剖析個案，感悟類比思維之魅力

文︳易大中 宋紅霞

剖析個案，感悟類比思維之魅力

文︳易大中 宋紅霞

學生個案

“老師，我通過了二中創新班的考試！”QQ上出現了一條報喜的信息，也就意味著一場面對市初三學生進行的50名精英選拔考試，學生陳通過了！學生陳在我五年的數學教學中，是一個總能給我的課堂帶來精彩的學生。停下手中的活，師生之間開始了一番對話。

【對話摘要】2016年6月，學生陳臨近初中畢業。

生：老師，我通過了二中創新班的考試！數學好難，但是考得不錯！

師：哇，你好棒！恭喜你！

生：您還記得嗎？曾經我提出一猜想：扇形面積就是弧長乘半徑除以2！其實那個圓環面積也可以是（內圓周長+外圓周長）×（外圓半徑-內圓半徑）÷2。說扇形可以理解為曲邊三角形，圓環就可以理解為曲邊梯形。這些都是一條藤上的。（傳過來兩張圖，如圖所示）式子展開后與標準算式一致。

……

看著他傳過來的兩張圖和兩句話“這些都是一條藤上的”“式子展開后與標準算式一致”，震撼之余，作為教師的我也陷入了沉思，三年前精彩的一幕又再現眼前。

【精彩回放】2013年6月，學生陳臨近小學畢業。

正在進行平面圖形面積整理與復習教學，學生陳一臉疑惑地舉著手。往往此時，我都會給他機會，因為作為一個愛提問題的孩子，他的問題總能帶給我們一次精彩的辯論或有意義的探究活動。果不其然——

生：我猜想扇形面積就是弧長乘半徑除以2，對不？

師：說說你猜想的理由。

生：在圓面積公式推導過程中，我們可以設想將圓剪成很多個等分的三角形再拼成一個長方形，兩個一樣的扇形同樣可以拼成長方形，面積不就是弧長乘半徑除以2？

正當我想回應時，他接著說：“如果是對的，那么圓的面積也可以是圓周長乘半徑除以2！”……從猜想的理由，到“如果……那么……”的推理，很明顯，他是對的。

至于對話中提過“圓環面積就是內外兩個圓的周長乘半徑差除以2”一事，的確問過，只記得當時有個學生說“這也太復雜了吧！”而我可能因為從沒去想過，或是認同了后者說的復雜，“敷衍了他”。現在想想實覺慚愧！

剖析與思考

再思考與學生陳的對話和片段回想時，一個關于數學思維能力的核心詞“類比思維”突顯在腦中，再加以剖析，對于類比思維的認識也隨之越來越明晰。

學生陳根據類比，認為扇形與圓形都可以等分成若干個小三角形再拼成一個長方形，將圓面積公式推導方法遷移到扇形面積公式推導上，這就是合情推理中的類比推理。類比推理就是依據兩個對象之間有著某些相同或相似的屬性，推出它們存在其他相同或相似屬性的思維方法。根據學生陳的思維呈現，類比推理可以表示如下：

這樣看來，一個類比原型應該包括新問題和原問題兩個部分。原問題與新問題之間是平行的，在解決新問題之時聯想到與之相似的原問題，通過已經掌握的、非常熟悉的原問題，類比解決新問題。

波利亞曾形象地說：“類比是一個偉大的領路人。”通過學生陳，我才真正明白這句話的意義所在：一是類比能促進學生自主學習與創新意識的培養；二是像學生陳將所有平面圖形想象成一個梯形，根據這些平面圖形的相似性，類比推理得出最基本的面積公式“（上底+下底）×高÷2”的行為，能建構完整的數學知識結構，形成知識網絡。這應該就是類比的魅力所在，這魅力也讓我對類比思維的滲透與引導有了一些思考。

1.引導學生運用類比思維之時，注重作類方法整理。

數學課程的各個領域都提供了豐富的讓學生生成類比思維的素材。教學中，我們應該充分調動學生的已有經驗，引導學生運用自己認為與當前學習內容相似的、已學會的知識與方法進行學習。如，小數、分數的運算定律的學習，可以引導學生回憶整數運算定律的建構過程再進行自主探究，最后通過回顧與整理，有意識地讓學生形成“辨別—分化—類化—抽象—檢驗—概括—符號化”的概念學習類方法。這種類方法才是剔除知識之外，最有價值的科學研究元素。

2.學生自主建構類比之時，注意給予時空驗證。

從學生陳的學習行為來看，類比既是一種探究新問題的方法，更體現了他的一種思維能力。當他自我建構類比之時，對于他自我的認識有一定的解釋權。但這種認識僅是一種有依據的猜想。對此，教師更應該給予時間和空間，協助他在合作討論和評價中得以驗證。如，當他自主類比得出扇形面積就是弧長乘半徑除以2時，我給予了一節課時間，讓學習小組展開探究。驗證時，有的組運用假設法，先求出半徑是4厘米的的圓面積，再用弧長乘半徑除以2，然后比較結果是否一樣來求證猜想；也有的組就像分割圓形一樣，將扇形分割成若干個小三角形，再拼成一個近似的長方形，推想出扇形面積就是弧長乘半徑除以2。通過自主探索，學生深化了認識，類比聯想到，“圓的面積也可以等于圓周長乘半徑除以2”的結論。當學生陳的類比思維讓其他同學經歷了大膽猜想、主動探究、細心驗證的過程時，不僅加深了大家對圓的面積和周長公式之間轉換關系的理解，更收獲了運用類比揭示規律的喜悅，增強了學習數學的樂趣。

3.運用類比思維建構的知識網絡，作橫縱引導。

當知識構建成網絡，知道知識之間的內在聯系時，學生就能從更高的角度整體把握知識，使知識得到橫向拓寬或縱向遞進的深化。比如，學生陳運用類比思維對平面圖形面積的整理與建構，我們可以思考立體圖形體積的整理與建構，其中就圓柱體積的探究，運用類比，可以充分調動學生回顧原問題長方體、正方體體積公式探究過程，產生對新問題圓柱體積公式的猜想：圓柱體積也是底面積乘高。在給予充足的時空驗證時，又可以以此為新問題，讓學生聯想相似的原問題——圓面積公式的推導，通過剪拼將圓柱體轉換成長方體，找尋聯系，得出結論。在作整體建構時，讓學生思考為什么都可以是“立體圖形的體積等于底面積乘以高”？如果是這樣，那么圓錐的體積還能是底面積乘高嗎？……這樣的探究過程，學生不僅學會，更指向學生會學。

這樣看來，在數學教學中運用類比，可以讓數學學習更容易、更生動有趣。同時，長期的引導與滲透，不僅有利于學生數學知識的網絡建構，更有利于學生自主探索與創新思維的培養，不愧是“數學學習偉大的引路人”！

【本文是湖南省教育科學“十二五”規劃課題“區域推進義務教育階段數學教與學銜接的實踐研究”（課題批準號：XJK013CZXX065）研究成果】

（作者單位：株洲市荷塘區星光小學）