粗糙結合面法向接觸的能量耗散與阻尼特性研究

王慶朋， 張 力， 唐志剛， 羅求順

(重慶大學 汽車工程學院，重慶 400044)

粗糙結合面法向接觸的能量耗散與阻尼特性研究

王慶朋， 張 力， 唐志剛， 羅求順

(重慶大學 汽車工程學院，重慶 400044)

為了能夠預測粗糙結合面法向接觸的能量耗散和阻尼的變化規律，在Hertz和Abbott-Firestone經典接觸模型的基礎上，提出了一種加載-卸載混合彈塑性接觸模型。首先，研究單個微凸體在完全彈性和塑性接觸狀態下的受力特性，推導出混合彈塑性狀態下接觸面積和力的數學表達式，進而研究能量變化規律和接觸阻尼特性。然后，通過文獻中的實驗數據，并且和完全彈性、塑性狀態下的接觸模型進行對比，驗證了該模型的有效性。在此基礎上，分析能量耗散和法向接觸阻尼與法向變形量、硬度以及硬度指數的關系。結果表明，結合面能量耗散隨著法向變形量的增加而變大，而法向接觸阻尼隨之減小；在法向變形量一定時，接觸阻尼隨著材料硬度的增加而變大，而硬度指數的影響很小。

粗糙結合面；混合彈塑性；能量耗散；法向接觸阻尼

在機械系統中，結合面起著傳遞運動、載荷和能量的作用，其接觸狀態對系統的動態特性、摩擦與磨損性能以及裝配可靠性等都有著至關重要的影響。國內外學者對結合面的接觸參數進行了大量的實驗分析和理論研究。文獻[1-2]通過實驗獲得結合面的法向接觸參數，結果表明，法向接觸剛度和阻尼與表面幾何形貌、結合面的材料、接觸介質以及載荷等因素有關。在計算模型中主要采用經典接觸力學、分形理論以及有限元方法等。趙宏林等[3]從基本的動力學方程出發，基于能量守恒原理，推導出單平面結合部阻尼的表達式。張學良等[4-5]基于接觸力學理論和分形理論推導出結合面法向損耗因子和接觸阻尼的計算模型。邵毅敏等[6-7]采用有限元方法對動力系統的非連續粗糙單一和多界面的接觸變形和能量損耗特性進行了研究。

在已有文獻中，微凸體的變形機制主要有完全彈性、完全塑性和彈性-混合彈塑性-塑性等，但是，對于實際工程結構表面輪廓，由于其具有非平穩隨機性、自相似性和多重尺度特性，這就造成兩表面在初始接觸時，已經有更小尺度的微凸體發生了塑性變形，只是所占的比重很小；隨著法向載荷的增加，微凸體內部的應力狀態將會發生再分配，當變形量足夠大時，幾乎呈現為完全塑性變形，同時，部分材料會表現出應變硬化的現象。除此之外，從動態的觀點來考慮，未包含卸載過程的接觸模型是不完整的。鑒于此，為了更加真實地反映實際微凸體的接觸狀態，基于一種加載-卸載混合彈塑性機制的接觸模型，研究法向能量耗散和接觸阻尼與法向變形量、材料硬度以及硬度指數的關系。

1 模型的建立

1.1 模型假設

本文模型的建立是基于以下幾個假設條件：

(1)接觸物體的材料是各向同性的；

(2)兩球體在法向正接觸；

(3)忽略球體在變形過程中的摩擦力；

(4)不考慮相鄰球體之間的耦合作用；

(5)不考慮溫度和介質等因素的影響。

根據GW模型的建模方法[8]，接觸物體的參數為彈性模量Ei、泊松比νi和接觸半徑ri(i=1,2)，兩球體接觸可以視為一等效球體和一剛性平面的接觸，如圖1所示。等效彈性模量和等效半徑的計算如下所示：

(1)

(2)

圖1 粗糙表面接觸模型及其等效模型Fig.1 Contact model of rough surfaces and its equivalent model

1.2 完全彈性接觸

根據HERTZ接觸理論[9]，TATARA等[10]通過實驗驗證了此理論在小變形量時的正確性，球體的實際接觸面積Ae和平均接觸力Fe為

Ae=πrδ

(3)

(4)

式中，δ為法向變形量。

對式(4)關于法向變形量δ進行求導，可得法向接觸剛度

(5)

于是，完全彈性狀態下的法向接觸剛度為

Ke=2Er1/2δ1/2

(6)

通過材料的布氏硬度計算出初始屈服點接觸壓應力

py=CH

(7)

式中：C是常量，H為材料的布氏硬度，在計算過程中取較軟材料的硬度。

由式(3)、(4)和(7)可計算出初始屈服點的法向變形量

(8)

對應的法向接觸剛度為

(9)

1.3 完全塑性接觸

對于完全塑性屈服點的計算，TABOR[11]在研究材料的硬度時，發現

(10)

式中

σy=min[σy1,σy2]

(11)

式中σy1、σy2分別為兩接觸物體材料的屈服強度；

p0=Hg106

(12)

式中g為重力加速度，這是為了將布氏硬度的單位kgf/mm2轉化為應力的單位Pa。

完全塑性狀態下的接觸面積和接觸力[12]為

Ap=2πrδ

(13)

Fp=2πrδp0

(14)

根據式(5)和(14)，可得完全塑性狀態下的法向接觸剛度為

Kp=2πrp0

(15)

1.4 混合彈塑性接觸

工程表面輪廓具有非平穩隨機性、自相似性和多重尺度特性，其等效曲率半徑是通過擬合得到的一條光滑曲線，如圖1所示，與原始表面輪廓的處處連續但不可導的特性有很大不同。當實際微凸體發生初始接觸時，已經有更小尺度的微凸體發生了塑性變形，這時等效球體中應該既存在彈性接觸也存在塑性接觸。隨著變形量的增加，彈性變形量比重逐漸減少，而塑性變形量比重隨之增多。當變形量足夠大時，在宏觀上表現為塑性變形，實際的表面上總有一些相對較小的微凸體處于初始接觸狀態，也就是說，在塑性變形階段同樣存在彈性變形，同時，材料會表現出應變硬化的現象。此外，在宏觀初始屈服臨界點和完全塑性屈服點，接觸面積和接觸壓力應該連續和光滑，并且單調增加，不應有突變。

為了表征微凸體中彈性和塑性狀態所占比例的變化，通過對比分析常見的數學函數，如多項式、指數與對數、三角函數與反三角函數以及雙曲函數與反雙曲函數等曲線的特點，最后選擇了反正切函數，構造一組函數：

(16)

式中，n為Meyer硬度指數。

通過反正切函數的性質可知，這兩個函數滿足連續性、光滑性和單調性，并且各自有兩條漸近線，第一條對應較小變形量下的接觸狀態，分別出現快速的下降和上升；第二條對應較大變形量下的接觸狀態，兩曲線均趨于水平；在初始屈服點附近，曲線發生急劇變化。這樣，這兩個函數可分別表示接觸球體內部彈塑性狀態的變化。

由以上分析可導出等效球體的接觸面積和接觸力

A=f1(δ)·(πrδ)+f2(δ)·(2πrδ)

(17)

(18)

1.5 卸載過程

在卸載過程中，文獻[13-15]均將其視為彈性過程，并且不存在反向屈服現象，在完全彈性和完全塑性變形機制下，均有

(19)

式中，rd為變化的曲率半徑；δr為殘余變形量。

為了表征rd和δr這兩個變量，BRAKE[14-15]通過加載過程中的最大變形量δm和最大受力Fm，得到

(20)

(21)

1.6 能量耗散與法向接觸阻尼

在加載過程中，通過對結合面做功，從而使結合面處的變形體獲得能量，卸載時，由于塑性變形的影響，使得結合面處的能量一部分消耗于變形體的彈性恢復，另一部分轉化為材料內部組織的移動和熱能，使得結合面處表現出遲滯特性。在加載和卸載過程中，得到相應的接觸力-法向變形量曲線，曲線形成封閉區域的面積即為結合面上耗散的能量。

完全彈性接觸狀態下儲存的能量為

(22)

完全塑性接觸狀態下耗散的能量為

(23)

對于混合彈塑性接觸狀態下耗散的能量為

(24)

對于實際中結合面處的阻尼損耗因子

(25)

假設球體材料的質量為m，同時，忽略完全塑性狀態下的法向接觸剛度，則臨界阻尼系數為

(26)

根據阻尼損耗因子和阻尼比之間的關系

η=2cn/c0

(27)

由式(25)和(27)，可得

(28)

于是，可得到單位質量量綱一的法向接觸阻尼

(29)

2 模型的驗證

2.1 模型的無量綱化

為了便于本文模型的驗證，有必要進行量綱一化，將模型中的變形量、接觸面積和加載、卸載時的接觸力，分別用初始屈服點處相應的變量進行量綱一化。量綱一化后的方程為

(30)

(31)

(32)

式中，δ*為量綱一的變形量。

由于本文模型存在著不確定因素:①C的取值，即初始屈服應力和硬度的關系，有關C的取值[15]，TABOR等取為0.4，CHANG等取為0.6，KOGUT取為0.577，本文模型計算中C取為0.6；② 兩接觸物體之間的作用方式，法向正接觸和側接觸的結果肯定是有差別的；③ 在壓縮過程中，如果兩個彈性特性不同的物體接觸，由于兩個物體的橫向膨脹，會存在相對位移，這就產生了摩擦力。此外，根據TABOR的觀點[11]，摩擦因數也不是一成不變的；④ 微凸體之間的相互作用，楊楠等[16]利用有限元方法對多粗糙峰進行了彈塑性接觸分析，發現中心接觸區的變形受到一定數目臨近粗糙峰的影響。除此之外，還有實驗環境和測試過程所帶來的不確定性，需對f1(δ)和f2(δ)進行略微的修正，修正系數的范圍為1±0.05，在以下的單個球體模型驗證中，均將f2(δ)乘以1.047。

2.2 模型的對比

為了驗證本文模型的有效性，采用文獻[17]中的實驗數據，JAMARI等通過金剛砂平板分別對鋁合金球和銅球進行壓縮實驗，測試試件的幾何和材料數據如表1所示。由于該實驗未分析壓縮球的卸載過程，為了補充卸載過程中壓縮球的受力特性，分別對兩種不同材料的壓縮球進行等間隔卸載。將本文模型和完全彈性、完全塑性模型進行對比，如圖2所示。從圖中可以看出，對于鋁合金球和銅球的實驗數據，本文模型均表現出較好的吻合度，其中，鋁合金材料結果的平均誤差為6.2%，單點最大誤差為14%；銅材料結果的平均誤差為3.9%，單點最大誤差為11.5%。

對于較大的法向變形量，完全彈性狀態的接觸力要比完全塑性狀態的大得多，而本文模型要比完全塑性狀態的略小一些，這主要是由于變形過程中的應變硬化使接觸面積減小而造成的。

表1 JAMARI等所做實驗中測試試件的參數

3 計算結果與分析

3.1 能量耗散特性

以文獻[17]中的鋁合金材料為研究對象，不同接觸狀態下的能量隨著法向變形量的變化，如圖3所示。從圖中可知，能量是和接觸力對應的，隨著法向變形量的增加，完全彈性狀態儲存的能量和完全塑性狀態所耗散的能量均出現上升，但前者的增幅要大于后者，而實際接觸中對應的能量要比完全塑性狀態的略小一些。

圖2 接觸力-法向變形量曲線Fig．2Thecurvesofnormaldisplacementversuscontactforce圖3 能量變化的曲線Fig．3Thecurvesofenergyvariation

3.2 法向接觸阻尼特性

從式(28)可以看出，法向接觸阻尼與阻尼損耗因子、接觸基體材料的質量以及法向接觸剛度有關，由式(6)和(27)可計算出法向接觸剛度和阻尼損耗因子，如圖4所示。由圖可以看出，隨著法向變形量的增加，阻尼損耗因子單調減小，而法向接觸剛度單調增加，并且，兩條曲線的變化率均表現為逐漸減緩。

圖4 法向接觸剛度和阻尼損耗因子曲線Fig.4 The curves of normal contact stiffness and damping loss factor

圖5是不同硬度條件下法向接觸阻尼和法向變形量的關系，H分別為10、15、20、26和30 kgf/mm2，從圖中可以看出，法向接觸阻尼隨著法向變形量的增加而減小，與阻尼損耗因子的變化趨勢一致；在法向變形量一定時，法向接觸阻尼隨著硬度的增加而變大，從式(14)可知，完全塑性狀態下接觸載荷是和材料硬度成正比例的，也就是說，完全塑性狀態下的接觸載荷隨著硬度的增加而變大，這將消耗更多的能量，與之對應的法向接觸阻尼變大。此外，通過計算分析，硬度指數n對法向接觸阻尼的影響很小。

圖5 硬度對法向接觸阻尼的影響Fig.5 The effects of material hardness on normal contact damping

4 結 論

(1)根據微凸體變化的連續性、單調性和光滑性原理提出了一種加載-卸載混合彈塑性接觸模型，本文模型能夠較好地和文獻中的實驗數據吻合，用來計算能量耗散和法向接觸阻尼是可行的。

(2)完全彈性狀態儲存的能量和完全塑性狀態所耗散的能量隨著法向變形量的增加均出現上升，但前者的增幅要大于后者，而實際接觸中對應的能量要比完全塑性狀態的略小一些。

(3)法向接觸阻尼隨著法向變形量的增加而減小；在法向變形量一定時，法向接觸阻尼隨著硬度的增加而變大；硬度指數對法向接觸阻尼的影響很小。

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Energy dissipation and damping characteristics analysis on the normal contacts of rough joint surfaces

WANG Qingpeng, ZHANG Li, TANG Zhigang, LUO Qiushun

(College of Automotive Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

Based on the Hertz and Abbott-Firestone contact models, a mixed elastic-plastic model for two rough surfaces subjected to loading and unloading was developed to predict their energy dissipation and normal contact damping. The math models of contact area and force in the mixed elastic-plastic contact mode were derived using the theory of single asperity deformed elastically and plastically, and then the energy variation and contact damping characteristics were further investigated. Subsequently, the proposed model was validated through experimental results reported in the literature, and compared with the purely elastic and purely plastic contact models. On this basis, the energy dissipation and normal contact damping were studied under the conditions of different normal displacement, hardness of material, and hardness exponent. The results reveal that the energy dissipation increases with the increase of normal displacement, but the normal contact damping decreases. The normal contact damping increases as a result of the increase of hardness of material, and it changes slightly along with the change of hardness exponent at given normal displacement.

rough joint surfaces; mixed elastic-plastic model; energy dissipation; normal contact damping

國家自然科學基金資助項目(51175530)

2015-08-28 修改稿收到日期：2016-01-05

王慶朋 男，博士生，1987年1月生

張力 男，教授，博士生導師，1968年10月生 E-mail:zhangli20@cqu.edu.cn

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.02.021