對高中數學中圓錐曲線題型的解題技巧探究

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摘要：在高考數學試卷中，解析幾何的分值大約占總分的20%，而直線與圓錐曲線的內容又是解析幾何主要內容及高考的重點。在直線與圓錐曲線的考察中，考題的綜合性強，其解題方法較多，經常在高考試卷中的壓軸題。直線與圓錐曲線的內容不僅僅能夠很好地了解學生對基礎知識掌握程度，也可以很好表明學生綜合解決問題的能力，這就要求學生不但要有較扎實基礎知識還需要較強綜合能力。本篇文章將從直線與圓錐曲線中常見題型進行分析，并附上相應解題技巧，使得同學們能更好把握高考數學的重要考點。

關鍵詞：直線；圓錐曲線；高考數學；解題技巧

高考中考察圓錐曲線作為解析幾何的重點內容，能夠讓同學們在學習圓錐曲線的同時，逐漸培養自己的三維思想以便能夠有解決實際問題能力，圓錐曲線的內容在多年的高考試題中分值比例都比較大，圓錐曲線的題目中還經常與直線結合出綜合題來考查學生基礎知識、解題技巧，高考中考察題型多變，下面我們就先來分析下直線與圓錐曲線本文從圓錐曲線解題的思想、思維和方法等角度進行探討，教師要讓學生明白這些解題的思想、思維和方法， 需要讓我們真正理解并掌握。

1.熟練掌握基礎知識及常用的結論

圓錐曲線在高考中題型多變，其中包括選擇題、填空題和解答題，不同的題型的結題要求不同，不是說所有的題都需要精準的寫出詳細的解題步驟。在選擇答案的過程中，有一些常用的結論和特殊的結果可以直接被套用應用，這些結果往往是經典題型，在考試中經常出現。在平常的教學中，教師可以幫助學生總結一些經典題目答案，使我們能夠迅速理解并應用于考試之中，從而提高解題效率。

這些經典題目答案主要是從圓錐曲線的一些基本性質得出的，比如說直線與圓錐曲線的特殊位置關系、兩直線特殊位置關系還有點與圓錐曲線位置關系等。隨著新課改的實施，在我國的高考考試中，考題中的考點越來越傾向于考查同學們的綜合能力，圓錐曲線的定點、定值問題便是考查其綜合能力的熱點，關于這部分內容試題具有解法多樣、整體思路令人耳目一新，廣泛研究近幾年高考數學題目可以發現，對于圓錐曲線的定點、定值問題大致能分成以下四種形式： 曲線過特定的某個特殊的點或點出現在曲線上、角或斜率是一個定值、 多個幾何量運算結果是定值及直線過某定點或點在某定直線上。

2.積極培養解題思維

數學是一門嚴謹但又存在很多樂趣的的學科，在數學的解題過程中，不能有一絲的含糊和誤差，但是，與此同時，解題時又需要學生敢于創新敢于用跳躍性的思維來考察題目。只有同學們扎實掌握了數學基礎知識的同時，培養活躍的數學解題的思維，開放思路，才能在面臨圓錐曲線的考察題目時能夠有效快速地解決問題。

例1

（2011年天津卷）已知點A、B為橢圓2a2 + 2b2 = 1（a>b>0）的左右頂點，點P為橢圓上與A、B不重合的點，O為坐標原點。如果直線AP與BP的斜率的乘積為-1/2，試求橢圓的離心率。

設點P的坐標為（X0，Y0），則由題意可得

X02/a + Y02/b = 1

①由 A（-a ，0 ）、B（a，0）可得KAP =Y0 / X +a；KBP =Y0 /X-a。

由KAP *KBP =-1/2 可得 X2 = a2- 2 Y02將其代入式①并整理可得（a2 -2b2） Y02=0

由于Y0 ≠ 0，可得 a2 = 2b2，所以橢圓的離心率e=[（a2 - b2）/ a2 ]1/2= 21/2 / 2。

3.常見解題方法的總結

1）定義法

定義（Definition）是透過列出一個事件或一個物件的基本屬性來描述或規范一個詞或一個概念的意義；在數學里面，定義是一個知識點的本質屬性，有關這個知識點的任何公式定理都是由定義推導出來的，因此，對定義應用的熟練程度可以決定學生解決有關這個知識點的問題的速度及準確率。

例2

點P在橢圓X2/25+ Y2/ 9 = 1上，P到該橢圓右準線的距離為5/2，求點P與左焦點的距離。本題考查了橢圓的性質（準線、焦點、對稱性、離心率等）和橢圓的第二定義。

由題意可得橢圓的準線方程為X = 25/4，離心率e= 4/5。根據橢圓的對稱性知點P到該橢圓左準線的距離為10。由橢圓的第二定義得e=|PF1|/10 = 4/5，所以點P與左焦點的距離為|PF1|=8。

2）參數法

例 3

已知向量 a = （X ，31/2 Y），b = （1，0），且（a+31/2b）。

（1）求點 Q（ X，Y）的軌跡C的方程。

（2）設曲線c與直線 Y = KX + M相交于相異的2點M、N，又點A（0，-1 ）， 當| AM|=|AN|時，求實數 m 的取值范圍 。

（1） X2/3 + Y2 = 1（過程略）

（2）由 Y = K X + M ，

X2 / 3 + Y2 = 1

得

（ 3K2 + 1 ） X2 6 MKX + 3（M2-1） = 0

又直線與橢圓相交于相異的2點，所以

Δ = 12（ 3K2 + 1 - M ）>0 ①

當 K ≠ 0時，設弦 M N的中點為 P（X P ，Y P），M、N的橫坐標分別為XM 、XN， 則XP=（XM+XN2）/2=-3mk /

3k2 + 1 ，從而yp = m / （3k2 + 1），kAP=-（-m + 3 k2 + 1）/ 3 m k 。又|AM|=|AN|，所以AP⊥ MN ，所以 2m =3 k2 + 1 ②

由式 ② 得m > 1/2， 從而 2m >2，所以 0﹤m﹤2 ，

所以 m ∈ （1/2 ，2） 。 當 k = 0 時，|AN| = |AN|， 則 AP ⊥ MN，m2 ﹤ 3 k2 + 1 ， 解得-1 ﹤ m ﹤ 1 。綜上，當 k ≠ 0 時，實數 m 的取值范圍是（1/2 ，2 ） ；

當 k = 0 時， 實數 m 的取值范圍是（ -1 ， 1 ）。

4.結語

通過考察多年以來的高考數學試題可以發現，高考試題中有關圓錐曲線的題目所占分值一直比較穩定，而且題目考察的綜合性以及對實際問題非考察越來越多。圓錐曲線中蘊含著豐富的數學思想方法，也就是數形結合思想，是高中數學解析幾何重點考察內容。本文在歸納總結直線與圓錐曲線知識點的考查特點基礎上，結合使用相應數學思想方法，給出直線與圓錐曲線的常見題型及解題技巧實例分析，為同學們解答此類題提供方法借鑒。

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[3] 凌敏華.直線與圓錐曲線的常見題型及解題技[J].數學學習與研究，2016.

（作者單位：明德中學，湖南 長沙 410000）