(shù)變化，結(jié)構(gòu)的固有特性也會(huì)隨著結(jié)構(gòu)修正變量參數(shù)發(fā)生改變。

圖6 各階模態(tài)頻率對(duì)修正變量的靈敏度Fig.6 Sensitivity of natural frequencies versus design variables

對(duì)于目標(biāo)函數(shù)E(x)的變化，以各個(gè)修正變量的取值范圍為約束條件，則其各個(gè)修正變量的變化范圍為：

2.0 mm≤x1≤5.5 mm

1.5 mm≤x2≤3.0 mm

2.0 mm≤x3≤5.5 mm

(40)

(3)迭代收斂條件準(zhǔn)則

目標(biāo)函數(shù)的前后相對(duì)誤差滿足收斂容差：

(41)

(4)機(jī)翼模型修正結(jié)果分析

圖7給出了無量綱化處理的前五階固有頻率以及目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化曲線。為便于對(duì)照，采用式(41)和(42)對(duì)頻率以及目標(biāo)函數(shù)值分別進(jìn)行了歸一化處理。

(42)

(43)

式中ai為要進(jìn)行歸一化的變量，其原本所處的區(qū)間為[a1ia2i]，bi為歸一化后的變量，其所處的區(qū)間為[-1,1]。

圖7 固有頻率與目標(biāo)函數(shù)值的歸一化迭代曲線Fig.7 Normalized natural frequencies and E(x)

從圖7中可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加目標(biāo)函數(shù)逐漸收斂，而各階固有頻率值逐漸趨向于修正值。

表3列舉了所選修正變量在修正前后數(shù)值的對(duì)比，可以看出翼肋厚度的變化最為明顯。從表4中所列舉的數(shù)據(jù)可以看出，機(jī)翼結(jié)構(gòu)模型修正后的固有頻率與試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷那拔咫A固有頻率誤差很小，很好地說明了本文方法的有效性。

表3 機(jī)翼結(jié)構(gòu)模型修正前后修正變量值對(duì)比

如圖8所示，通過優(yōu)化算法進(jìn)行迭代計(jì)算，機(jī)翼結(jié)構(gòu)模型的前五階固有頻率與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ烷g的誤差都明顯減小。另外，運(yùn)用本文方法對(duì)機(jī)翼結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行修正的計(jì)算時(shí)間約為直接對(duì)整體機(jī)翼結(jié)構(gòu)進(jìn)行修正時(shí)間的45%，說明采用本文的方法可以有效提高模型修正的計(jì)算效率。

圖8 機(jī)翼結(jié)構(gòu)模型修正前后的固有頻率誤差對(duì)比Fig8. Errors of natural frequencies of wing before and after updating

模態(tài)階數(shù)12345有限元模型/Hz修正前24．45118．24149．74156．34246．04修正后25．18121．81153．41160．93264．38試驗(yàn)?zāi)Ｐ?Hz25．19121．56154．15161．23265．05誤差/%修正前2．942．732．863．037．17修正后3．97×10-50．210．480．190．25

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于改進(jìn)自由界面子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法的模型修正方法。該方法在進(jìn)行模態(tài)綜合的過程中通過構(gòu)造一組與保留模態(tài)關(guān)于系統(tǒng)矩陣加權(quán)正交的向量集，使得在求解剩余柔度矩陣時(shí)避免了直接對(duì)剛度矩陣求逆，很好地解決了含有剛體模態(tài)時(shí)剩余柔度矩陣的求解問題。從而可以采用較為容易實(shí)現(xiàn)的自由邊界條件的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為修正數(shù)據(jù)。

然后采用攝動(dòng)法的思想推導(dǎo)了考慮攝動(dòng)量的模態(tài)綜合方程，并通過得到的綜合方程構(gòu)造了用于模型修正的靈敏度矩陣。采用減縮后模型所求得的特征值構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，并通過優(yōu)化算法進(jìn)行迭代求解以達(dá)到模型修正的目的。

最后通過數(shù)值算例對(duì)本文提出的方法進(jìn)行了驗(yàn)證。從計(jì)算結(jié)果可以看出，采用本文提出的方法進(jìn)行模型修正是有效的。并且由于采用了子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法對(duì)模型進(jìn)行了減縮，使得采用優(yōu)化算法進(jìn)行迭代計(jì)算時(shí)的效率有了較大提升。

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Model updating approach based on improved component mode synthesis

WANG Tao1, HE Huan1,2, YAN Wei1, CHEN Guoping1,2

(1.State Key Lab of Mechanics and Control for Mechanical Structures, Nanjing 210016, China;2. Institute of Vibration Engineering Research, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

A model updating technique based on improved free-interface component mode synthesis was proposed. By constructing weighted-orthogonal vector sets which have weighted-orthogonal relationship with the lower retained modes, it is easier to obtain the residual flexibility attachment matrix. Each of the components was analyzed by perturbation method. Then the modal equation and the sensitivity equation of whole system were derived by using the component mode synthesis method. The model updating method based on sensitivity analysis proposed in the paper greatly reduces the model scale and improves the computational efficiency. The application of the proposed model updating method in a wing model calculation demonstrates that the presented method is effective.

free-interface; component mode synthesis; perturbation method; model updating

國家自然科學(xué)基金資助(11472132); 中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)資助(NS2014002); 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(南京航空航天大學(xué))自主研究課題資助(0113Y01); 江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助

2015-03-27 修改稿收到日期：2015-12-24

王陶 男，博士，1987年生

何歡 男，副教授，1978年生 E-mail:hehuan@nuaa.edu.cn

O321; TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.02.024