水波位移法中正定勢能的影響

吳鋒　鐘萬勰

摘要：

研究水波位移法中勢能的正定性問題.將水的不可壓縮條件用于重力勢能，得到具有正定性的勢能；通過數值算例比較水波正定勢能和非正定勢能對計算結果的影響.由數值實驗結果可知：對于非正定勢能，數值離散后容易出現負的特征值，而取正定勢能時則不會.負的特征值意味著數值發散，結果不符合物理實際，應當避免.

關鍵詞：

水波位移法； 不可壓縮條件； 正定勢能

中圖分類號： O313.7

文獻標志碼： A

Abstract：

The positive definite property of the potential energy in water wave displacement method is studied. The water incompressible condition is substituted to the gravitational potential energy to produce positive definite potential energy. Some numerical tests are used to investigate the effect of positive and nonpositive definite energy on calculation results. The numerical test results show that， the nonpositive definite potential energy may results in negative eigenvalues which violate the physical law. However， the positive definite potential energy can exclude the negative eigenvalues.

Key words：

water wave displacement method； incompressible condition； positive definite potential energy

0引言

對水波的數值模擬，常規做法是在Euler坐標下進行的.[13]然而，在Euler坐標下，當涉及到自由表面等動邊界問題時，存在數值困難.[47]因此，近年來基于Lagrange坐標的水波位移法逐漸得到重視和發展.其實早在1788年，LAGRANGE[8]在其經典名著《Analytical mechanics》中就已經討論水波基于位移的約束作用量和約束變分原理，然而該論述遲遲沒有得到重視，基于位移的水波模擬計算也沒有很好地發展.1998年，MORRISON[9]在國際頂尖期刊Reviews of Modern Physics上發表的Hamiltonian deocription of the ideal fluid中，在介紹水波基于位移的變分原理時，仍然認為位移等Lagrangian變量（或稱為物質變量）對于讀者而言是新鮮事物，故特意強調.

2006年以來，鐘萬勰等將Lagrange坐標與Hamilton理論相結合研究淺水波問題.[1014]他們建立以位移表示的動能、勢能、Lagrange函數和Hamilton變分原理，并進而導出基于位移的淺水波方程（Shallow Water Equation based on Displacement， SWED），同時研究SWED的數值求解格式，對作用量在時間和空間上同時進行有限元離散，然后通過最小作用量變分原理，導出保辛的離散積分格式，在長時間仿真計算中可以很好地保守能量，并將之用于三峽升船機水箱的研究中.考慮到算法的守恒性以及對動邊界、自由面的處理是目前計算水波動力學中的兩個難題，而在Hamilton體系下結合Lagrange坐標研究水波的非線性演化，既可以準確地處理自由面和動邊界，又可以充分利用保辛算法守恒性好、無人為耗散的優點，值得進一步研究和發展.

當涉及到深水波計算時，考慮到水的不可壓縮條件，需要建立水波的約束變分原理.雖然LAGRANGE[8]已經討論過不可壓縮水波的約束作用量和約束變分原理，但該作用量中的勢能并不具備正定性.如果基于此不正定的勢能進行數值離散，則不能保證離散的Hamilton函數的正定性.著作《力功能辛——離散：祖沖之方法論》 [15]指出：“Hamilton函數為正定.……，在物理上說，振動不會隨時間衰減，而是不斷重復.”這表明如果數值離散時不能保證Hamilton函數的正定性，會導致振動隨時間衰減或者放大，而非不斷重復，這與物理實際不吻合.在Lagrange坐標下研究水波數值模擬時，Hamilton函數由勢能和動能組成，其中動能天然具有正定性，因此勢能的正定性對于模擬的正確性至關重要.本文討論勢能正定性對水波位移法數值模擬的影響，分別導出具有非正定勢能和正定勢能的2種約束作用量，接著通過數值算例，觀察兩者的數值表現，驗證正定勢能的必要性.

1矩形水池的約束作用量

首先，

分析深為H、長為L的矩形水池，見圖1，其中虛線是變形后的水面，實線表示水面靜止時的形狀.靜止時水中各個質點的坐標為（x，z）.初始時刻水面靜止，t時刻的位移分別為u（x，z，t）和w（x，z，t）.

分別采用非正定勢能和正定勢能2種不同作用量計算，采用有限元對作用量進行空間離散，單元分別選取表1中的單元進行組合，算例則標記為UiWjPk.例如，假設水平位移取2號單元近似，豎向位移取3號單元近似，而壓強取1號單元近似，則該算例記為U2W3P4.在選取單元組合時，要求壓強單元的節點數少于或等于位移單元的節點數.計算結果分別見表2～4.

比較表2～4可知：當采用非正定勢能時，需要建立恰當的位移與壓強的離散格式.如果位移與壓強的離散不恰當，會出現負的特征值，這意味著在水波演化模擬時，計算會發散；而采用具有正定勢能的作用量計算時，由于勢能的正定性得到保證，不會出現負特征值.

4結論

水波計算分析是實用的重要課題，本文研究走的是與以往完全不同的道路，運用Lagrange坐標的位移法，其數值離散是在變分原理控制下的.對于作用量，本文關注Hamilton函數的正定性，尤其是正定勢能的重要性.本文通過數值算例，比較水波正定勢能與非正定勢能的數值表現，指出當水波非正定時，數值離散后容易出現負的特征值，而取正定勢能時則不會.負的特征值意味著數值發散，結果不符合物理實際，應當避免.

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（編輯武曉英）