數學建模在電子電器爬電距離和電氣間隙測量中的應用

姚 磊，陳燦坤，許來春，周映虹，蔣 虹

（1.威凱檢測技術有限公司，廣州 510663； 2.廣東工業大學，廣州 510006）

引言

隨著科技和生活的發展，人們對電氣類產品的便攜性要求越來越高，小型、輕便、易攜帶的產品越來越受歡迎，但是產品體積越小，爬電距離和電氣間隙會成為電氣產品安全事故的主要誘因，也更值得引起我們的關注。在全國各類產品抽查和風險評估活動中，爬電距離和電氣間隙都是高風險和常出現的不合格項目。因此眾多電子電氣類產品檢測標準中均有專門針對爬電距離和電氣間隙的考核要求，在國內、外比對活動中，我們經常能夠碰到揉進去各種考點后對指定部位確定最短爬電路徑和電氣間隙。

另外爬電距離和電氣間隙的測量不僅僅是對高工作電壓部位的要求，同樣對于低壓電路甚至是安全特低電壓供電的產品，同樣也應該設置足夠的爬電距離和電氣間隙，很多人會認為Ⅲ類器具內部都是安全特低電壓，直接觸摸都沒有危險，即便不能設置足夠的爬電距離和電氣間隙也不會出現大的危險。比如2016年三星手機發生了多起著火事件（圖1），據公開的Galaxy Note7 安全事故原因的調查結果，三星以及參與調查的幾家第三方機構認為，Galaxy Note7 的“爆炸”并不是手機本身的設計問題，而是手機電池的設計和制造過程存在缺陷。較早出現安全問題的Galaxy Note7，主要采用的是來自SDI的電池（圖2）。

圖2可以清晰的看到，在外部引起電池電極變形后，導致了電池電極之間的爬電距離和電氣間隙減小到安全限值以下，引起電池短路，從而導致了著火事件的發生，給人身構成很大的安全威脅,企業也因此遭受巨大的經濟損失。

因此在產品設計、研發、小試、中試、定型、上市前合格評定和上市后市場監督各階段，爬電距離和電氣間隙都是重點要考慮的問題。而確定“最短的”爬電距離和電氣間隙路徑是問題的關鍵，下文就從測量的角度給出了一種建立三維模型，并運用數學模型計算爬電距離和電氣間隙的方法。

1 實際樣品如何建立三維模型

1.1 爬電距離和電氣間隙影響因素

根據標準的定義，電氣間隙是兩個導電部件之間，或一個導電部件與器具的易觸及表面之間的空間最短距離；爬電距離是兩個導電部件之間，或一個導電部件與器具的易觸及表面之間沿絕緣表面測量的最短路徑。

圖1 手機著火事故案例

測量需要考慮如下影響因素：

1）海拔高度：空氣可以作為一種輔助的絕緣，一般電氣設計基本能夠滿足2 000 m海拔高度的正常運行，當海拔繼續增高，空氣變得稀薄，空氣絕緣的能力會降低；另外空氣密度降低后，依靠空氣作為散熱介質的器具會發生溫升比正常海拔高，這樣會加速絕緣材料的老化，降低材料的絕緣性能，所以對于高海拔使用的器具要設計足夠的爬電距離和電氣間隙。

2）材料類型：在諸多影響因素中，絕緣材料的種類是對爬電距離影響很大的一個因素。對于絕緣材料，利用“相比漏電起痕指數（CTI）進行分組”，當絕緣表面沉積一定量的污染物時，帶電部件之間的漏電流的閃爍釋放的能量使絕緣表面損傷，這種損傷逐漸積累下會在絕緣面形成導電通道，需要我們對絕緣材料組別進行考慮。

3）污染等級：爬電距離和電氣間隙的設置需要考慮絕緣部位的微觀環境以及器具的宏觀環境，污染等級按照嚴酷程度分為1、2、3、4級污染等級，過小的電氣間隙可由固體微粒、灰塵和水完全跨接，因此當污染可能會在微觀環境出現時，要規定最小的電氣間隙。

圖2 SDI電池異常和正常的電池負極對比圖

4）工作電壓和過電壓類別：確定被測部位間的工作電壓，并且需要根據工作電壓確定額定脈沖電壓的影響，在直接由低壓電網供電的電氣設備分成了四個過電壓類別：過電壓類別Ⅳ、Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ，根絕過電壓類別考核最小電氣間隙是否足夠。

5）跨接：跨接因素也是考慮污染物沉積的影響，尤其在小尺寸的“間隙”和一定角度下的“槽”，因為容易累積導電灰塵，導致沿污染物表面形成爬電路徑，因此需要重點考慮這些部位。

6）通過中介物：除了上述影響因素外，我們在進行實際測量時，也要考慮此兩點中間的導電部件，很多時候中間的一個或多個導電部件會作為爬電路徑，間接的降低了待測部位的爬電距離和電氣間隙。

1.2 對于跨過圓弧面的爬電距離的一點思考

在IEC 60664-1 Insulation Coordination for Equipment within Low-voltage Systems-Part 1: Principles,requirements and tests標準中，用了11個圖例描述了一些需要跨接的案例，并且在IECEE/CB SCHEME/CTL DECISION國際電工委員會CB體系CB實驗室決議0717、590號文件中，分別對于跨接情況進行了延伸解釋和規定了80 °角跨接的要求，但是對于圓弧表面是否需要跨接，并沒有做出明確的規定。

筆者認為，在水平放置的PCB板上，小圓孔（直徑小于標準中規定的X值）可以“看作”是沒有底的間隙“gap”，不是槽“groove”；而大圓孔視為槽groove，而不是間隙gap，因為IEC 60664-1，IECEE/CB/CTL/DSH0590, 0717 要求是凹槽“recess”才考慮可能的跨接。

因此對于圖3中的情況，小圓孔直徑小于X值，則視小孔為一個間隙，最短爬電距離直接由A到B,小圓孔直接跨接。對于大圓孔（直徑大于或等于標準中規定的X值），爬電路徑需要沿著圓弧表面進行，而不進行X值的跨接（圖4）。

如圖4所示，在BCD圓弧上，由B和D分別向C做輔助線，夾角θ大于90 °，所以這里不符合“小于80 °”跨接條件，因此此段爬電路徑是沿著BCD圓弧。如果圓的直徑遠遠大于X值的時候，X的跨接長度放到圓弧上只是很小的一段，此時，無限大的圓弧的這一小段無限接近于直線了，這也印證了為何大孔上的圓弧爬電距離不跨接。

1.3 運用AutoCAD建立三維模型輔助分析

筆者參加了2017年IECEE/CB SCHEME/PTP國際電工委員會CB體系能力驗證提供者IFM組織的17e11-Creepage and Clearance項目，本次比對樣品尺寸非常小，用一元的硬幣對比可以很直觀的反應樣品尺寸（圖5，白色框圖內為樣品測試區域），這種小尺寸電路板更接近實際高集成、多層PCB電路板的結構。測量爬電距離和電氣間隙有如下難點：

圖3 直徑小于標準中規定的X值（直接跨接）

圖4 直徑大于等于標準中規定的X值（不跨接）

圖5 比對樣品正反面圖

1）用傳統的測量方法如游標卡尺、千分尺不能測到爬電路徑上的值，并且在如此小的尺寸下準確度不能保證；

2）另外對于圓弧上的爬電距離，用傳統的測量工具不能直接測量；

3）確定爬電路徑需要考慮正、反面帶電部件的相對位置；

4）導電部位之間的爬電距離路徑有多種可能。

筆者采用三維制圖工具AutoCAD來生成樣品的三維模型并輔助計算。具體過程如下：

先選擇樣品的一個基準點作為坐標的原點，對于樣品上的關鍵位置點一一測量坐標值，按照測量坐標在AutoCAD中畫出樣品等尺寸的三維模型（圖6），值得注意的是，在進行背面關鍵位置坐標測試的時候需要選擇同一個原點作為坐標原點，這樣可以減少因坐標原點不同帶來兩面圖形有相對便宜的情況出現。

測量足夠的基礎數據，建立三維模型，為后續的計算奠定基礎。比如利用AutoCAD強大的透視圖功能，可以很清晰的看到上、下兩面導電部位的相對位置（圖7），方便確定爬電路徑，另外利用AutoCAD中的尺寸標注功能，能夠快捷地測量到空間中的尺寸或者角度信息，大大的節約了計算過程中數據的獲取時間。

在進行完樣品等尺寸三維建模后，我們也對AutoCAD圖形中的尺寸和樣品實際尺寸進行了對比，事實證明，二者偏差非常的小，證明我們后續基于三維模型中抓取的數據真實有效。

筆者認為這個圖形和實體尺寸的驗證環節非常重要，因為后續計算中用的基礎數據均需要從圖形中抓取，數據的準確性直接決定了后面計算工作是否有意義！

2 數學建模在圓弧面計算爬電距離的應用

上述討論明確了圓弧上是否需要跨接以及何時跨接的問題，并運用AutoCAD進行了樣品的實際尺寸三維建模，接下來我們就舉例說明跨過圓弧的爬電距離和電氣間隙的計算方法。

2.1 對于一個未知數的數學建模和計算

根據三維模型，舉例計算導電部件T2到背面圓弧上B1點的爬電距離，如圖8。

已知θ在0-17 °范圍內變化（在三維模型上直接測量所得），CB=1.116 mm，BB1=1.378板厚度，α角實測38 °，∠ABC =α+θ/2，圓直徑D=4.52 mm。建立計算T2到B1點的爬電距離L數學模型。

其中AB1為沿著圓弧表面的曲線長度，S為AB弧長，把圓展開平面如圖9：

根據三角形余弦定理：

圖6 樣品等尺寸三維模型

圖7 樣品透視圖（正反兩面的相對位置）

其中：

T2到B1爬電距離L ：

已知θ在0-17 °范圍變化，函數L可以對θ求導，求極值，過程較復雜。

為了簡化計算，可以1 °為步長，對上述公式窮舉出所有取值下L的值，并畫出曲線如圖9，圖中可以看到在θ=12 °的時候，T2到背面圓弧上B1點爬電距離最小值為2.299 7 mm。

同理，電氣間隙的求取類似于上述處理方法，只是把AB1作為A和B1點之間的空間直線來計算即可得到，此處不再贅述。

2.2 對于兩個未知數的數學建模和計算

上個例子B1點是在圓弧上的一個點，所以在數學建模的時候只有θ一個未知數，在求解分析的時候相對較簡單，下面再舉例介紹以下圓周以外的點如何用數學模型計算爬電距離和電氣間隙。

已知正面T7到背面T9的爬電路徑為A-B-C1-D1，B和C1點是在∠EOF之間的圓周上的任一點，且∠EOF=32.094 °，α是BO與AO之間的夾角，β是C1O1與D1O1之間的夾角，（α+β）≤∠EOF，BB1=1.378 mm（PCB板厚度），圓半徑R=2.26 mm。根據以上在三維模型中測得的參數，建立計算A到D1點的爬電距離數學模型L。

其中BC1為沿著圓弧表面的曲線長度把圓展開平面如圖12。

樣品正面A到圓上B的距離，由余弦定理得：

圖8 導電部件T2到背面圓弧上B1點的爬電路徑模型

圖9 圓展開到一個平面求取沿圓弧面曲線AB1

圖10 爬電距離L的變化曲線

樣品背面D1到圓上C1的距離，由余弦定理得：

在圓壁上弧的長度BC：

所以可得：

通過數學模型的建立，可知爬電距離L是由α和β兩個角度變量決定的，對于一個方程式兩個未知數，從數學的角度不好求解最小值。

利用(α+β)≤32.094 °這個約束條件來進行數學分析，筆者用VBA編程運算，思路是讓α和β角分別在0到32.09 °范圍內，以0.01 °的步長變化，比如當：

α=0 °，β為0.01, 0.02,……32.09 °；

α=0.01 °，β為0.01, 0.02,……32.08 °；

以此類推。計算出T7到T9爬電距離的最小值，Lmin= 2.779 6 mm，此時對應的α= 5.45 °，β= 6.68 °。繪制的爬電距離云圖如圖13所示。

同理，電氣間隙把BC1換成空間直線距離帶入上述公式即可求得。

2.3 計算步長的選擇

上述兩個例子，T2到T10用了1 °的步長，T7到T9用了0.1 °的步長，關于步長的選擇，肯定是越小，計算的值越接近真實的最小值，但是過小的步長會增加計算工作量。以T2到T10為例來驗證1 °步長和0.1 °步長的差異（表1），對比發現最短爬電距離到小數點后第四位才發生變化，二者數據相差只有0.000 2 mm，基本可以忽略，所以筆者選用1 °的步長計算數據是可以接受的。

圖11 正面T7到背面T9的爬電路徑模型

圖12 圓展開到一個平面求取沿圓弧面曲線BC1

圖13 α和β兩個變量的爬電距離云圖

表1 采用計算步長1 °和0.1 °求得的最短爬電距離

3 結語

通過參加本次IFM爬電距離和電氣間隙的比對，筆者提出對于尺寸較小的樣品通過AutoCAD軟件對樣品進行三維建模，對被測樣品進行路徑分析，對路徑搭建數學模型，并在文中通過實例計算了穿過圓孔的爬電距離數學模型。在求解數學模型時，運用MATLAB或者VBA編程運算等軟件可以得到相對準確的數據。我們在參與國內外比對或者實際測量過程中，可以參考這種建模的思維方式，幫助我們準確快速的得到最小爬電距離和電氣間隙值。

[1] 陳偉升. 家用電器安全國際標準理解與案例分析:基于IEC 60335-1第5.1版[M]. 中國質檢出版社, 2016.

[2] 劉京玲. Note7拖累三星[J]. 中國消費者, 2016(11):30-30.

[3] 汪奕帆,陳燦坤 三星公開NOTE7爆炸原因——從家電標準角度檢討Ⅲ類器具安全.世界認證地圖.2017.

[4] IEC.IEC 60664-1 2nd Edition Insulation Coordination for Equipment within Low-voltage Systems–Part 1:Principles,requirements and tests, April 1, 2007

[5] WG2-WG4.DSH 0717 Creepage and clearance determin ation,groove,recess,corner,bridging of distance X,Decision approved at the 2009 CTL Plenary Meeting

[6] DSH 590 Rule for creepage across grooves and similar surface discontinuities,Decision approved by the CTL during its 43rd meeting in Johannesburg.