單面瓦楞機光輥機構動力學分析

尚 雯, 杜群貴

(華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣州 510640)

單面瓦楞機光輥機構動力學分析

尚 雯, 杜群貴

(華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣州 510640)

單面瓦楞機在成型的過程中存在較大的振動，為了分析振動的原因及減振，對單面瓦楞機的關鍵機構——光輥機構進行動力學建模，發現推桿剛度不足，造成光輥機構的非線性。進行振動測試，驗證了動力學模型的正確性，得到單面瓦楞機振動的主要原因：單面瓦楞機在正常工作轉速范圍內，存在兩個共振頻率。最后對光輥機構提出改進方案，并仿真對比改進前后光輥機構在受迫振動下的振動位移，改進后的位移幅值降低了35.2%。研究結果為降低瓦楞機的振動提供了理論依據。

瓦楞機；光輥機構；動力學建模；振動測試

單面瓦楞機是瓦楞紙板生產線上關鍵的機器。光輥(又叫壓紙輥)是單面瓦楞機中的三大輥子之一，其主要作用是將面紙與已經成瓦楞型的芯紙粘合。隨著瓦楞機械和瓦楞機生產線的高速化發展[1]，以及對生產紙板寬度要求的增加，瓦楞機的機型在不斷改進。在改進的過程中瓦楞機會出現較大的振動，但是目前很少有學者對光輥機構進行單獨的動力學研究。

在瓦楞輥工作的過程中，由于嚙合方式不同于齒輪，每次只有一個齒嚙合，上、下瓦楞輥成型紙張時中心距是變化的，這也是沖擊存在的原因[2]。光輥與上瓦楞輥的嚙合是齒線與面的接觸，光輥在氣缸壓力下會保持與上瓦楞輥的壓緊，因此運動時會產生定量的中心距變動[3]。實際上，光輥與上瓦楞輥中心距的變動大小是隨著轉速變化而變化的，據分析見文中第2節。

引起單面瓦楞機的振動原因很多，光輥的沖擊是其振動的主要原因之一。本文主要是為了研究某型號單面瓦楞機光輥機構的運動對瓦楞機振動的影響，并且對光輥機構進行優化。

1 光輥機構動力學建模

瓦楞機三維模型的左視圖如圖1所示。圖中:4為光輥機構中的光輥，由于光輥較長，可以被簡化為簡支梁，故可以考慮建立其完整的動力學模型，如圖2所示為光輥機構三維模型平面化的視圖。

1-氣缸，2-限位桿，3-凸輪，4-光輥，5-光輥支架，6-上瓦楞輥，7-油缸，8-卡閘機架，9-下瓦楞輥，10-油缸，11-油缸12-油缸 圖1 瓦楞機裝配原理圖Fig.1 The assemble theory graph of corrugating machine

1、6-光輥支架，2、5-限位桿，3、4-氣缸，7-光輥圖2 光輥機構的簡化模型Fig.2 The simplified model of pressure roller mechanism

上瓦楞輥是主動輥，其與下瓦楞輥嚙合的過程中將芯紙成型為帶瓦楞的芯紙，之后上瓦楞輥帶著芯紙與光輥帶著的面紙進行粘合形成單面瓦楞紙。

由圖1中的構件1～5組成光輥機構完整模型如圖2所示，光輥7由光輥支架鉸接，可以看作簡支梁。圖中：光輥7的質量M及其轉動慣量J2；光輥支架1和6質量m及轉動慣量J1;油缸3和4的彈簧等效剛度K1；限位桿2和5的彈簧等效剛度K2;l1為光輥到鉸接點的長度；l2為光輥支架質心到鉸接點的長度；l3為限位桿到鉸接點的長度；l4為氣缸到鉸接點的長度。

由圖2(a)轉化到圖2(b)時，將油缸3和4等效為剛度K1的彈簧，而限位桿可以等效為剛度K2的彈簧。

圖2(b)中所建模型具有兩個自由度，分別是兩個光輥支架的轉角θ1、θ2，當瓦楞機工作的時候，上瓦楞輥帶著已經成型的涂著均勻漿糊的芯紙與光輥帶著的面紙相互粘合、貼緊，在此過程中光輥與上瓦楞輥沒有直接接觸，中間隔著芯紙、漿糊、面紙。粘合的壓力F要控制好，F過大，則紙張會被壓爛；F過小，則不能使芯紙與面紙很好的粘合在一起。F的大小是由限位桿和油缸共同決定的，其中限位桿與光棍機構是通過螺紋連接的，可以通過凸輪調整限位桿位置，防止紙張被壓爛，達到調整F的目的。

當瓦楞機正常工作時，與圖2(a)所示限位桿接觸的凸輪已經被完全固定的(不可以轉動)，此時將凸輪看作一個支撐點即可，由于光輥與上瓦楞輥之間有中心距的變化，所以當θ1>0時，限位桿2剛度K2=0，此時限位桿與凸輪脫離；當θ1>0時，限位桿2剛度K2≠0，此時限位桿與凸輪接觸。同理限位桿5的剛度變化也是如此。由于限位桿剛度K2是非線性變化，光輥機構動力學模型的求解變為非線性問題。阻尼C難以確定且其對固有頻率的影響較小，為簡化計算將其忽略。對于剛度K2分兩步研究，第一步按定值處理，后續再考慮其非線性因素。

研究機構的動力學特性，首先要研究其固有頻率及陣型，當激勵頻率等于固有頻率時，會有共振發生，所以設計及修改機構時要避開共振區。

本節首先計算光輥機構自由振動的固有頻率和陣型，之后再討論其受迫振動的情況。

對簡化的模型運用拉格朗日函數列方程。

設Qi為與廣義坐標qi(i=1,2,3，…，n)相對應的非保守力，L=T-V(T為動能，V為勢能)，由拉格朗日函數，拉格朗日第二類方程[4]的一般形式為：

(1)

下面計算光輥機構的固有頻率，其中qi對應于θ1與θ2，Qi=0；

對光輥7計算動能T，由兩部分組成，一部分是光輥質心平動的動能，另一部分是光輥繞質心轉動的動能：

對光輥支架1列T和V(勢能)：

對光輥支架6列T和V：

將以上計算得到的T和V代入式L=T-V和式(1)得到標準方程：

(2)

其中

以下是某型號瓦楞機的參數的具體值：

M=1 139.4 kg；J1=8.25 kg·m2；J2=584.47 kg·m2；

m=135 kg；K1=159 947.2 N/m；K2=45 560 N/m；

l1=368.787 mm；l2=385.947 mm；

l3=652.24 mm；l4=798.46 mm。

代入方程，求解得

然后將ωn1=10.75，ωn2=23.47分別代入式(4)計算得到陣型依次為：

非線性模型的求解過程比較復雜，有以下幾種方法：正規攝動法、多尺度法和線性平均法等。

結合本文光輥機構的模型，第三種線性平均法是最簡便的方法，模型中非線性的因素是K2，所以在計算非線性模型時，只需要將剛度矩陣線性化，質量矩陣不變，方程形式同式(2)。

在不考慮圖2～4中2-限位桿材料非線性的情況時，剛度矩陣中的K2，由于角位移而導致的剛度非線性[5-9]如下所示：

其中xe等于圖2(a)中2-限位桿的預壓縮量，為便于后續對剛度進行線性化計算，令振動角位移x=Acos(φ)，其中A為幅值，φ對應于限位桿變形得到的角度與圖2(b)中彈簧變形量有關的值，剛度K2可表示為

(3)

由式(3)可知當φe=0，光輥機構自身的非線性因素就會消失，即K2轉化為常量。所以精確確定瓦楞機正常工作時的限位桿初始變形量是很有必要的，上面的參數xe是一個近似值，通過測試可以找到精確值。

線性化過程如下：

由線性平均法一個周期內將K11線性化

式(2)轉化為

(4)

解得：

與前面用線性的方法求得的固有頻率相比，一階、二階固有頻率均有略微減小，陣型是一致的。而且隨著φe值的變化，K11會發生變化，固有頻率也會有變化。當φe接近零時，非線性的解就會逐步接近線性解。

2 振動測試

為了驗證前文中所建立模型的可行性，對該型瓦楞機整機進行振動測試實驗，由于本文只關注光輥機構的振動情況，所以重點研究光輥支架上的加速度傳感器測得的信號。振動測試所用儀器為東華振動測試儀DH5922N及其配套振動加速度傳感器和一個光電轉速傳感器。

加速度傳感器安裝在光輥支架上，光電轉速傳感器直接測量下瓦楞輥的轉速。由于測試現場環境的限制，嚙合頻率(由下瓦楞輥轉速轉化得到)每增加20 Hz，在該頻率下采樣10 s左右，采樣頻率5 120 Hz，所以測試結果中的振動峰值處的頻率會有一定的誤差。

圖3 光輥與上瓦楞輥一個周期嚙合的過程Fig.3 The mesh process of the pressure roller and the top corrugated roller in a mesh circle

圖3中做出了隨著上瓦楞輥轉動，光輥與其嚙合的過程，當圓頻率ω很小的時候，會有兩個上瓦楞輥的輥齒同時與光輥接觸；當ω逐漸增大到一個臨界值ω0后，會出現只有一個齒接觸的情況，即圖3中ωt=0時的狀態，ω0的取值與光輥機構所連接的油缸的響應速度有關，由此可以得出，光輥與上瓦楞輥的中心距的變動大小是隨著轉速變化而變化的，當達到轉速取ω0，中心距幾乎不再變化。

依據振動測試數據作圖4，其橫坐標為光輥與上瓦楞輥的嚙合頻率，由下瓦楞輥轉速轉化而來，縱坐標為光輥機構加速度峰峰值，該值為在某嚙合頻率下測試的最大值幅值，因此圖4可以看作是光輥機構振動的幅值圖。

圖4 振動測試加速度峰峰值圖Fig.4 Peak-to-peak value graph of the acceleration of vibration test

由圖4可知，峰峰值隨著轉速增大先增大，再減小，可驗證前面提到的中心距在到嚙合頻率達臨界值ω0時就不再變化。因此可以判斷光輥機構在嚙合頻率為217 Hz左右時出現共振。為了分析共振的原因，在嚙合頻率為217 Hz時，對此時采集的加速度信號進行傅里葉變換(FFT)、細化分析[10]以及Hilbert解調分析如圖5。

圖5 加速度信號頻譜分析Fig.5 The spectral analysis of the acceleration signal

圖5所示的FFT變換分析采樣分析點數為40 539個點，細化的中心頻率在217 Hz，細化倍數50倍，頻譜的細化可以得到更加精確的共振頻率和調制頻率對應的幅值，圖5中細化頻率216.3 Hz處的峰值比未細化時的峰值要精確一些。而Hilbert變換可以提取精確的調制頻率。

由光電轉速傳感器間接得到的嚙合頻率217 Hz與振動加速度頻譜分析得到的基頻216.3 Hz基本一致，由此可以得出瓦楞輥的嚙合是光輥振動的振源。

從振動加速度信號中發現嚙合頻率周圍存在對稱分布的變頻帶，由此可以判斷光輥振動中存在幅值調制[11-12]，調制頻率為1.64 Hz，經過分析發現該調制信號來自下瓦楞輥的轉頻，而下瓦楞輥與光輥并不直接接觸，所以光輥振動的調制頻率應該是由上瓦楞輥傳上來的，其與上瓦楞輥和光輥之間的嚙合頻率疊加，得到振動測試中的信號成分。而這個調制頻率與上一節建立的光輥機構非線性動力學模型的一階固有頻率1.69 Hz非常接近，可以斷定光輥機構在激振頻率為1.64 Hz左右(因為測試頻率間隔較大所致)的時候出現共振，同時也說明非線性的模型計算得到的結果更為準確。

3 對光輥機構的改進方案

3.1 改進方案的提出

光輥的改進可以有兩種方案，方案一：將限位桿改為油缸以實現限位的作用，為了控制面紙與芯紙之間的粘合力F，還需要采用控制閥對兩個油缸的流量或者壓力進行控制，此方案成本高、復雜，如果使用得當會有很好的減振效果；方案二：在限位桿與凸輪接觸的位置安裝減振器，這個方案簡單，成本低，需要配合較高的工藝和裝配，才能使限位桿處消除沖擊。

綜合考慮，本文采用方案二，在限位桿處安裝減振器會直接改變限位桿處的剛度K2的值，在MATLAB中作出光輥機構固有頻率隨著K2變化而變化圖。

由圖6曲線可以看出，隨著剛度K2增大，光輥機構的一階和二階固有頻率不斷增大，理論上可以通過增大或者減小光輥機構的固有頻率避開瓦楞機正常工作時的頻率。如果考慮通過減小光輥機構的固有頻率來使其二階固有頻率小于瓦楞輥(調制頻率的來源)的轉頻，由圖6可知，這會使K2的值過小而導致光輥機構的運動位移增大，不利于系統的穩定，說明減小光輥固有頻率是不可行的。所以本文考慮通過增加光輥機構的固有頻率來達到要求。

圖6 光輥機構固有頻率隨著K2變化圖Fig.6 The natural frequencies of the pressure roller mechanism vary with the value of K2

要增大固有頻率即增加K2的值，只需要增加限位桿的直徑，這在生產上是簡單易完成的。

瓦楞機正常工作時瓦楞輥的轉頻(振動測試時的調制頻率)比較接近光輥機構的頻率，雖然現在瓦楞機朝著高速化的方向發展，但是考慮到該型號瓦楞機的線速度目前還達不到400 m/min(其對應瓦楞輥的轉頻為6.5 Hz)所以本文通過增大K2至3.88×106N/m以增加光輥機構自身的固有頻率使其大于瓦楞輥工作時的轉頻，以此來改善瓦楞機振動狀況。結果對比如表1所示。

表1 光輥固有頻率對應剛度K2表

3.2 改進前后仿真計算對比

為了對比光輥機構改進前后仿真計算振動的結果，首先找一組實驗數據作為參照，依據該位移倒推出光輥振動過程的激勵力。

實際工況下，瓦楞機最常見的線速度為150 m/min，對應的下瓦楞輥轉頻為2.45 Hz，提取此時的光輥振動位移信號如圖7所示。

圖7 提取振動測試中的調制信號Fig.7 Modulation signal extracts from the vibration test

由圖7可得其位移的最大值為0.014 mm，以此作為參考，對比光輥在剛度K2改變前后，在相同的受迫力F(t)下，其穩態位移的改善情況。

由圖7中振動加速度的測試數據提取的粗實線可以看出在時域上位移存在明顯的幅值調制，受迫力F(t)隨著光輥與上瓦楞輥中心距的變動出現浮動，上瓦楞輥對光輥的激勵信號由嚙合頻率及其倍頻與下瓦楞輥的轉頻疊加形成的。

因此假設力F(t)按照三角函數的規律變化，令

F(t)=

其中，ω1=2π×2.45 rad/s為調制圓頻率，ω2=132ω1(132為齒數)為載波圓頻率。取F(t)>0的部分如圖8，F(t)是均布力，仿真時設置的采樣頻率也是5 120 Hz，可以等價為直接在光輥軸兩端的光輥支架上對應位置施加F(t)/2的力，由于粘合力大小不能精確計算，取一個近似值F0=3 688 N。

圖8 力F-t圖Fig.8 The graph of force F to time

同理由拉格朗日函數(1)列方程得

其中力矩M(t)=F(t)×l1，F(t)可以由諧波分析法(傅里葉級數)轉化一系列諧波的疊加，F(t)的常量產生的位移可以通過平移消除，所以這里不考慮常量的影響。由第2節可知，該系統可以轉化為線性系統，可用疊加法，即分別求得各個分量對應的穩態響應x1，x2，x3，x4，……,之后將這些穩態響應疊加得到穩態振動位移x。

在MATLAB進行求解，分別令K2=4.56×105N/m和3.88×106N/m進行計算得到位移x如表2。

表2 位移隨著K2變化表

振動測試得到的位移與未改進時仿真計算的結果較為接近，說明仿真計算中用到的力F(t)是較為準確的，對剛度比改進前后的位移，發現最大位移減少了35.2%，說明可以起到一定的減振作用。由圖6知K2越大，則光輥機構的固有頻率越大，即遠離激振頻率。由此可見K2在一定范圍內是越大越好，由于限位桿的尺寸限制，K2只需滿足要求即可。

4 結 論

由于限位桿可能有非線性存在，本文分別建立線性和非線性光輥機構的動力學模型，前者計算得到的光輥機構的固有頻率略大于后者的計算結果，在一定條件下非線性可以轉化為線性。振動測試實驗得到的共振頻率與動力學模型計算的結果是一致的，說明該模型是可行的。

最后又根據該模型對光輥機構提出了改進的措施，通過增大限位桿的剛度K2將光輥機構的固有頻率提高到6.5 Hz以上，避開下瓦楞輥轉頻(調制頻率)的頻率范圍，并仿真計算光輥機構在剛度K2改變前后的受迫振動位移的變化，對比發現改進后的機構振動位移降低，對降低單面瓦楞機的振動起到積極的作用。

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Dynamic analysis on the pressure roller mechanism of the single-sided corrugating machine

SHANG Wen, DU Qungui

(School of Mechanical and Automative Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China)

In the process of paper forming, serious vibration is usually existing in a single-sided corrugating machine. In order to analyze the causes of vibration and thus reduce it, a dynamic model was set up to study the key mechanism of the single-sided corrugating machine—the pressure roller mechanism. The simulation results show that it is the insufficient stiffness of the push bar which causes the nonlinearity of the pressure roller mechanism. An additional experiment was carried out to verify the validity of the dynamic model, from which the main reason resulting in the vibration of the machine was revealed. It turns out that the single-sided corrugating machine has two resonance frequencies when it works within the normal rotating speed range. Finally, an improvement solution was proposed to control and reduce the vibration by increasing the stiffness of the push bar. Simulation comparisons show that the forced displacement of the mechanism is reduced by 35.2 percent using the improvement solution, which provides a theoretical reference for reducing the vibrations of corrugating machines.

corrugating machine; pressure roller mechanism; dynamics model; vibration test

廣東省省部產學研項目(2012B091000140);廣東省省級科技計劃項目(2013B010203016)

2015-08-13 修改稿收到日期：2015-12-31

尚雯 男，碩士生，1989年12月生

杜群貴 男，博士，教授,博士生導師，1965年6月生 E-mail：ctqgdu@scut.edu.cn

TH132.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.02.012