找準相互關系 建立正確模型

張永

近年來的中考試題中經常會出現一些既含有相等關系又有不等關系的綜合應用題，解答此類問題時，可以先根據相等關系構造方程（組），再根據不等關系構造不等式（組）求出滿足條件的未知量.因此，在復習時要求同學們熟練掌握方程和不等式的知識，結合函數知識，明確它們之間的聯系及是否可以互相轉化，通過對探索、開放型問題的討論，提高分析問題、解決問題的能力，增強數學學習中的應用意識.

例1 已知關于x的方程[2x+mx-2]=3的解是正數，則m的取值范圍為 .

【分析】先解關于x的分式方程，求得x的值，然后再依據“解是正數”建立不等式求m的取值范圍.

解：去分母得：2x+m=3x-6，解得：x=m+6，

因為x>0，所以m+6>0，即m>-6.①

又因為原方程是分式方程，所以x≠2，即m+6≠2，所以m≠-4.②

由①②可得，m的取值范圍為m>-6且m≠-4 .

【點評】解答本題時，易漏掉分母不等于0這個隱含的條件，這應引起足夠重視.

【小試身手】1.已知關于x的分式方程[mx-1]+[31-x]=1的解是非負數，則m的取值范圍是（ ）.

A.m>2 B.m≥2

C.m≥2且m≠3 D.m>2且m≠3

例2 為增強居民節約用電意識，某市對居民用電實行“階梯收費”，具體收費標準見表：

某居民五月份用電190千瓦時，繳納電費90元.

（1）求x和超出部分電費單價；

（2）若該戶居民六月份所繳電費不低于75元且不超過84元，求該戶居民六月份的用電量范圍.

【分析】（1）用方程解決應用問題的關鍵是找出關鍵描述語，確立等量關系，列出方程求解.本題的關鍵描述語為：某居民五月份用電190千瓦時，繳納電費90元.等量關系為：不超過160千瓦時的電費+超過160千瓦時的電費=90.（2）用不等式解決應用問題的關鍵是：找出關鍵描述語，確立不等量關系，列出不等式求解.本題的關鍵描述語為：該戶居民六月份所繳電費不低于75元且不超過84元，不等量關系為：75≤六月份電費≤84.

解：（1）根據題意得：

160x+（190-160）（x+0.15）=90，

解得x=0.45，

所以超出部分的電價為：x+0.15=0.6（元/千瓦時）.

（2）設該用戶六月份用電量為a千瓦時，

根據題意得：75≤160×0.45+0.6（a-160）≤84，解得：165≤a≤180.

答：該戶居民六月份的用電量為不低于165千瓦時且不超過180千瓦時.

【點評】本題的關鍵是根據題意列出方程和不等式，重點是找出等量關系和不等關系，依據是題意中的關鍵描述語：某居民五月份用電190千瓦時，繳納電費90元；該戶居民六月份所繳電費不低于75元且不超過84元.

【小試身手】2.某校計劃購買甲、乙兩種樹苗共1000株用以綠化校園，甲種樹苗每株25元，乙種樹苗每株30元，通過調查了解，甲、乙兩種樹苗成活率分別是90%和95%.

（1）若購買樹苗共用去28000元，則甲、乙兩種樹苗各購買多少株？

（2）要使這批樹苗的總成活率不低于92%，則甲種樹苗最多購買多少株？

（3）在（2）的條件下，應如何選購樹苗，使購買樹苗的費用最低？并求出最低費用.

例3 為了保護環境，某開發區綜合治理指揮部決定購買A，B兩種型號的污水處理設備共10臺.已知用90萬元購買A型號的污水處理設備的臺數與用75萬元購買B型號的污水處理設備的臺數相同，每臺設備價格及月處理污水量如下表所示：

（1）求m的值；

（2）由于受資金限制，指揮部用于購買污水處理設備的資金不超過165萬元，問有多少種購買方案？并求出每月最多處理污水量的噸數.

【分析】（1）根據90萬元購買A型號的污水處理設備的臺數與用75萬元購買B型號的污水處理設備的臺數相同，列出m的分式方程，求出m的值即可；

（2）設買A型污水處理設備x臺，則B型為（10-x）臺，根據題意列出x的一元一次不等式，求出x的取值范圍，進而得出方案的個數，并求出最大值.

解：（1）由90萬元購買A型號的污水處理設備的臺數與用75萬元購買B型號的污水處理設備的臺數相同，

即可得：[90m]=[75m-3]，

解得m=18，

經檢驗m=18是原方程的解，即m=18；

（2）設買A型污水處理設備x臺，則B型為（10-x）臺，

根據題意得：18x+15（10-x）≤165，

解得x≤5，由于x是整數，則有6種方案：

當x=0時，10-x=10，月處理污水量為1800（噸）；

當x=1時，10-x=9，月處理污水量為220+180×9=1840（噸）；

當x=2時，10-x=8，月處理污水量為220×2+180×8=1880（噸）；

當x=3時，10-x=7，月處理污水量為220×3+180×7=1920（噸）；

當x=4時，10-x=6，月處理污水量為220×4+180×6=1960（噸）；

當x=5時，10-x=5，月處理污水量為220×5+180×5=2000（噸）.

答：有6種購買方案，每月最多處理污水量的噸數為2000噸.

【點評】本題考查分式方程的應用和一元一次不等式的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵.

【小試身手】3.某汽車專賣店銷售A，B兩種型號的新能源汽車.上周售出1輛A型車和3輛B型車，銷售額為96萬元；本周已售出2輛A型車和1輛B型車，銷售額為62萬元.

（1）求每輛A型車和B型車的售價各為多少元.

（2）甲公司擬向該店購買A，B兩種型號的新能源汽車共6輛，購車費不少于130萬元，且不超過140萬元，則有哪幾種購車方案？

（作者單位：江蘇省連云港市塔山中學）