基于分形理論的SF6/N2混合氣體放電仿真

李 敏汪 沨許松枝陳曉林黃墀志謝望君

（1. 湖南大學電氣與信息工程學院 長沙 410082 2. 長沙供電公司 長沙 410000）

基于分形理論的SF6/N2混合氣體放電仿真

李 敏1,2汪 沨1許松枝1陳曉林1黃墀志1謝望君1

（1. 湖南大學電氣與信息工程學院 長沙 410082 2. 長沙供電公司 長沙 410000）

為了研究SF6/N2混合氣體電介質擊穿現象，利用編寫的Matlab程序對放電通道發展過程進行數值模擬，并結合分形幾何原理計算放電樹枝的分形維數。基于分形理論，建立了考慮空間電荷分布和引入物理時間的棒-板分形放電仿真模型，通過有限元方法（FEM）計算空間電場，并首次結合通量校正傳輸（FCT）法求解帶電粒子連續性方程，研究了不同發展概率指數、不同放電閾值和SF6含量變化下分形放電特性。結果表明：概率指數越大，SF6含量越高，則分形維數越小，放電樹枝分叉也越少；體積含量50%/50%的SF6/N2混合氣體放電分形維數D=1.219 2，整個放電過程流注發展平均速度為1.15Mm/s，并得到了不同時刻空間電荷及軸向電場與電子濃度的分布。

放電 分形維數 SF6/N2混合氣體 有限元方法 通量校正傳輸法 概率指數

0 引言

目前，關于SF6/N2混合氣體流注放電的仿真研究比較多，其放電機理、絕緣性能和電暈放電特性成為研究熱點[1-3]?，F有的放電模型主要是針對放電后電暈形成和流注發展，沒有從微觀上很好地解釋流注放電通道的形成過程。分形的概念最早由B. B. Mandelbrot[4]于1975年提出，它是一種用于研究和處理自然界與工程應用中不規則圖形的強有力工具。SF6氣體放電擊穿現象非常復雜，放電過程會產生一些細小的放電通道，且放電通道明顯呈現出樹枝狀的特征，有一定的隨機特性和自相似特性[5]。因此可以采用分形幾何的方法來研究SF6氣體放電發展過程[6,7]。

研究絕緣介質分形放電特征的模型主要有兩種，即NPW模型[8]和WZ模型[9]。NPW模型中只考慮電場強度E和發展概率分布函數中的概率指數η，放電樹枝的發展只沿著電場最大的方向發展，即發展方向很固定。而WZ模型在NPW模型基礎上引入放電閾值EC和放電通道電壓降ΔU，其發展結果更接近實際情況。無論是NPW模型還是WZ模型均未考慮空間電荷和局部放電對放電通道的影響，而實際中空間電荷對放電通道有明顯影響。俄羅斯學者D. I. Karpov和A. L. Kupershtokh在NPW模型基礎上引入空間電荷，并考慮雜質對放電結構的影響，提出了一種不均勻絕緣體系中放電生長的NKL模型[10]，完善了分形電介質放電仿真。2005年，H. Z. Ding和 B. R. Varlow提出了一種同時考慮電場和機械應力的電樹生長熱動力學模型[11]，使得分形放電的研究進入到一個更深入的階段。賀恒鑫等建立了結合傳統流注放電理論和分形生長理論的正極性流注生長概率模型[12]，研究了棒-板長間隙正極性流注放電過程。2012年，山東大學的譚震宇結合分形理論構建了考慮氣泡生長過程的水中流注放電仿真模型[13]，并對不同電壓幅值和溶液電導率下的放電特性進行仿真。2013年，重慶大學的陳偉根基于多重分形特征研究了絕緣子污穢放電過程，得出泄漏電流波形的廣義分形維數和多重分形譜寬能有效預測污穢放電的發展趨勢[14]。

本文在總結現有分形電介質放電模型的基礎上，考慮了空間電荷對放電通道的影響（即在放電初始時刻先在棒頭部釋放一定種子電子，電子在電場力的作用下向極板運動，同時與中性混合氣體發生碰撞電離，產生新的電子、正離子和負離子，從而使放電間隙逐漸分布空間電荷），引入閾值電場、物理時間（每一步平均發展時間Δt）和通道電壓降落ΔU等參數，并結合泊松方程和帶電粒子連續性方程描述放電通道內部的電荷轉移。闡述了如何結合分形計算SF6/N2混合氣體；說明了分形放電初始條件的設置。本文首次采用有限元通量校正傳輸算法對不同濃度SF6/N2混合氣體分形放電過程進行仿真分析。通過有限元方法（Finite Element Method, FEM）準確求解泊松方程，通量校正傳輸法（Flux Corrected Transport, FCT）計算空間帶電粒子濃度的變化。該模型不僅可以直接給出分形放電發展的動態演化，還可以給出放電分形維數、流注發展速度等微觀參數。

1 分形放電的數學模型

1.1 放電樹枝的分形維數計算

由于氣體放電通道的發展呈樹枝狀，并且放電樹枝在一定尺度內具有很強的自相似，定量分析放電樹枝時需用到分形的概念。圖1為SF6氣體分形放電圖像[8]。根據分形幾何學，放電樹枝總長度與放電單位長度的關系滿足[7]

式中，D為分形維數；N(r)為放電樹枝總長度；r為單位長度，r=1/R，R為放電半徑。由式（1）得

當R與r相比足夠大時，由式（2）可得到放電樹枝的分形維數。

1.2 空間電場和帶電粒子連續性方程離散求解

氣體放電過程的產生和發展是一個非常復雜的過程，包括分子、電子、正負離子的電離、復合、附著、遷移、擴散、光電離等過程，可以采用帶電粒子連續性方程與泊松方程式（3）～式（5）描述[15,16]。空間各點的電位φ通過求解泊松耦合方程給出，即

式中，ρ為空間電荷密度；εr和ε0分別為混合氣體介質相對和真空介電常數；E為電場強度；e為基本電荷；Nx為帶電粒子濃度（其中包括電子濃度Ne、正離子濃度N+和負離子濃度N-）；νx、Dx和Sx分別為粒子遷移速率、擴散系數和粒子源項（包括電離、吸附及復合過程），它們都是電場強度與中性混合氣體濃度比值（E/N）的函數[3]。

為了提高計算精度，本文采用FEM求解式（3），準確地給出各個節點的電位。并通過式（4）計算出空間各點的場強。在放電通道內存在大量帶電粒子的遷移運動，粒子濃度變化非?？?，對式（5）先采用兩步泰勒-迦遼金格式[17]，每發展一步在時間上進行離散得到式（6），再對式（6）利用經典的迦遼金加權余量法[18]得到矩陣方程（7）。

式中，Mc為單元貢獻一致質量矩陣[19]；Rn為單元對節點的貢獻量；ΔN為節點粒子濃度增量；Δt為時間步長。式（7）采用高精度的FCT進行求解[20,21]，可以有效地抑制仿真過程出現的數值擴散問題。

1.3 分形放電樹枝發展機制

為了更好地對SF6/N2混合氣體放電進行模擬，本文結合分形理論，從分形放電的角度研究其放電特性及流注發展機理。不同混合氣體比例SF6/N2，其耐電強度（即擊穿場強）不同，主要通過放電閾值Ec決定。只有當放電通道內場強高于放電起始場強時，才能產生有效電離，并保證放電往前發展。SF6/N2混合氣體中粒子的遷移率、電離率、吸附率、復合率等參數都是場強與中性混合氣體濃度比值（E/N）的函數。而概率指數選擇和每一步發展時間Δt都與空間電場E有關。放電樹枝各方向發展的概率由各方向的有效碰撞電離系數決定，本文采用WZ模型的發展概率函數[9]，即

式中，η為放電發展的概率指數；Ei為待發展節點i處的場強。η和Ei分別表示隨機因素和確定性因素對放電發展的影響。從式（9）可以看出放電樹枝沿各個方向發展的概率最終是由樹枝端部的局部場強和放電閾值決定的。在分形介質擊穿模型中，放電通道的發展是由確定的概率分布決定的，因此考慮通過概率分布轉換得到“物理時間”[22]，本文采用文獻[23]中的方法，根據式（9）確定的概率函數，放電通道某一點的生長率函數為。由于放電通道內各個發展點在統計上是獨立的，故總生長率G是所有可能發展方向上的生長率總和，則每一步平均發展時間Δt為G的倒數，即

式中，θ為時間轉移系數，其值與氣體介質放電特性和具體的放電發展過程有關；Δt為時間步長，取值與此處的每一步平均發展時間相同，即分形放電在每一步發展過程中都是與發展概率函數和放電閾值相關?？紤]放電通道內部的電壓降落，樹枝端部的電位為

式中，φ0為棒頭部施加的電壓；Li為端部新發展的樹枝長度；φi為樹枝端部電位。

2 仿真

2.1 分形放電過程

仿真過程：①通過給定初始邊界條件，采用FEM求解泊松方程，獲得各節點的電位和場強；②利用FCT求解帶電粒子連續性方程給出空間各點的粒子濃度；③計算各個待發展點的發展概率，采用累積概率的方法選擇待發展點，并將新發展點與已發展點連接；④每發展一步，利用式（11）計算樹枝端部電位，并把新發展點的電位計入邊界條件中；⑤判斷樹枝是否發展到極板，若沒有返回①步；⑥計算該放電圖形的分形維數，放電過程結束。

本文采用如圖2所示的棒-板結構電極，對整個區域采用三角元剖分，剖出3 871個節點和7 498個三角單元，黑色實線為已發展的放電樹枝。仿真中棒-板間距d=5mm，棒的半徑r=0.125mm，棒頭部施加電壓φ0=-20kV，極板電位φ1=0，棒-板間隙充滿標準大氣壓下的體積含量50%/50% SF6/N2混合氣體，溫度取300K，混合氣體濃度為2.467×1025/m3，放電場強閾值為Ec=343Td（1Td=10-21V·m2），概率指數η=1.0。在t=0ns時，在棒頭部附近處釋放一定量的初始種子電子，電子的分布為高斯分布[24]，即

式中，n0=106/cm3；σx=0.1mm；σy=0.05mm；y0=r。

初始電子受電場力作用開始向極板快速運動，電子與中性氣體分子發生碰撞電離產生新的電子和正離子，同時電子被SF6氣體分子吸附形成負離子。當有效電離系數時，其中，α為電子碰撞電離系數，β為電子吸附系數，才有可能保證分形放電向前發展，流注發展條件為[5]

式中，K為常數。

故放電產生和發展的條件為放電通道內場強高于放電起始場強閾值Ec。

圖2 棒-板電極結構剖分及放電樹枝Fig.2 Split and discharge branches rod-plane electrode

放電過程采用步進式方式，每一個已發展點可以向周圍若干個非樹枝點發展，具體發展哪一個點由發展概率函數決定。仿真得到了一次放電過程四個不同時刻的放電圖像，如圖3所示。空間電荷在放電通道內的主要分布如圖4所示。從仿真結果可知，放電開始階段，流注的發展速度很慢，電樹枝在棒頭部周圍緩慢生長，但棒頭部附近起始場強較大，電子與中性粒子發生劇烈的碰撞電離，產生大量新的電子和正離子。同時SF6氣體具有較強的吸附作用，一部分電子被其吸附形成負離子，從而空間電荷主要分布在棒頭部和流注頭部附近。當電樹枝發展到一半間隙時，由于放電通道內電離出足夠的電子、正離子和負離子，使流注迅速發展，主放電樹枝向極板快速發展，直至達到極板，流注發展速度最終達到2.12Mm/s，放電過程結束。整個放電過程流注發展平均速度為1.15Mm/s，得到放電圖像的分形維數D=1.219 2。

圖3 不同時刻的仿真放電圖像Fig.3 Simulation discharge images at different times

圖4 不同時刻的仿真空間電荷密度分布Fig.4 Simulation charge density distribution in space at different times

圖5為相同條件下，只改變放電發展概率指數得到的仿真結果，圖5a、圖5b分別為η=0.5、η=1.5時的分形圖像。比較分形圖像可以看出，放電概率指數越大，放電圖像的側向樹枝分叉越少，有明顯的主放電樹枝。這也表明，當η較大時，放電樹枝的發展基本趨向于場強最大的方向，閾值電場對放電樹枝影響減小，導致兩種情況下得到的分形維數差值增大。

圖5 不同放電發展概率指數下的仿真分形圖像Fig.5 Fractal images at differentη

圖6為相同條件下，通過設置不同放電閾值仿真計算得到的分形維數。由圖可知分形維數與放電閾值呈非線性下降關系。放電閾值越大，放電樹枝側向發展概率越小，分形維數也越??；當放電閾值小于343Td時，分形維數增大很快。從式（9）分析可知，放電閾值越小，可供新發展的節點越多，故側向樹枝發展增多，從而使分形維數增大。

圖6 分形維數與放電閾值的關系Fig.6 The relationship between fractal dimension and discharge threshold

圖7和圖8分別為相同條件下的不同時刻的軸向電場和軸向電子濃度分布。由圖7可知，隨著放電的發展，軸向場強的峰值逐漸往前移動，這與圖3中出現明顯的主放電樹枝相吻合。另外棒頭部附近場強始終較大，是因為頭部曲率較大，電場畸變大，一直能產生有效電離。由圖8可見，電子濃度峰值隨著放電進行，不斷遷移且峰值逐漸增大，在放電結束時達到最大值。結合圖7可知分形流注頭部場強畸變嚴重，往往是電離最劇烈的區域，因此電子濃度在不斷增大。

圖7 軸向場強分布Fig.7 Electric field distribution along axis

圖8 軸向電子濃度分布Fig.8 Electronics density distribution along axis

2.2 分形維數與SF6濃度的關系

保持其他條件不變的情況下，改變混合氣體中SF6比例，對SF6/N2中SF6體積含量分別為10%和100%兩種情況的放電過程進行仿真分析。放電閾值根據氣體間隙耐電強度峰值（即混合氣體放電產生有效電離率所需最小場強值）來確定[25]。其中低含量SF6的分形放電過程，放電場強閾值Ec=273Td；純SF6的分形放電過程，放電場強閾值Ec=377Td。圖9a為低含量SF6時的分形圖像，D=1.294 5；圖9b為純SF6時的分形圖像，D=1.132 2。對比結果發現SF6含量越高，放電樹枝側向分叉越少，分形維數越小，出現明顯的主放電樹枝。這是由于SF6含量越高吸附系數越大，產生碰撞電離所需場強也越大，同時產生有效放電的場強閾值也提高。并且SF6氣體分子具有較強的吸附作用，通道中的電子很容易被SF6氣體分子吸附變成負離子，使主放電通道內離子數量增加，導致流注頭部場強畸變很大，故放電樹枝不易往兩側發展。

圖9 不同SF6含量下的分形圖像Fig.9 Fractal images at different percentages of SF6

3 結論

1）本文提出的模型能夠很好地模擬SF6/N2混合氣體分形放電過程，得到了完整的分形圖像、分形維數和流注發展速度。

2）仿真結果表明，概率指數和SF6氣體比例越大，放電側向樹枝分叉越少，有明顯的主放電樹枝；概率指數越大的一側向放電樹枝的發展概率越小，而SF6濃度越高吸附作用越強。

3）仿真也得到了不同時刻空間電荷分布、軸向電場分布及軸向電子濃度分布等微觀參數，可以更好地從微觀角度理解SF6/N2混合氣體的放電機理。

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Simulation of Discharge in SF6/N2Gas Mixtures Based on Fractal Theory

Li Min1,2Wang Feng1Xu Songzhi1Chen Xiaolin1Huang Chizhi1Xie Wangjun1
（1. School of Electrical and Information Engineering Hunan University Changsha 410082 China 2. Changsha Power Supply Company Changsha 410000 China）

In this paper, the model of dielectric breakdown in SF6/N2mixed gas is simulated by using the Matlab programs. This rod-plane model is established considering the distribution of space charge and introducing physical time, based on the fractal theory. The finite element method (FEM) is used to solve the electric field, and particle continuity equations are solved by the flux corrected transport (FCT) algorithm. Moreover, the characteristics of fractal discharge under various scenarios are analyzed, such as different probability exponents, different discharge thresholds, and different percentages of SF6and so on. The simulation results show that the number of branches and fractal dimension decrease with the increasing of probability exponent and the percentage of SF6. The discharge fractal dimensionDof 50%/50% SF6/N2gas mixture equals to 1.219 2, and the average velocity during the discharge process of streamer propagation is 1.15Mm/s. Moreover, the distributions of charge density in space, electric field alone the axis, and electrons density alone the axis are calculated.

Discharge, fractal dimension, SF6/N2mixed gas, finite element method, flux corrected transport, probability exponent

TM213

李 敏 男，1989年生，碩士研究生，研究方向為氣體放電仿真。

E-mail: liminzhenqi@163.com（通信作者）

汪 沨 男，1972年生，博士，教授，博士生導師，研究方向為電力設備絕緣技術、氣體放電及其應用技術等。

E-mail: Wangfeng55@263.net

教育部新世紀優秀人才支持計劃基金（NCET-11-0130）和高等學校博士學科點專項科研基金（20120161110009）資助項目。

2015-10-29 改稿日期 2016-04-03