運動學模型中投籃的出手速度與角度對命中率的影響

王浩羽

(湖北省黃石市第二中學 湖北黃石 435003)

一直以來，具有一定激烈性、對抗性與技巧性的籃球運動深受運動愛好者的歡迎[1]。從本質上來說，籃球競技運動的勝負取決于在遵守游戲規則的前提下，如何準確地把籃球扔進籃筐里。所以，能夠在離籃球框遠近距離的位置上精準投籃就越發重要。本文利用物理學中運動學規律，結合籃球運動中投籃位置與中國人男女平均身高，討論影響投籃命中率的出手速度與出手角度間的關系，期望研究結果對籃球運動愛好者有些許指導意義。

圖1為投籃示意圖。圖中OP=h，代表籃球離地高度，假設在籃球與人等高時投籃，此時高度也代表人的高度。PQ=L，表示籃球到籃筐中心的直線距離，O’Q=H，表示球筐到地面高度，依照國際籃聯要求，H=3.05m。據2016年統計，我國18周歲及以上成年男性和女性的平均身高(h)分別為167.1cm和155.5cm[2]。當人以仰角為(速度方向與水平方向的夾角)、初速度為v0，向籃筐方向出手投籃，此時PQ與水平方向的夾角為β。利用物理學中的運動學方程，我們將討論在不同區域投籃時：(1)籃球的球心命中籃筐時，籃球出手時初速度與其仰角(α)、球相對籃筐的水平位置(β)間的關系；(2)在滿足籃球命中籃筐的前提條件下，出手速度的最小值。

圖1 投籃示意圖

1 研究方法

首先，建立物理模型[3]。籃球出手后，其運動可以看作為沿水平方向做勻速直線運動、沿豎直方向做上拋運動的兩種運動的合成，如圖2所示。考慮這兩個方向具體的運動，利用運動學方程：

水平方向：

豎直方向：

聯立(1)(2)兩式可得籃球的出手速度v0與仰角α間函數關系為：

根據國際籃聯要求，三分球離籃筐水平距離最遠為d=7.25m，最近為d=6.7m,現討論身高為全國平均身高的男生(167.1cm)與女生(155.8cm)，站在離球筐水平距離為7.25米處投籃(3分球)，對男生有：

如果他們在距離球籃筐3m處出手投籃(2分球)，此時對男生有：

圖2 出手速度在水平方向(x軸)和豎直方向(y軸)分解示意圖

圖3 在保證籃球命中的情況下，男(a)、女(b)生出手投籃距球筐水平距離(d)取不同值時，出手速度與仰角之間的關系

2 結果與分析

在考慮(4)～(7)式情況下，結合(3)式的函數關系，我們獲得圖3。

從圖3(a)與(b)中，不難發現它們具有共同特點：在某一位置投籃時(d值一定，如d=7.25)，出手速度會隨著仰角的增大先減小后增大，存在極小值，且出手速度隨著仰角的變化會關于此極小速度對稱；凹槽區間會隨著d值的減小而變小，表明越靠近籃筐投籃，籃球可出手的仰角范圍將越小；籃球的出手最小速度也會隨著d值得增加而變大[如圖3(a)中d=7.25曲線與d=3曲線]，表明越遠離球筐投籃，對出手的初速度要求將越大。值得指出的是，此時的最小速度所對應的仰角α的大小，也即曲線凹槽最低點的橫坐標，將會隨著距離的減小而右移，這一現象表明：越靠近籃筐位置，最小速度所對應的仰角值越大。曲線凹槽兩端趨于無窮大，表明如果以此時的仰角出手，籃球不可能直接命中球筐。

比較圖3中的(a)與(b)圖，我們發現，站在相同的地方投籃(d值一定，都為3m時)男生的最小速度要比女生的最小速度小，表明身高越高，在相同點投籃時所需最小速度將越小。

接下來，我們考慮出手速度極小值與仰角的數值關系。由式(3)可知，此處的出手速度無窮大分別對應著式中分母為零時的兩處仰角值，分別為cosα=0與sin（α-β） =0。其取值為:和α-β=0，譬如圖3(a)中的虛線部分，極小值出現在這兩個極值角度中間，所以最小出手速度處所對應的角度為。利用微分求極值方法，在保證籃球命中的前提下，由于籃球的運動軌跡與仰角 有關，籃球的出手速度與仰角 又具有(3)式的函數關系，因而有：

由(9)式可以得知：當出手速度的仰角比45°角稍大時，此時的投籃出手速度最小。由此，采用平均方法求最小值與采用微積分求解極值的方法所得結果一致，表明出手速度確實存在一個極小值，該極小值僅與投籃者的身高和離籃筐的距離有關。所以在同一地點投籃時，高個子要比矮個子的最小出手速度所對應的仰角要小,這一結論與文獻[4]所得結果一致。

3 總結與建議

本文采用物理學中的運動學規律，在沒有考慮空氣阻力的影響下，研究了投籃過程中出手速度與仰角、投籃者身高、投籃者距離球筐距離之間的關系(v0,α,β)，研究結果表明：(1)同一地點投籃時，最小出手速度與其對應的仰角會隨著投籃者身高的增加而減小；(2)不同點投籃時，最小出手速度會隨著投籃者到籃筐的距離增加而變大，但最小出手速度所對應的仰角會隨著這一距離的增加而變小；(3)投籃者距離籃筐越近投球，其仰角變化區間將越小。綜合以上研究結果，我們認為：(1)高個子投籃時(男生)，仰角應接近45°投籃適宜。此時所耗能量最小。當仰角增大時，球在空中運動軌跡變長，考慮所遇空氣阻力更大，所需出手速度需要更大；(2)矮個子投籃時(女生)，仰角稍微要比45°大，當在遠距離投籃時，可以適當有助跑，以增加出手速度大小。

[1]閆多多.基于籃球競賽改革下高校籃球運動員的培養[J].當代體育科學,2017,7(5):231-232.

[2]邊齋.中國人身高百年增長10厘米[J].教育視界,2016(16):75.

[3]馬文蔚.物理學(上冊)[M].高等教育出版社,2006.

[4]李筍南,楊國慶,張新.試用數學模型分析投籃的出手角度——以分析罰球投中空心籃方式為基本模型[J].北京體育大學學報,2005,28(2):200-202.