數學應讓學生學會思維（上）
——數學核心素養的理論性思考與實踐性解讀

文︳鄭毓信

數學應讓學生學會思維（上）
——數學核心素養的理論性思考與實踐性解讀

文︳鄭毓信

享受國務院特殊津貼專家，江蘇省文史研究館館員；南京大學哲學系退休教授，博士生導師。從事學術研究與各類教學工作50多年，包括中學、大學、研究生教育與各級教師培訓工作；多次赴英、美等國作長期學術訪問或從事合作研究，包括應邀赴意大利、荷蘭、德國等國的著名大學作專題學術講演。已出版專著32部，在國內外學術刊物上發表論文300多篇，學術成果獲省部級獎7次。在數學哲學、數學教育、科學哲學與科學教育領域有較大影響。

一、數學核心素養之我見

對核心素養的大力提倡是教育領域的一個新的發展趨勢。在一些學者看來，這不僅具有很大的普遍性，“當今世界各國教育都在聚焦對人的核心素養的培養”[1]，也為我國新一輪課程改革的深入發展指明了努力的方向：“今天，這個概念體系（指核心素養）正在成為新一輪課程改革深化的方向。”[2]

從理論角度看，在此應當說還有不少問題需要深入地進行研究。特別是，現今對核心素養的提倡與一般意義上的素質教育有什么區別與聯系？“以素養發展為核心的教育”與新一輪課程改革中對三維目標的提倡又有什么不同？（詳可見[3]）另外，對數學教育領域應當如何落實“走向核心素養”這一整體性教育思想也有多種不同的意見。例如，在一部分學者看來，我們應特別重視傳統學科的改造與整合，包括明確提倡這樣一個立場：“基礎教育要去學科化。”與此相對照，也有一部分學者認為，在數學教育領域，核心素養可被等同于核心概念，從而我們對此也就無須予以特別的重視，即如“課程標準（2011年版）明確提出了10個核心素養，……曾把這些稱之為核心概念，但嚴格意義上講，稱這些詞為‘概念’并不合適……本文把這10個詞稱之為數學的核心素養”[4]。

筆者的看法是：提倡對傳統課程的改造有一定道理，我們更應明確肯定相關的實踐性研究（如清華附小的“1+X課程”）的積極意義。但與唯一強調傳統學科的整合相比，我們又應更加重視多元化與統一性的辯證關系，并切實防止這樣一種現象，即人為地制造某種“統一”（詳見[5]）。當然，后一立場并非是指對于傳統的學科教育我們不應作任何改變。毋寧說，這進一步突顯了深入研究這樣一個問題的重要性，即我們如何將“走向核心素養”這一思想很好地落實于各個學科的教學，真正做到“各有其長，各盡其職，相互配合，互相促進”。

進而，這又是“走向核心素養”給予我們的主要啟示，即我們應當超出數學，從更為廣泛的角度認識數學教育教學工作的意義。更為一般地說，這也就是指，作為一名數學教育工作者，我們應當更為深入地思考：究竟什么是數學對個人發展和社會進步所應承擔的主要責任？這應當成為具體界定數學核心素養的主要途徑。另外，在筆者看來，我們還可由國際上的相關研究獲得這方面的直接啟示，后者即是指，數學核心素養的界定應當堅持數學上普遍的高標準，并應努力做到少而精。（詳見[6]）

以下就是筆者在這方面的具體主張，數學核心素養的基本含義就在于：我們應當通過數學教學幫助學生學會思維，并逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理，包括由理性思維逐步走向理性精神。

就上述論點的理解而言，我們還應特別強調這樣幾點。

第一，按照不同學科的必要分工與合作，我們可更好地認識數學教育的作用。以下就通過數學教育與語文教育的簡單比較對此做出具體說明。

如眾所知，這是學校教育最為主要的一個作用，就是讓年輕一代健康成長，并不斷取得新的進步，即能夠越來越好，越來越完善——當然，這也正是人類社會能夠不斷取得新的進步最為重要的保證。那么，我們究竟如何理解這里所說的“越來越好，越來越完善”呢？以下就依據臺灣著名作家林清玄先生的相關論述對此做出具體說明，盡管其所論及的只是人的自我完善或修養而非專門的學校教育：“要通過生命不斷的轉彎，發現多元的樣貌，而不要生活在一元的狀態下”“今天比昨天慈悲，今天比昨天智慧，今天比昨天快樂，這就是成功。”（“幸福，是打開內心的某個開關”，《新華日報》，2014年9月17日）

具體地說，“今天比昨天慈悲”，在很大程度上可被看成為語文教育指明了努力的方向：“什么是生命里重要的事情：一是愛，能愛，能表達愛；二是美，懂美，追求美；三是情；四是義，人要有情有義；五是感動，美好的情感能被激發。”簡言之，語文課應當讓學生具有滿滿的愛心，并能很好地加以表達。與此相對照，以下則是數學教育的主要使命，即應當讓學生一天比一天更有智慧，更加聰明。簡言之，數學課應讓學生學會思維。

第二，三維目標之間的辯證關系也可被看成為我們更好地理解上述主張的合理性提供了重要的理論依據。

具體地說，所謂的情感、態度與價值觀，應當說主要體現了文化的視角，而文化的主要特征就在于：這是一種潛移默化的影響，是通過人們的日常生活與工作不知不覺地形成的。也正因為此，與數學直接相關的情感、態度與價值觀的養成就離不開具體數學知識與數學思維的學習。特別是，人們正是通過理性思維的學習與應用，逐步發展起了理性精神，由思維方法逐步過渡到情感、態度與價值觀。

再者，知識又可被看成思維的實際載體，從而，“為講方法而講方法就不是講方法的好方法”。反之，又只有用思維方法的分析帶動具體知識內容的教學，我們才能幫助學生真正學好相關的數學知識，將數學課真正教活、教懂、教深。

綜上可見，在上述的三維目標中，思維應當被看成具有特別的重要性，從而就從又一角度更為清楚地表明了這樣一點：我們應將幫助學生學會思維看成數學教育的基本目標。這也就是指，我們應將促進學生思維的發展看成數學核心素養最基本的一個含義。

第三，相對于幫助學生學會數學地思維而言，通過數學學會思維應當說是更為合理的一個主張。因為，數學思維顯然并非思維的唯一可能形式。各種思維形式，如文學思維、藝術思維、哲學思維、科學思維等都有其一定的合理性與局限性。從而，無論就社會的進步或是個人的發展而言，我們都不應唯一去強調學會數學地思維。毋寧說，后者事實上即可被看成清楚地表明了狹義的學科性思維的局限性。

當然，我們不應因此而完全否定數學思維的研究和學習。毋寧說，這即是對數學教育工作者如何做好這方面的工作提出了更高的要求。特別是，我們應切實做好這樣兩個方面的工作：（1）立足數學思維（數學家的思維方式），并以此作為發展學生思維的必要規范，包括通過與日常思維的比較，幫助人們更清楚地認識后者的局限性，能逐步形成一些新的思維方式；（2）立足日常思維，我們應跳出數學并從更為一般的角度認識各種數學思想與方法的普遍意義，從而就可對促進學生思維的發展發揮更為積極的作用（詳見[7]）。

第四，通過數學學會思維，并非是指想得更快、能夠與眾不同，而是指我們如何促使學生積極地進行思考，并逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理。

應當指出，上述分析事實上也可被看成為我們具體判斷一堂數學課的成功與否提供了基本標準：無論教學中采取了怎樣的教學方法或模式，我們都應更加關注自己的教學是否真正促進了學生更為積極地進行思考，并能逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理。

總之，我們應將幫助學生學會思維看成數學教育的基本目標，并通過自己的教學努力促進學生思維的發展，包括由理性思維逐步走向理性精神。

在以下各節筆者將從實踐角度對上述思想作出進一步的解讀，即具體地指明數學教學在當前所應特別注意的一些方面與問題。主要包括：（1）應當正確處理動手與動腦之間的關系；（2）努力使學生養成長時間思考的習慣與能力；（3）幫助學生學會反思；（4）努力提升學生的思維品質。

二、動手與動腦

這是當前應當注意糾正的一個現象，即我們在教學中往往只重視了學生的動手，卻忽視了如何促使他們積極地動腦。也正因此，現實中就經常可看到這樣的現象：我們的學生一直在做，一直在算，一直在動手，但就是不想！

這是筆者近期聆聽的一堂數學課，任課教師首先強調了這樣一個認識：要想認識圓，必先畫圓。

以下是幾個主要的教學環節。

第一，要求學生用圓規畫圓。

第二，教師在顯示屏上展示了體育教師在操場上畫圓的場景，并要求學生對畫圓的具體步驟做出總結：（1）定圓心；（2）確定半徑。

在上述基礎上，教師又對學生提出了如下要求：在先前所畫的圖紙上畫出該圓的半徑和直徑。

第三，教師以派代表的方式組織男女生進行比賽，即在黑板上用繩子畫圓。教師特意做了這樣的安排：她提供的兩根繩子有一條是沒有伸縮性的，另一條則有一定的伸縮性。不難想到，這正是這位教師做出這一安排的主要目的，即希望借此幫助學生更清楚地認識到這樣一點：圓的半徑的長度不能變。

第四，要求學生按照學習單從事活動：請你看一看、量一量、折一折，再想想圓有哪些特征？

最后，教師向全班學生提出了這樣一個問題：想一想：生活中有哪些圓？用到了圓的哪些性質？

針對上述實例，筆者希望讀者也能具體地想一想：你如何看待這一課例中教師對學生動手與動腦兩者關系的處理？進而，這又能否被看成很好地體現了這樣一個思想：數學教育的基本目標是促使學生積極地進行思考。

以下就是筆者在這方面的一些具體思考和建議。

（1）在學生用圓規畫圓以后，我們是否應通過一定的提問（與討論）引發學生的思考？如，畫圓時容易出現什么樣的問題？什么是畫好圓的關鍵？……

（2）通過聚焦“圓不圓”這樣一個問題，我們又可引發學生做出進一步的思考：“究竟什么樣的圖形是圓？”

（3）我們為什么要布置這樣一個任務，即讓學生“看一看、量一量、折一折，再想想圓有哪些特征”，這也就是指，圓的基本性質（半徑相等、直徑相等）難道真的是量（比）出來的嗎？

當然，上述的分析并非是指圓的認識的教學應當完全排斥學生的動手，恰恰相反，我們應當依據學生的實際情況決定在此是否有必要讓學生動手去畫一畫（因為，這顯然也應被看成這一教學活動的一個重要目標，即幫助學生較好地掌握畫圓的基本技能，后者也可為相應的認識活動提供必要的基礎）。但是，在全部的教學過程中，我們應始終牢記這樣一點：與單純的動手相比，我們應更加重視由動手向動腦的轉變，包括幫助學生由單純的操作經驗轉向對相關知識的深刻理解。

由以下的一般性分析，相信讀者可更好地理解糾正所說的現象的重要性，即我們的學生一直在做，一直在算，一直在動手，但就是不想！

例如，在度量問題的教學中，我們往往只重視實際操作，包括各種方法與工具的應用，卻未能引導學生認真地思考：如何量才能更準、更快、更省事？同樣地，在學生進行計算前，我們往往也未能引導他們認真地思考為什么要進行這些計算，從而就很容易出現以下的現象：盡管相關的計算或推理導致了某些結果，但其對解決所面臨的問題卻沒有任何作用。再如，幾何教學中一旦引入了某個概念，如等腰三角形、正方形等，我們往往就會急于讓學生通過動手操作去發現它們的特征、性質，卻沒有認識到其中的很大一部分正是相關定義的直接推論。如，什么是等腰三角形，什么是正方形等，并由此引出相關圖形的一些特征、性質。

由上述分析我們可認識到對所說的動手應作廣義的理解：這不僅是指實物操作，也包括各種數學運作，如度量與計算，等等。進而，為了有效地糾正為動手而動手這一現象，我們應當十分重視這樣幾項工作：（1）在實際組織學生從事操作性活動前，我們應當認真地思考：為什么要讓學生從事這樣一個活動？我們如何使之真正成為學生的自覺行為？（2）在實際的教學過程中，我們應注意防止活動的異化，即應當注意分析學生事實上在做什么；（3）作為必要的總結與反思，我們在課后應認真地思考：學生通過從事所說的活動產生了什么效果？簡言之，我們在此應突出這樣三個問題：（1）為什么要從事這一活動（why）？（2）學生事實上在做什么（what）？（3）這一活動究竟產生了怎樣的效果（how）？

另外，應當指出的是，這也是與上述現象密切相關的另一個應當糾正的傾向，即對活動經驗的片面強調。因為，思維的發展不可能僅僅通過反復的實踐與經驗的簡單積累得以實現，而是主要表現為由較低層次上升到更高的層次，我們應清楚地認識反思在這一方面的重要作用。（對此將見第四節的討論）

以下再給出這方面的又一實例，希望借此能清楚地表明這樣一點：就學生由單純動手向動腦的轉變而言，教師應當發揮重要的引導作用，特別是，應通過適當的提問引發學生的積極思考。

例2 角的初步認識的教學

這是小學二年級的一個內容，人教版教材中對這一內容是這樣處理的：

（1）由生活實例引出角的概念（如圖1）。

圖1

（2）通過各個實例（包括正例與反例，如圖2）幫助學生較好地掌握角這一概念的本質，并切實防止各種可能的誤解。

圖2

以下就是相關教師的教學設計，特別是，其中的三次動手與三次提問可被看成很好地體現了這樣一個思想：我們應當通過適當的提問促進學生更為積極的思考。

具體地說，這位教師在教學中同樣采取了由生活實例引出角的概念這一做法，但在學生列舉了生活中所見過的各種各樣的角以后，教師提出了這樣一個任務（第一次動手）：把你頭腦中所想的角畫出來。

由于教師在此并未刻意地加以引導，課堂上出現以下情況就十分自然了：不僅學生所畫的角各不相同，畫角的方法也是五花八門。當然，這又是這一設計的主要目的，即通過進一步的討論，特別是“其中有哪些可以被看成真正的角（即數學中所說的角）？”（問題1）幫助學生初步建立起角的概念，包括具體地認識角的一些特性：角有一個頂點，兩條邊。

在上述基礎上，教師要求學生第二次動手畫角：由于學生已經初步形成了角的概念，此時所得出的結果與前一次相比就有很大的進步，但又正是以此為基礎，教師提出了第二個問題：你們所畫的角有什么不同？將學生的注意力由先前的共同點（什么樣的圖形可以被看成數學中的角）轉向了角的大小的比較這一更深層次的思考。

最后，為了促進學生認識的發展，教師要求學生第三次動手畫角：這次是指“如何畫出一個與已知角同樣大小的角”。（當然，這并非唯一的選擇。例如，相關教師當時所采取的以下做法應當說也是一個很好的設計，即要求學生首先對自己手中的小三角尺與教師的大三角尺上相應角的大小做出猜測，然后動手加以檢驗——不難想象，學生發現兩者的大小相等時會受到怎樣的震撼！以下則是另一個巧妙的設計，即在教學中，我們不只是通過旋轉圓規或其他相關教具的兩條邊去生成大小不同的角，也可通過拉長兩邊去引發學生的思考：這時角的大小是否也有所變化？）

當然，不論課堂上采取了怎樣的教學設計，我們必須將學生的注意力引向這樣一個問題（問題3）：角的大小是由什么決定的？或者說，什么是相關的因素，什么因素與角的大小完全無關？我們在教學中還可要求學生用自己的語言表達自己在這一方面的想法。

綜上可見，盡管相關的教學不能直接引入角的嚴格定義，但是，上述的活動（包括相關的討論）仍然有助于學生較好地掌握角的本質。特別是，角的大小與邊的長度完全無關，而僅僅取決于開口的大小，從而也就可以為將來的進一步學習（包括角的嚴格定義）打下良好的基礎。

總之，這正是我們在當前應當努力糾正的一個現象：我們的學生一直在做，一直在算，一直在動手，但就是不想！

（待續）

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