基于排列組合的古典概型及應(yīng)用

謝滟馨

摘 要：概率簡單而直觀的說法就是：概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，概率論史上最先開始研究概率的方法是古典概率方法。古典概型是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考及實(shí)際生活中起重要作用。高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)是如何應(yīng)用排列組合的知識解決古典概型問題，本文一排列組合為基礎(chǔ)來研究古典概型及其應(yīng)用，結(jié)果表明古典概率方法具有簡單、直觀，不需要做大量重復(fù)試驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：概率 排列 組合 古典概型 隨機(jī)事件

中圖分類號：O212 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：C 文章編號：1672-1578（2017）01-0122-03

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型（即概率分布），其最基本的一個(gè)問題就是概率的定義及其確定方法，概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，是介于0和1之間的一個(gè)實(shí)數(shù)。分析近幾年高考數(shù)學(xué)真題可知，每年都要涉及到概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，以概率統(tǒng)計(jì)為背景知識的題目很常見，特別是對古典概型的考查。古典概型是一種比較特殊的概率模型，確定概率的古典方法是概率論歷史上最先開始研究的情形；它簡單、直觀，不需要做大量重復(fù)試驗(yàn)，而是在經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的基礎(chǔ)上，對被考察事件的可能性進(jìn)行邏輯分析后得出該事件的概率。

高考數(shù)學(xué)中概率統(tǒng)計(jì)主要考查的是：在等可能性條件下的概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算問題及運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識來分析、解決高考數(shù)學(xué)中遇到的實(shí)際問題，其特點(diǎn)是常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，其難度不大，這與高考數(shù)學(xué)的發(fā)展方向是相符合的。

1 古典概率方法的基本思想

（1）所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，譬如為n個(gè)。

（2）每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等（稱為等可能性）。例如，拋一枚均勻硬幣，“出現(xiàn)正面”與“出現(xiàn)反面”的可能性相等；拋一枚均勻骰子，出現(xiàn)各點(diǎn)（1～6）的可能性相等。

（3）若事件含有個(gè)樣本點(diǎn)，則事件的概率為

P（A）==，其中Ω是樣本空間

2 排列組合知識

排列與組合是古典概率的基礎(chǔ)。排列與組合都是計(jì)算“從n個(gè)元素中任取r個(gè)元素”的取法總數(shù)公式，其主要區(qū)別在于：如果不講究取出元素間的次序，則用組合公式，否則用排列公式。排列：從n個(gè)不同元素中任取r（r≤n）個(gè)元素排成一列（考慮元素先后出現(xiàn)次序），稱此為一個(gè)排列，此種排列的總數(shù)記為A。 組合：從n個(gè)不同元素中任取r（r≤n）個(gè)元素排成一組（不考

慮元素先后出現(xiàn)次序），稱此為一個(gè)組合，此種組合的總數(shù)記

為C。

排列組合公式的推導(dǎo)都基于兩條計(jì)數(shù)原理：乘法原理和加法原理。 在排列組合中，乘法原理和加法原理既是公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)，又是解決古典概型問題的主要依據(jù)。

3 基于排列組合的古典概型的應(yīng)用

例1（盒子模型） 設(shè)有n個(gè)球，每個(gè)球都等可能地被放到N個(gè)不同盒子中的任一個(gè)，每個(gè)盒子所放球數(shù)不限，試求：

（1）指定的n（n≤N）個(gè)盒子中各有一球的概率p1；

（2）恰好有n（n≤N）個(gè)盒子各有一球的概率p2；

解析：因?yàn)槊總€(gè)球都可放到N個(gè)盒子中的任一個(gè)，所以n個(gè)球放的方式共有種Nn，它們是等可能的。

（1）因?yàn)楦饔幸磺虻膎個(gè)盒子已經(jīng)指定，余下的沒有球的N-n個(gè)盒子也同時(shí)被指定，所以只要考慮n個(gè)球在這指定的n個(gè)盒子中各放1個(gè)的放法數(shù)。設(shè)想第1個(gè)球有n種放法，第2個(gè)球只有n-1種放法，……，第n個(gè)球只有1種放法，所以根據(jù)乘法原理，其可能總數(shù)為n！，于是其概率為：p1= （1）

（2）與（1）的差別在于：此n個(gè)盒子可以在N個(gè)盒子中任意選取。此時(shí)可分兩步做：第一步從N個(gè)盒子中任意選取n個(gè)盒子準(zhǔn)備放球，共有C種取法；第二步將n個(gè)球放入選中的n個(gè)盒子中，每個(gè)盒子各放1個(gè)球，共有n！放法。所以根據(jù)乘法原則共有C·n！=A=N（N-1）（N-2）…（N-n+1）種放法。于是其概率為： p2== （2）

例2 （抽樣模型） 一批產(chǎn)品共有N件，其中M件是不合格品，N-M件是合格品。從中隨機(jī)取出n件，試求事件Am=“取出的m件產(chǎn)品中有件不合格品”的概率。

解析：先計(jì)算樣本空間Ω中樣本點(diǎn)的總數(shù)：從N件產(chǎn)品中任取n件，因?yàn)椴恢v次序，所以樣本點(diǎn)的總數(shù)為C。又因?yàn)槭请S機(jī)抽取的，所以這C個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的。

下面先計(jì)算事件A0，A1的概率，然后再計(jì)算Am的概率。

因?yàn)槭录嗀0=“取出的n件產(chǎn)品中有0件不合格品”=“取出的n件產(chǎn)品全是合格品”，這意味著取出的n件產(chǎn)品全是從

N-M件合格品中抽取，所以有C種取法，故A0的概率為：

P（A0）=

事件A1=“取出的n件產(chǎn)品中有1件不合格品”，要是取出的n件產(chǎn)品中只有1件不合格品，其他n-1件是合格品，那么必須分兩步進(jìn)行：

第一步：從M件不合格品種隨機(jī)取出1件，共有C種取法。

第二步：從N-M件不合格品種隨機(jī)取出n-1件，共有C種取法。

所以根據(jù)乘法原理，A1中共有CC個(gè)樣本點(diǎn)。故A1的概率為： P（A1）=

同理，一般事件Am中含有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)：要使Am發(fā)生，必須從M件不合格品中抽m件，再從N-M件合格品中抽n-m件，根據(jù)乘法原理，Am含有CC個(gè)樣本點(diǎn)，于是Am的概率為 P（Am）=， m=0，1，2，…，r=min{n，M} （3）

注意，在此應(yīng)有m≤n，m≤M，所以m≤min{n，M}，否則其概率為0。

如果取N=9，M=3，n=4，則有

P（A0）=== ， P（A1）===

P（A2）=== ， P（A3）===

將以上結(jié)果列成一個(gè)表格（表1）：

表1中概率之和為1，這意味著m取0，1，2，3等四種情況中必有之一發(fā)生，所以可稱其為一個(gè)概率分布。若把m看做隨機(jī)變量，則此分布為m的分布。

例3（放回抽樣） 抽樣有兩種方式：不放回抽樣與放回抽樣。例2討論的是不放回抽樣。放回抽樣是抽取一件后放回，然后在抽取下一件……如此重復(fù)直至抽出n件為至。因?yàn)槭欠呕爻闃樱缘诙纬槿r(shí)，任有n種取法……如此下去，每一次都有n種取法，一共抽了n次，所以共有Nn個(gè)等可能的樣本點(diǎn)。

事件B0=“取出的n件產(chǎn)品全是合格品”發(fā)生必須從N-M件合格品中有放回地抽取n次，所以B0中含有（N-M）n個(gè)樣本點(diǎn)，故B0的概率為： P（B0）=

事件B1=“取出的n件產(chǎn)品中有1件不合格品”發(fā)生必須從N-M件合格品中有放回地抽取n-1次，從M件不合格品種抽取1次，這樣就有M·（N-M）n-1種取法。再考慮到這個(gè)不合格品可能在第一次抽取中得到，也可能在第二次抽取中得到……也可能在第n次抽取中得到，總共有n種可能。所以B1中含有n·M·（N-M）n-1個(gè)樣本點(diǎn)，故B1的概率為：

P（B1）== n（1-）

事件Bm=“取出的n件產(chǎn)品中恰有m件不合格品”發(fā)生必須從N-M件合格品中有放回地抽取n-m次，從M件不合格品種抽取m次，這樣就有Mm·（N-M）n-m中取法。再考慮到m件不合格品可能在n次中的任何m次抽取中得到，總共有C種可能。所以事件Bm含有CMm（N-M）n-m個(gè)樣本點(diǎn)，故Bm的概率為：

P（Bm）=C

=C n（）（1-），m=0，1，2，…，n. （4）

由于是放回抽樣，不合格品在整批產(chǎn)品中所占的比例M/N不變，記此比例為p，則上式可改寫為：

P（Bm）=CPm（1-P）， m=0，1，2，…，n.

同樣取N=9，M=3，n=4，則有：

P（B0）=（1-）4= ， P（B1）=4·（）2=

P（B2）=6·（）2（）2= ， P（B3）=4·（）3（）1=

將以上結(jié)果列成一個(gè)表格（表2）：

例4（彩票問題） 一種福利彩票稱為幸運(yùn)35選7，即購買時(shí)從01，02……35中任選7個(gè)號碼，開獎時(shí)從01，02……35中不重復(fù)地選取7個(gè)基本號碼和一個(gè)特殊號碼。中各等獎的規(guī)則如下：

中獎級別 中獎規(guī)則

一等獎 7個(gè)基本號碼全中

二等獎 中6個(gè)基本號碼及特殊號碼

三等獎 中6個(gè)基本號碼

四等獎 中5個(gè)基本號碼及特殊號碼

五等獎 中5個(gè)基本號碼

六等獎 中4個(gè)基本號碼及特殊號碼

七等獎 中4個(gè)基本號碼，或中3個(gè)基本號碼及特殊號碼

試求各等獎的中獎概率。

解析：因?yàn)椴恢貜?fù)地選號是一種不放回抽樣，所以樣本空間Ω含有C個(gè)樣本點(diǎn)，要中獎應(yīng)把抽取看成是三種類型中抽取：

第一類號碼：7個(gè)基本號碼。第二類號碼：1個(gè)特殊號碼。

第三類號碼：27個(gè)無用號碼。

注意到例2中是在兩類元素（合格品和不合格品）中抽取，如今在三類號碼中抽取，若記Pi為中第i等獎的概率（i=1，2，…7），運(yùn)用例2的方法可計(jì)算得各等獎的中獎概率如下：

P1===0.149×10-6，

P2===1.04×10-6，

P3===28.106×10-6，

P4===84.318×10-6，

P5===1.096×10-3，

P6===1.827×10-3，

P7===30.448×10-3。

若記A為事件“中獎”，則A為事件“不中獎”，且由P（A）+

P（A）=P（Ω）=1可得：

P（中獎）=P（A）=P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7

==0.033485

P（不中獎）=P（A）=1-P（A）=0.966515

這就說明：一百個(gè)人中約有3人中獎，而中頭獎的概率只有0.149×10-6，即兩千萬人中約有3人中頭獎。 因此購買彩票要有平常心，期望值不宜過高。

例5（生日問題） n個(gè)人的生日全部相同的概率Pn是多少？

解析：把n個(gè)人看成是n個(gè)球，將一年365天看成是N=365個(gè)盒子，則“n個(gè)人的生日全部相同”就相當(dāng)于“恰好有n（n≤N）個(gè)盒子各有一球”，所以n個(gè)人的生日全部相同的概率為：

Pn==（1-）（1-）…（1-） （5）

上式看似簡單，但其具體計(jì)算是繁瑣的，對此可以用一下方法做近似計(jì)算：

（1）當(dāng)n較小時(shí)，（5）式右邊中各因子的第二項(xiàng)之間的乘積×都可以忽略，于是有近似公式：

Pn≈1-=1- （6）

（2）當(dāng)n較大時(shí)，因?yàn)閷τ谛〉恼龜?shù)x，有l(wèi)n（1-x）≈-x，所以由（5）式得：

lnPn≈=1- （7）

例如，當(dāng)n=10時(shí)，由（7）式給出的近似值為0.8840，而精確值為Pn=0.8831，n=30時(shí)，近似值為0.3037，精確值為Pn=0.2937。

這個(gè)數(shù)值結(jié)果令人很吃驚，因?yàn)樵S多人會認(rèn)為：一年365天，30個(gè)人的生日全不相同的可能性是較大的，至少會大于

1/2。甚至有人會認(rèn)為：100個(gè)人的生日全不相同的可能性也是較大的。對于不同的n值，表3列出用（7）近似公式計(jì)算出的Pn值。

表3中最后一行是對立事件“n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同”的概率1-Pn。當(dāng)n=60時(shí)，1-Pn=0.9922表明在60個(gè)人的群體中至少有兩個(gè)人生日相同的概率超過99%，這是出乎人們意料的。而進(jìn)一步的計(jì)算我們可以得出：當(dāng)n>23時(shí)，有1-Pn>0.5。

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