基于Lp范數廣義變分正則化圖像濾波*

王益艷

(四川文理學院物理與機電工程學院 達州 635000)

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基于Lp范數廣義變分正則化圖像濾波*

王益艷

(四川文理學院物理與機電工程學院 達州 635000)

傳統變分PDE方法,如基于L2范數調和模型,全變分TV模型和廣義TV模型等。在濾除噪聲的同時,不能有效地保留邊緣等細節。針對該不足,提出了一種基于Lp范數(1≤p≤2)的廣義變分濾波模型,采用差曲率作為自適應的調整參數,實現了圖像的各向異性處理。仿真實驗結果表明,該算法比傳統變分PDE能更有效地檢測邊緣與平坦區的孤立噪聲點,能有效地克服階梯效應并保留局部細節信息,在主觀視覺效果和客觀評價指標兩方面都更具明顯優勢。

圖像濾波; 差曲率; 各向異性;Lp范數

Class Number TP391

1 引言

圖像在獲取和傳輸等過程中,會受到各種因素的影響,比如大氣狀況、成像設備與物體之間的相對運動等[1],從而引起圖像失真,導致圖像質量退化。因此,在對圖像進行后續處理(如邊緣檢測、分割、識別等)[2]之前,必須先進行濾波預處理。傳統的濾波方法包括均值濾波、高斯濾波等,但這兩種方法雖然能在一定程度上能去噪聲,但也容易導致圖像細節模糊?；谧兎諴DE的方法是目前圖像處理領域的研究熱點,已被廣泛應用于圖像濾波、修復、分割、超分辨率重建等各領域[3]。從擴散的角度分析,基于L2范數的調和模型本質是各向同性的[4],與傳統高斯濾波器的濾波效果基本等價[5]。全變分模型[6～7]只沿著邊緣方向擴散,滿足各向異性,能在去噪的同時較好地保護邊緣細節,但該模型在平坦區域存在“階梯”效應[8]。后來,Song等[9]提出一種基于Lp范數(1≤p≤2)的廣義TV去噪復原模型,該模型可看成是前面兩種模型的一種折中形式,其濾波效果容易受常數p的影響。針對該不足,文獻[10]采用梯度作為邊緣檢測算子計算p參數,對傳統方法進行改進。該方法根據圖像的內部結構特征,可自適應選取p參數的值,在一定程度上提高了圖像濾波效果。但由于其采用梯度作為圖像的邊緣檢測算子,而梯度對噪聲不具有魯棒性[11]。因此,其復原效果還有進一步提升的空間。基于此,提出了一種基于Lp范數(1≤p≤2)的廣義變分濾波模型,采用差曲率作為自適應的調整參數,實現了圖像的各向異性處理。該算法能有效地檢測邊緣與平坦區的孤立噪聲點,進一步克服階梯效應并更好保留局部細節信息,仿真實驗結果表明,該方法比傳統變分PDE在主觀視覺效果和客觀評價指標兩方面都更具明顯優勢。

2 本文方法

文獻[12]提出的邊緣檢測算子是基于梯度|▽u|的,它不能有效地識別邊緣和灰度漸變區及去除平坦區內的強噪聲,基于此,本文采用基于差曲率的檢測算子,其定義如下

S=||uηη|-|uξξ||

(1)

其中uηη和uξξ分別表示u在η和ξ方向上的二階導數,表達式如下

(2)

(3)

而η為圖像的梯度方向,ξ為與η垂直的切線方向,分別表示為

(4)

差曲率算子的具體性能[13]如表1所示。

表1 差曲率算子性能

引入S算子后,新的自適應變分模型如下

(5)

其中,上式第1項為正則項,第2項為數據保真項,λ為拉格朗日乘子。p函數的值域應該滿足:在圖像平坦區域,自適應選取去噪效果較好的L2范數,則p函數的值應趨于2;在圖像的邊界、紋理處,自適應選取較好保留局部細節的L1范數,p函數的值應趨于1。因此,根據表1中S算子在平坦區域和邊緣區的取值大小關系,p函數應當為一個單調遞減函數,本文選取如下表達式:

(6)

其中,Gσ表示對圖像進行高斯平滑。

該模型的歐拉-拉格朗日方程為

-▽(|▽u|p(S)-2▽u)+λ(u-u0)=0

(7)

引入時間步長,其對應的梯度下降流為

(8)

將式(8)在二維局部坐標(η,ξ)下展開為

+λ(u0-u)

(9)

引入新的變量,將式(9)改寫為

(10)

其中,

(11)

上式中α和β分別為切線方向梯度方向的擴散系數。在圖像邊緣處,S值較大,p(S)趨于1,此時β趨于0,圖像僅沿切線方向擴散,擴散項趨于TV模型,可較好地保持邊緣;在圖像平坦區及灰度漸變區,S值較小,p(S)趨于2,此時α≈β,圖像具有各向同等擴散性能,擴散項趨于調和模型可消除階梯效應。

與傳統復原模型相比,該模型切線方向的擴散系數總是為正,因此能更好地識別平坦區和灰度漸變區。同時,此方法從圖像結構來說是局部自適應的,克服了整幅圖像都采用同一擴散模型的缺點。

采用半點格式的中心差分[14]來離散化式(10)中的PDE,其迭代形式可表示為

(12)

3 實驗結果與分析

為論證本文方法的濾波效果,采用均方根誤差(RMSE)和峰值信噪比(PSNR)進行量化評價。其表達式分別為

(13)

(14)

式中,g表示大小為C×L的原始圖像,f表示濾波后的圖像。RMSE值越小,PSNR值越大,圖像濾波效果越好。

實驗一:分別以彗星圖像和liftingbody圖像為測試對象,對原始圖像分別加入σ=10和σ=15的噪聲。將L2范數模型[4]、TV模型[7]、Song模型[9]、Zhang模型[12]和本文方法進行對比試驗,濾波圖像的主觀視覺效果如圖1和圖2所示,各種模型下峰值信噪比(PSNR)和均方根誤差(RMSE)如表2所示。

圖1 各種模型的彗星圖像濾波效果比較(σ=10)

圖2 各種模型的liftingbody 圖像濾波效果比較(σ=15)

測試對象彗星圖像(σ=10)liftingbody圖像(σ=15)RMSEPSNRRMSEPSNRL2范數模型10．097328．04719．956828．1684TV模型6．085332．70517．297530．8678Song模型4．883934．93774．757734．5829Zhang模型5．039734．18644．986634．1747本文方法4．512235．35854．438535．1859

通過上述實驗可知,L2范數模型[4]濾波后圖像存在一定的模糊,TV模型[7]濾波后圖像在平坦區出現了“階梯”效應,而Song[9]、張紅英[12]提出的改進模型雖然比傳統模型的濾波效果有所提高,但本文方法無論是主觀視覺效果,還是客觀評價標準都是最佳。

4 結語

針對傳統變分PDE模型存在的不足,提出了一種基于Lp范數(1≤p≤2)的廣義變分濾波模型,采用差曲率作為自適應的調整參數,實現了圖像的各向異性處理。該算法能有效的檢測邊緣與平坦區的孤立噪聲點,進一步克服階梯效應并更好保留局部細節信息,實驗仿真結果表明,該方法比傳統變分PDE在主觀視覺效果和客觀評價指標兩方面都更具明顯優勢。關于模型參數的選取及該模型在彩色圖像恢復中的應用將是今后研究的重點。

[1] Michael Felsberg. Autocorrelation-Driven Diffusion Filtering[J]. IEEE Transactions on Image Processing,2011,20(7):1797-1806.

[2] Mohammad R. H., M. Omair Ahmad., Chunyan Wang. An edge-adaptive laplacian kernel for nonlinear diffusion filters[J]. IEEE Transactions on Image Processing,2012,21(4):1561-1572.

[3] Kang-Yu Ni. Variational PDE-based image segmentation and inpainting with applications in computer graphics[D]. USA, Los Anggeles: University of California,2008.

[4] Tikhonov A N, Arsenin V Y. Solution of ill-posed problems[M]. Washington DC, Winston,1977.

[5] 馮象初,王衛衛.圖像處理的變分和偏微分方程方法[M].北京:科學出版社,2009. FENG Xiangchu, WANG Weiwei. Variational and partial differential equations method for image processing[M]. Beijing: Science Press,2009.

[6] L. I. Rudin, S. Osher, E. Fatemi. Nonlinear total variation based noise removal algorithms[J]. Physica D,1992,(60):259-268.

[7] Chan T F, Osher S, Shen J. The digital TV filter and nonlinear denoising[J]. IEEE Transaction on Image Processing,2001,10(2):231-241.

[8] Guichard F, Moisan L, Morel J M. A review of PDE models in image processing and image analysis[J]. Journal de Physique Ⅳ,2002,92(12):137-154.

[9] Song B. Topics in variational PDE image segmentation, inpainting and denoising[D]. USA Los Angeles: University of California,2003.

[10] Blomgren P., Mulet P., Chan T., et al. Total variation image restoration: numerical methods and extensions[C]//Proceedings International Conference on Image Processing, Santa Barbara: IEEE Press, Oct 26-29,1997:384-387.

[11] Qiang Chen, Philippe Montesinos, Quan Sen Sun, et al. Adaptive total variation denoising based on difference curvature[J]. Image and Vision Computing,2010,28(3):298-306.

[12] 張紅英,彭啟琮.全變分自適應圖像去噪模型[J].光電工程,2006,33(3):50-53. ZHANG Hongying, PENG Qicong. Adaptive image denoising model based on total variation[J]. Opto-Electronic Engineering,2006,33(3):50-53.

[13] 郭永彩,彭蘭輝,高潮.基于局部坐標二次微分的自適應全變分去噪復原[J].光電工程,2012,39(8):10-16. GUO Yongcai, PENG Lanhui, GAO Chao. Adaptive total variation image denoising and restoration based on the quadratic differential in the local coordinate system[J]. Opto-Electronic Engineering,2012,39(8):10-16.

[14] 王益艷.基于全變分模型的新型數值實現算法[J].云南民族大學學報(自然科學版),2010(3):211-215. WANG Yiyan. A New Numerical Realization Algorithm Based on the Total Variational Model[J]. Journal of Yunnan University Nationalities(Natural Sciences Edition),2010(3):211-215.

Image Restoration Based on LpNorm Generalized Variational Regularization

WANG Yiyan

(School of Physics and Mechanical & Electronic Engineering, Sichuan University of Arts and Science, Dazhou 635000)

The traditional variational PDE methods, such as harmonic model based onL2norm, total variation(TV) model and the generalized TV model have shortcoming that can not effectively retain edge details during filtering noise. In this paper, a generalized variational filtering method is proposed based onLpnorm model, the differential of curvature is adopted as the adaptive adjustment parameters to realize image anisotropy processing. Simulation results show that the algorithm can effectively detect isolated noise point edge with the flat area, and overcome the staircase effect and preserve the local details. Meanwhile, the proposed method have more obvious advantages both subjective visual effect and objective evaluation than the traditional variational PDE methods.

image filtering, differential curvature, anisotropy,Lpnorm

2016年7月16日,

2016年8月23日

四川省教育廳自然科學一般項目(編號:16ZB0355);達州市科技計劃應用基礎研究項目(編號:KJJ2015001)資助。

王益艷,男,碩士,講師,研究方向:圖像處理與模式識別。

TP391

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.01.029