四維余代數的分類

范 中 平

(中國海洋大學 數學科學學院， 山東 青島 266100)

四維余代數的分類

范 中 平

(中國海洋大學 數學科學學院， 山東 青島 266100)

利用余代數的樹結構基，得到了余代數同構的等價條件，從而完成了四維余代數的分類，并針對更高維的余代數分類給出了一般方法.

余代數；余根濾鏈；樹結構基

The classification of 4-dimensional coalgebra. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(1):028-032

0 引 言

余代數結構的研究是含幺結合代數、雙代數和Hopf代數相關研究中的重要部分，受文獻[1-3]中非點態非余半單的Hopf代數分類方法的啟發，通過余代數的余根濾鏈分層考慮余代數的結構.余根濾鏈中上層元素的余結構要涉及下層元素需滿足某些特定條件；反之，給定了余根濾鏈中的下層下元，可以按這些特定條件窮舉可能的余根濾鏈中的上層元素，進而給出整個余代數的余結構.則稱這種上下緊密關聯的結構為樹結構.通過這種樹結構給出的基稱為樹結構基.

本文定義了樹結構的等價關系，使得樹結構基的等價類與余代數的同構類一一對應.通過窮舉樹結構基的等價類完成四維余代數的分類，這種分類方法對更高維的余代數具有通性.由于有限維情形下，余代數與含幺結合代數互為對偶，則相同維數的含幺結合代數的分類亦可借助此方法.

假設k是一個特征為零的代數閉域.在下文的討論中，如不另作說明，線性空間在k上都是有限維的.

1 余代數的樹結構基

本節定義余代數的樹結構基.

對于余代數(C,Δ,ε)，由文獻[4] Theorem 5.4.2給出的余根分解知，存在一個余理想I和一個C到其余根C0的滿同態π:C→C0,使得C=C0?I和ker π=I.固定此余理想I，并定義

ρL=(π?id)Δ和ρR=(id?π)Δ.

(1)

容易驗證，(C,ρL,ρR)為一個C0-雙余模.

定義一組C的子空間Pn,n≥0如下：

P0=0,

P1={c∈C|Δ(c)=ρL(c)+ρR(c)}= Δ-1(C0?I+I?C0),

Pn={c∈C|Δ(c)-ρL(c)-ρR(c)∈

記C的余根濾鏈為{Cn}n≥0.由文獻[1] Lemma 1.1知，Pn=Cn∩I.

則有

命題1(文獻[3]Lemma 3.1) 如果對c∈Pn,n≥2,有c?Pn-1，那么對所有的n′∈{1,2,…,n-1}，有

對一個余代數的單左余模，其對偶空間為此余代數的單右余模.且一個單余代數有唯一的單左余模和唯一的單右余模同構類，所以對τ∈，可以固定Vτ和分別作為Dτ-單左余模和Dτ-單右余模同構類的代表元.則有

(2)

任意的C0-雙余模可以分解成其C0-單雙余子模的直和.對任意的C0-單雙余模M，存在τ,μ∈，使得作為C0-雙余模,有

(3)

容易驗證，對n≥1,有Pn關于ρL,ρR是C的C0-雙余子模，則Pn可以分解成C0-單雙余子模的直和.對τ,μ∈,記為Pn同構于Vτ?的C0-單雙余子模的和，有

注意到Pn-1?Pn是一個C0-雙余子模，那么存在一個Pn的C0-雙余子模Qn，使得

Pn=Pn-1?Qn.

注意Qn的選取不是唯一的.

C=C0?I=C0?∪n≥1Pn=C0??n≥1Qn=

?σ∈Dσ?

?σ∈Dσ?).

由式(2)知，有C0-雙余模同構：

(5)

ρL(ωi,j)=(id?f-1)(Δ?id)f(ωi,j)=

(6)

和

ρR(ωi,j)=(f-1?id)(id?Δ)f(ωi,j)=

(7)

并且由Pn的定義知

(8)

(9)

由式(4)知，WC是余代數C的一組基.

定義1 對余代數C,繼承前面討論中的記號，稱WC為C的一個由W0和I構造的樹結構基.

2 樹結構基的等價類

本節給出樹結構基的等價關系，使得研究余代數的同構類與此等價關系下樹結構基的等價類一一對應.

令W為由W0和I構造的余代數C.樹結構基W的余結構指雙線性集合FW={Fω:kW×kW→k|ω∈W},這里kW是以W為基生成的線性空間.其中的雙線性型由下式定義：對任意的ω0∈W,

對余代數C和D，稱C的樹結構基WC與D的樹結構基WD有一致的余結構，如果存在線性映射θ:C→D,使得θ(WC)=WD且對ω∈W，有

ΔDθ(ω)=(θ?θ)ΔC(ω).

顯然θ是C到D的余代數同構，且對任意的ω0,ω1,ω2∈WC,Fω0∈FWC,Fθ(ω0)∈FWD，有

Fω0(ω1,ω2)=Fθ(ωυ)(θ(ω1),θ(ω2)).

接下來分三方面討論樹結構基之間的聯系.

(a)首先給出一個余代數在同一余根分解下的不同樹結構基之間的聯系.

僅改變C的單余子代數標準基的選取不會影響C的C0-雙余模結構，所以與I和不同單余子代數標準基構造的樹結構基相差一個線性雙射.以下討論中都不改變C的單余子代數標準基的選取，所以與I和不同的單余子代數標準基構造的樹結構基之間有一致的余結構.

假設W′為由W0和I構造的但不同于W的C的樹結構基.

(10)

(b)然后給出一個余代數在不同余根分解下的樹結構基之間的關系.

假設存在余代數滿同態π1:C→C0和余理想I′?C，使得C=C0?I′,kerπ1=I′.則存在自然的投射π2:C→I′，使得對任意的x∈C，有

c=π1(c)+π2(c).

(11)

定義一個線性映射φ:C→C如下：

對ω∈W,

(12)

容易驗證，φ是雙射，且φ(W)是C的一組基.

命題2 對余代數(C,Δ,ε)，由式(12)定義的φ是C的余代數自同構.

證明 由φ|C0=id知，證明此命題等價于證明對任意的ω∈WW0，有

Δ(φ(ω))=(φ?φ)Δ(ω).

這里kωi,j,ω1,ω2∈k，且只有有限個非零.則有

Δ(φ(ωi,j))=Δ(ωi,j-π1(ωi,j))=

顯然，上式中第1項屬于I′?C0,第2項屬于I′?I′，第3項屬于I′?I′,而最后1項屬于C0?C0.由I′為余理想知，Δ(φ(ωi,j))?I′?I′+I′?C0+C0?I′.則最后一項為0.

所以有

命題得證.

由命題2,有φ(W)是一個由W0和I′構造的C的樹結構基，且W與φ(W)的余結構一致.

(c)最后考慮同構的余代數間的樹結構基的關系.

假設f:C→D為一余代數同構.顯然有f(C0)=D0,f(I)為D的一個余理想，且D=D0?f(I).

容易驗證，f(W)是一個由f(W0)和f(I)構造的D的樹結構基.且由f為余代數同構知，W和f(W)有一致的余結構.

下面給出樹結構基的等價類的概念，并將其與余代數的同構類聯系起來.

定義2 對任意的W1,W2∈Ωm，假設W1為余代數C的樹結構基，W2為余代數D的樹結構基,如果存在一個線性雙射φC:C→C,使得φC(W1)是C的樹結構基，且φC(W1)與W2有一致的余結構，稱W1與W2是等價的.

注2 此等價關系的定義良好；自反性與傳遞性顯然.要說明對稱性，即說明如果W1與W2是等價的，那么存在一個線性雙射φD:D→D，使得φD(W2)是D的樹結構基，且φD(W2)與W1有一致的余結構.

顯然由φC(W1)與W2有一致的余結構知，C與D之間存在余代數同構θ.由(c)知，θ(W1)是D的樹結構基且與W1有一致的余結構.由(a)知，存在線性雙射φ′:D→D,使得φ′(W2)=θ(W1).令φD=φ′，則φD(W2)是D的樹結構基，且φD(W2)與W1有一致的余結構.

綜合(a),(b)和(c)，顯然同一余代數的樹結構基是等價的，且有

定理1 余代數C和D是同構的等價于對任意的WC∈ΩC和WD∈ΩD，有WC等價于WD.

由此，分類m維的余代數就等價于給出Ωm的所有等價類，且窮舉Ωm的等價類分為以下幾步：

步驟1 確定W0的余結構；

步驟2 對n≥1，確定|Wn|；

步驟3 從n=1開始依次確定Wn的余結構，這里分成2步：對ω∈Wn,

步驟3a 確定ρL(ω)和ρR(ω)；

步驟4 驗證由以上幾步給出的W=W0∪∪n≥1Wn的余結構，使得以W為基生成的線性空間kW成為余代數；如成立，則W是kW的一組樹結構基.

3 四維余代數的分類

(13)

對于四維余代數，共有16個樹結構基的等價類.

A 類群元有4個的情形：

第1類 W0={g0,g1,g2,g3}，則W=W0.

C 類群元有2個，|W1|=2的情形：

(0,0,0,0)～(1,1,1,1)；

(0,0,0,1)～(0,1,0,0)～(1,1,1,0)～(1,0,1,1);

(0,0,1,0)～(1,0,0,0)～(1,1,0,1)～(0,1,1,1);

(0,0,1,1)～(1,1,0,0);

(0,1,0,1)～(1,0,1,0);

(0,1,1,0)～(1,0,0,1).

F 類群元有1個，|W1|=2，|W2|=1的情形：

(14)

當P1的基固定時，P1×P1到k的雙線性型與其度量矩陣一一對應，即

進行窮舉過程的步驟5.令φ為任一滿足步驟5要求的線性變換.記

W′=φ(W).

記φ的基變換矩陣為Pφ,有Pφ∈GL2(k)且

所以有

(15)

即矩陣B與B′是合同等價的.反過來每個合同變換的P矩陣都對應一個步驟5中的線性變換.所以，四維矩陣全體M2(k)的合同等價類與四維余代數的類群元有1個，|W1|=2,|W2|=1的情形的樹結構基的等價類一一對應.

M2(k)的合同等價類如下：

G 類群元有1個，|W1|=1,|W2|=2的情形：

H 類群元有1個，|W1|=1,|W2|=1,|W3|=1的情形：

I 沒有類群元的情形：

第16類 W0={ei,j}i,j=1,2,這里{ei,j}i,j=1,2為一個四維單余代數的標準基.

綜上所述，有定理2 所有k上的四維余代數同構類如下，這里省略了自明的余結構：

(1)C[4.1]=k{g0,g1,g2,g3}.

(16)C[4.16]=M*(2,k),這里M(2,k)表示一個k上的四維矩陣代數.

[1] ANDRUSKIEWITSCH N, NATALE S. Counting arguments for Hopf algebras of low dimension[J]. Tsukuba Journal of Mathematics, 2001,25(1):187-201.

[2] BEATTIE M, DSCLESCU S. Hopf algebras of dimension 14[J]. Journal of the London Mathematical Society,2004,69(1):65-78.

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[4] MONTGOMERY S. Hopf Algebras and Their Actions on Rings[M]. Providence:American Mathematical Society, 1993.

FAN Zhongping

(SchoolofMathematicalSciences,OceanUniversityofChina,Qingdao266100,ShandongProvince,China)

By employing the tree structure basis of coalgebra, an equivalent condition for coalgebra being isomorphic is achieved. The list of all isomorphism classes of 4-dimensional coalgebra is completed, and a general method for the classification of larger dimensional coalgebra is provided.

coalgebra; coradical filtrations; tree structure basis

2015-11-11.

山東省博士后創新項目(201602024).

范中平(1988-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-1466-0814,男，博士，講師，主要從事非交換代數研究.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.01.004

O153.3

A

1008-9497(2017)01-028-05